Schläfli-Symbol
# Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form $\left\{p,q,r,\dots \right\}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn $p$ eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ${p}$ ein regelmäßiges Polygon ($p$-Eck).

Ist $p$ ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol $\left\{p,q\right\}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger $p$-Ecke, wobei $q$ angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

## Beispiele

### Regelmäßige Polygone

$\left\{n\right\}$ bezeichnet ein regelmäßiges $n$-Eck$.$

### Sterne

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird.

Beispiel:

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer $\left\{5/2\right\}$ oder zwei $\left\{5/3\right\}$ übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind.

$\left\{5/2\right\}$ oder $\left\{5/3\right\}$ bezeichnet das Pentagramm vom Fünfeck: $.$

$\left\{7/2\right\}$ oder $\left\{7/5\right\}$ und $\left\{7/3\right\}$ oder $\left\{7/4\right\}$ bezeichnen die zwei möglichen Heptagramme vom Siebeneck und $.$

$\left\{8/3\right\}$ oder $\left\{8/5\right\}$ bezeichnet das Oktogramm vom Achteck $.$

$\left\{9/2\right\}$ oder $\left\{9/7\right\}$ und $\left\{9/4\right\}$oder $\left\{9/5\right\}$ bezeichnen die zwei möglichen Enneagramme vom Neuneck und $.$

$\left\{10/3\right\}$ oder $\left\{10/7\right\}$ bezeichnet das Dekagramm vom Zehneck $.$

$\left\{11/2\right\}$ oder $\left\{11/9\right\},\;\left\{11/3\right\}$ oder $\left\{11/8\right\},\;\left\{11/4\right\}$ oder $\left\{11/7\right\},\;\left\{11/5\right\}$ oder $\left\{11/6\right\}$ bezeichnen die vier möglichen Hendekagramme vom Elfeck $,$ $,$ und $.$

$\left\{13/2\right\}$ oder $\left\{13/11\right\},\;\left\{13/3\right\}$ oder $\left\{13/10\right\},\;\left\{13/4\right\}$ oder $\left\{13/9\right\},\;\left\{13/5\right\}$ oder $\left\{13/8\right\},\;\left\{13/6\right\}$ oder $\left\{13/7\right\}$ bezeichnen die fünf möglichen Tridekagramme vom Dreizehneck $,$ $,$ $,$ und $.$

$\left\{14/3\right\}$ oder $\left\{14/11\right\}$ und $\left\{14/5\right\}$ oder $\left\{14/9\right\}$ bezeichnen die zwei möglichen Tetradekagramme vom Vierzehneck und $.$

$\left\{15/2\right\}$ oder $\left\{15/13\right\},\;\left\{15/4\right\}$ oder $\left\{15/11\right\}$ sowie $\left\{15/7\right\}$ oder $\left\{15/8\right\}$ bezeichnen die drei möglichen Pentadekagramme vom Fünfzehneck $,$ und $.$

$\left\{16/3\right\}$ oder $\left\{16/13\right\},\;\left\{16/5\right\}$ oder $\left\{16/11\right\}$ sowie $\left\{16/7\right\}$ oder $\left\{16/9\right\}$ bezeichnen die drei möglichen Hexadekagramme vom Sechzehneck $,$ und $.$

$\left\{17/2\right\}$ oder $\left\{17/15\right\},\;\left\{17/3\right\}$ oder $\left\{17/14\right\},\;\left\{17/4\right\}$ oder $\left\{17/13\right\},\;\left\{17/5\right\}$ oder $\left\{17/12\right\},\;\left\{17/6\right\}$ oder $\left\{17/11\right\},\;\left\{17/7\right\}$ oder $\left\{17/10\right\},\;\left\{17/8\right\}$ oder $\left\{17/9\right\}$ bezeichnen die sieben möglichen Heptadekagramme vom Siebzehneck $,$ $,$ $,$ $,$ $,$ und $.$

$\left\{19/2\right\}$ oder $\left\{19/17\right\},\;\left\{19/3\right\}$ oder $\left\{19/16\right\},\;\left\{19/4\right\}$ oder $\left\{19/15\right\},\;\left\{19/5\right\}$ oder $\left\{19/14\right\},\;\left\{19/6\right\}$ oder $\left\{19/13\right\},\;\left\{19/7\right\}$ oder $\left\{19/12\right\},\;\left\{19/8\right\}$ oder $\left\{19/11\right\},\;\left\{19/9\right\}$ oder $\left\{19/10\right\}$ bezeichnen die acht möglichen Enneadekagramme vom Neunzehneck $,$ $,$ $,$ $,$ $,$ $,$ und $.$

$\left\{20/3\right\}$ oder $\left\{20/17\right\},\;\left\{20/7\right\}$ oder $\left\{20/13\right\}$ sowie $\left\{20/9\right\}$ oder $\left\{20/11\right\}$ bezeichnen die drei möglichen Ikosagramme vom Zwanzigeck $,$ und $.$

### Platonische Körper

$\left\{p,q\right\}$: p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

$\left\{3,3\right\}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

$\left\{3,4\right\}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion $\left\{4,3\right\}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.

$\left\{3,5\right\}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion $\left\{5,3\right\}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

### Platonische Parkette

$\left\{3,6\right\}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion $\left\{6,3\right\}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

$\left\{4,4\right\}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

* Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers $\left\{m,n\right\}$ von dem eines Platonischen Parketts $\left\{m,n\right\}$ unterscheidet, ist, dass für einen Körper $2\cdot (m+n)>m\cdot n$ gilt, für ein Parkett hingegen $2\cdot (m+n)=m\cdot n$.

### Kepler-Poinsot-Körper

$\left\{3,5/2\right\}$ bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion $\left\{5/2,3\right\}$ das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

$\left\{5,5/2\right\}$ bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion $\left\{5/2,5\right\}$ das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

### Vierdimensionale Körper

$\left\{3,3,3\right\}$ bezeichnet das Pentachoron,

$\left\{4,3,3\right\}$ den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale $\left\{3,3,4\right\}$ dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

$\left\{3,4,3\right\}$ den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

