Kolm-Index
# Kolm-Index

Der Kolm-Index ist ein Ungleichheitsmaß zur Beschreibung der absoluten Konzentration, das nach dem französischen Ökonomen und Ökonometriker Serge-Christophe Kolm benannt ist.

## Definition

Sei $N$ die Anzahl der Einkommen, so dass $N=n\cdot m$ gilt. Hierbei gibt $n$ die Anzahl verschiedener Einkommen an und jedes Einkommen hat $m$ Empfänger (Einkommensbezieher). Die Zahl gleicher Paare mit einem gegebenen Einkommen beträgt:

    ${\frac {m\cdot (m-1)}{2}}$

und die Gesamtanzahl gleicher Einkommen wäre:

    ${\frac {n\cdot m\cdot (m-1)}{2}}\,.$

Offensichtlich wäre die Gesamtzahl aller Paare:

    ${\frac {N\cdot (N-1)}{2}}-{\frac {n\cdot m\cdot (n\cdot m-1)}{2}}\,.$

Dabei kann man an einen ‚Gleichheitsindex‘ in der Form des Terms:

    ${\frac {n\cdot m\cdot (m-1)}{n\cdot m(n\cdot m-1)}}={\frac {m-1}{N-1}}$

denken. Folglich errechnet sich das Ungleichheitsmaß durch Subtraktion von $1$:

    ${\frac {1-(m-1)}{N-1}}-{\frac {N-m}{N-1}}={\frac {m\cdot (n-1)}{n\cdot m-1}}={\frac {n\cdot m-m}{n\cdot m-1}}\,.$

Wenn das Einkommen $x_{1}$ $f_{i}$ Bezieher hat, lautet der Index wie folgt:

    $K=1-{\frac {\sum f_{i}^{2}-N}{N\cdot (N-1)}}={\frac {N^{2}-\sum f_{i}^{2}}{N\cdot (N-1)}}\,.$

Kolm definierte 1976 den Index folgendermaßen:

    $K={\frac {1}{\kappa }}\cdot \ln \left[{\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}e^{\kappa \left(\mu -y_{i}\right)}\right]\,;\quad \kappa >0\,,$

wobei $\kappa$ die Ungleichheitsaversion angibt.

## Motivation

Kolms Intention, diesen kuriosen Index zu entwickeln, begründet sich seiner Meinung nach darin, sich eine Vorstellung davon zu bilden, dass viele simple (Rechen-)Wege bestehen, sich einem Ungleichverteilungsmaß zu nähern.

