Sacharow-System
# Sacharow-System

Ein Sacharow-System (auch Sacharow-Gleichungen) ist ein System von nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen, um die Ausbreitung von Langmuir-Wellen zu modellieren, letzteres sind Elektronen-Plasmawellen. Das System wurde 1972 von dem russischen mathematischen Physiker Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow eingeführt.

## Sacharow-System

Sei

* $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge,
* $T\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ein Intervall,
* $\alpha >0$ eine Konstante.

### Skalare Form

Gesucht sind zwei Lösungsfunktion $v(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {R}$ und $u(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {C}$, welche das Sacharow-System in skalarer Form lösen. $u$ beschreibt die komplexe Einhüllende des stark oszillierenden elektrischen Feldes und $v$ die Fluktuation der Ionendichte.

Das Sacharow-System ist

    ${\begin{aligned}i\partial _{t}u+\Delta _{x}u&=uv\\{\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}v-\Delta _{x}v&=\Delta _{x}(|u|^{2})\end{aligned}}$

wobei $\Delta _{x}$ der Laplace-Operator bezüglich $x$ ist.

Die untere Gleichung lässt sich mit dem D'Alembert-Operator $\Box ={\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{x}$ kürzer hinschreiben

    $\Box v=\Delta _{x}(|u|^{2}).$

### Physikalische Herleitung

Eine physikalische Herleitung findet sich in und.

