Ramanujan-Thetafunktion
# Ramanujan-Thetafunktion

Die Ramanujan-Thetafunktion ist eine infinitesimalanalytische Elliptische Funktion. Sie wurde nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan benannt. Und sie stellt einen Allgemeinfall für die Jacobische Theta-Nullwert-Funktion dar.

## Definition

So ist die Ramanujansche Thetafunktion definiert:

    $f(a,b)=\vartheta _{R}(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\bigtriangleup (n)}\;b^{\bigtriangleup (n-1)}$

Hierbei muss zusätzlich folgendes Kriterium gelten: $|ab|<1$

## Identitäten

### Summenidentitäten und Produktidentitäten

Es gilt $f(a,b)=f(b,a)$ (die Funktion ist symmetrisch in den beiden Variablen). Für die ersten Terme ergibt sich:

    $f(a,b)=1+a+b+ab(a^{2}+b^{2})+{(ab)}^{3}(a^{3}+b^{3})+{(ab)}^{6}(a^{4}+b^{4})+\cdot \cdot \cdot$

Mit dem q-Pochhammer-Symbol $(a;q)_{n}$ drückt sich die Ramanujansche Thetafunktion so aus:

    $f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }=\prod _{m=0}^{\infty }\left(1+a(ab)^{m}\right)\,\left(1+b(ab)^{m}\right)\,\left(1-(ab)^{m+1}\right)$

was äquivalent zum Jacobi-Tripelprodukt ist. Für den Spezialfall

    $f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$

ergibt sich aus dem Jacobi-Tripelprodukt der Pentagonalzahlensatz. Manchmal wird $f(-q,-q^{2})=f(-q)$ geschrieben. Die Funktion ist eng mit der Dedekindschen η-Funktion verbunden und ihr Kehrwert die erzeugende Funktion für Partitionen.

### Integralidentitäten

Die Ramanujansche Thetafunktion kann über Integrale ausgedrückt werden:

    $f(a,b)=1+{\frac {2a}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2}){\biggl \{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cos {\bigl{\sqrt {-2\ln(ab)}}\,x{\bigr ]}}{1-2a{\sqrt {ab}}\cos {\bigl{\sqrt {-2\ln(ab)}}\,x{\bigr ]}+a^{3}b}}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,+$
    $+\,{\frac {2b}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2}){\biggl \{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cos {\bigl{\sqrt {-2\ln(ab)}}\,x{\bigr ]}}{1-2b{\sqrt {ab}}\cos {\bigl{\sqrt {-2\ln(ab)}}\,x{\bigr ]}+ab^{3}}}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x$

Die kanadische Mathematikerin Maxie Schmidt aus der Universität Georgia erforschte die Integralidentitäten der Ramanujanschen Thetafunktion. In ihrem Werk Square Series Generating Function Transformations behandelte sie die Integraldarstellungen modulärer und nicht modulärer elliptischer Funktionen.

### Nevillesche Thetafunktion

Die Ramanujansche Thetafunktion kann mit Hilfe der Nevillesche Thetafunktion $\theta _{d}$ dargestellt werden:

    $f(a,b)=\exp {\biggl-{\frac {\ln(a\div b)^{2}}{8\ln(ab)}}{\biggr ]}\vartheta _{00}({\sqrt {ab}}\,)\,\theta _{d}{\bigl{\frac {1}{4}}\ln(a\div b)\vartheta _{00}({\sqrt {ab}}\,)^{2};\psi _{H}({\sqrt {ab}}\,)^{4}{\bigr ]}$

### Theta-Nullwert und Ramanujansche Psifunktion

Weitere Spezialfälle sind die Ramanujansche $\varphi$-Funktion:

    $\varphi (q)=\vartheta _{00}(q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}}={\frac {(-q;-q)_{\infty }}{(q;-q)_{\infty }}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+2q^{25}+....$

und Ramanujans $\psi$-Funktion:

    $\psi (q)=f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}$

### Jacobische Thetafunktionen

Mit ϑ₀₀ wird die Hauptfunktion unter den Jacobischen Thetafunktionen bezeichnet.

Die Jacobische Thetafunktion ergibt sich als:

    $\vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\,w^{2n}$

mit $q=e^{\pi i\tau }$, $w=e^{\pi iz}$, so dass sich die übliche Darstellung ergibt:

    $\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)$
