Diedergruppe
# Diedergruppe

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe $D_{n}$ als semidirektes Produkt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ erklärt (siehe unten) und enthält daher genau $2n$ Elemente. Für $n\geq 3$ ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält $n$ Drehungen und $n$ Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige $n$-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung $2$) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

## Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise $D_{n}$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen $n$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch $D_{2n}$, um stattdessen die Ordnung $2n$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht $D_{n}$ für die Diedergruppe mit $2n$ Elementen.

## Definition

Die Diedergruppe $D_{n}$ kann für $n\geq 3$ als die Isometriegruppe eines regelmäßigen $n$-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen, hat also insgesamt $2n$ Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe $D_{n}$ dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen $n=1$ und $n=2$ führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle $n\geq 1$.

## Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe $D_{3}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{3}$ ist. $D_{4}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

$D_{2}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). $D_{1}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

$D_{2}$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. $D_{1}$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe $D_{8}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

## Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges $n$-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt $O$ eines Koordinatensystems, irgendeine seiner $n$ Symmetrieachsen als $x$-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als $y$-Achse. Die Diedergruppe $D_{n}$ lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei $r_{k}$ die Drehung um $O$ um den Winkel $\alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n$ und $s_{k}$ die Spiegelung an der Geraden durch $O$, die im Winkel $\alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n$ gegenüber der positiven $x$-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

    $r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}$

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

* $r_{k+n}=r_{k}$ und $s_{k+n}=s_{k}$. Daher können wir uns auf $k=0,1,2,\dotsc ,n-1$ beschränken.
* $r_{0}$, die Drehung um den Winkel $0$, ist die Identität.
* $r_{1}$ ist die Drehung um den Winkel $2\pi /n$ und es gilt $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$.
* $s_{0}$ ist die Spiegelung an der $x$-Achse und es gilt $s_{k}=r_{k}s_{0}$ für alle $k$.

Wenn $n$ ungerade ist, dann verläuft jede der $n$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades $n$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe $D_{4}$ wie folgt:

    ${\begin{aligned}r_{0}&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\s_{0}&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

| $r_{0}$ (Drehung um 0°) | $r_{1}$ (Drehung um 90°) | $r_{2}$ (Drehung um 180°) | $r_{3}$ (Drehung um 270°) |
| - | - | - | - |
| $s_{0}$ (Spiegelung an der x-Achse) | $s_{1}$ (Spiegelung an der Diagonale y=x) | $s_{2}$ (Spiegelung an der y-Achse) | $s_{3}$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x) |
| Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen. ||||

## Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe $D_{4}$. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe $D_{4}$ auf den Eckpunkten $1,2,3,4$, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe $S_{4}$, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus $\tau \colon D_{4}\to S_{4}$. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

    ${\begin{aligned}\tau (r_{0})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{1})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{2})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{3})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}\\\tau (s_{0})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{1})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{2})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{3})&={\bigl{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}$

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe $D_{n}$ auf den Eckpunkten $P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}$ eine treue Darstellung $\tau \colon D_{n}\to S_{n}$. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

    $\tau (r_{1})=(1,2,3,\dotsc ,n).$

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die $P_{1}$ auf $P_{2}$ abbildet, $P_{2}$ auf $P_{3}$ und so weiter, bis schließlich $P_{n}$ auf $P_{1}$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch $P_{n}$ erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

    $\tau (s_{1})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\bigl \lfloor }{\tfrac {n-1}{2}}{\bigl \rfloor },{\bigl \lfloor }{\tfrac {n+2}{2}}{\bigl \rfloor }\right)$

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ (die jeder reellen Zahl $x$ die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als $x$ ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation $s_{k+1}=r_{k}s_{1}$ für alle $k$ (mit $s_{4}=s_{0}$).

## Erzeuger und Relationen

Alle $n$ Drehungen werden von $r=r_{1}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ und demnach von Index $2$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel $s=s_{0}$, und so die Präsentation

    $D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle ,$

wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen $\alpha$, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel $2\alpha$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe $D_{n}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel $s_{0}$ und $s_{1}$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

    $D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .$

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes $i$ und $j$ gilt außerdem:

* $r_{i}r_{j}=r_{i+j}$
* $r_{i}s_{j}=s_{i+j}$
* $s_{i}r_{j}=s_{i-j}$
* $s_{i}s_{j}=r_{i-j}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo $n$ betrachtet ($r_{i+n}=r_{i}$ und $s_{i+n}=s_{i}$).

## Anwendungen

### Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension $2$ entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

### Codierung

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.

