Cardanische Formeln
# Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Damit werden alle Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall, dass der Koeffizient für $x^{2}$ Null ist.

Die cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis (lat. für „nicht zurückführbarer Fall“) durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangt. Diesen Fall zu lösen, schaffte erst Franciscus Vieta um 1600 mittels der Trigonometrie.

Die cardanischen Formeln besitzen heute für eine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen kaum noch eine praktische Bedeutung, da sich die Lösungen näherungsweise bequemer durch das Newton-Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen. Sie sind jedoch für eine (exakte, „algebraische“) Auflösung in Form von Radikalen von erheblicher Bedeutung. Der Nachweis nämlich, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt, hat die Entwicklung der Algebra entscheidend beeinflusst (siehe Galoistheorie).

## Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

    $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$

mit reellen oder komplexen Zahlen $A$, $B$, $C$, $D$ und $A\neq 0$ kann durch Division durch $A$ zunächst in die Normalform

    $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

gebracht werden mit $a={\tfrac {B}{A}}$, $b={\tfrac {C}{A}}$ und $c={\tfrac {D}{A}}$.

Mit Hilfe der Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhält die reduzierte Form:

    $z^{3}+pz+q=0,$

mit

    $p=b-{\frac {a^{2}}{3}}={\frac {9AC-3B^{2}}{9A^{2}}}$  und  $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c={\frac {-9ABC+27A^{2}D+2B^{3}}{27A^{3}}}$.

## Die cardanische Formel

Die reduzierte Form wird mit Hilfe der cardanischen Formel aufgelöst, und anschließend werden durch die Rücksubstitution $x=z-{\tfrac {B}{3A}}$ die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt. Dabei werden in der reduzierten Form die Koeffizienten $p,\ q$ und in der allgemeinen Form die Koeffizienten $A,\ B,\ C,\ D$ als reell und komplex angenommen. Im Unterschied zur quadratischen Lösungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind, nicht-reelle komplexe Zahlen ins Spiel.

Mit $z=u+v$ hat man

    $z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}$

und löst nach den Setzungen $3uv=-p$ und $u^{3}+v^{3}=-q$ genau die reduzierte Form $z^{3}+pz+q=0$. Es ergeben sich also für die Unbekannten $u^{3}$ und $v^{3}$ die Gleichungen

    $u^{3}+v^{3}=-q$ und $u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\tfrac {p}{3}}\right)^{3}=-{\tfrac {p^{3}}{27}}.$

Nach dem Satz von Vieta sind $t_{1}:=u^{3}$ und $t_{2}:=v^{3}$ die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung

    $t^{2}+qt-{\tfrac {p^{3}}{27}}=0$,

die die Lagrange-Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird. Die quadratische Lösungsformel ergibt

    $t_{1,2}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}$ mit $\Delta _{2}:={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$

als der Diskriminante der quadratischen Resolvente. Als Lösungen der kubischen Gleichung kommen in Frage

    $z_{1,2,3}=u_{1,2,3}+v_{1,2,3}$ mit $u_{1,2,3}=\varepsilon _{1,2,3}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ und $v_{1,2,3}=\varepsilon _{1,3,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{2}}}$

mit den dritten Einheitswurzeln

    $\varepsilon _{1}:=1$ , $\varepsilon _{2}:=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ und $\varepsilon _{3}:=\varepsilon _{2}^{2}=-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}={\overline {\varepsilon _{2}}}$ .

Die dritten Wurzeln $(u,v)=(u_{1,2,3},v_{1,2,3})$ eines Paares $(t_{1},t_{2})$ müssen dabei so gewählt werden, dass die Nebenbedingung $u\cdot v=-{\tfrac {p}{3}}$ erfüllt ist, so dass es statt maximal neun Paaren $(u,v)$ nur deren maximal drei gibt. Die drei Lösungen sind

    ${\begin{aligned}z_{1}&=u\varepsilon _{1}+v\varepsilon _{1}=u\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{1}\\z_{2}&=u\varepsilon _{2}+v\varepsilon _{3}=u\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{3}\\z_{3}&=u\varepsilon _{3}+v\varepsilon _{2}=u\varepsilon _{3}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{2}\end{aligned}}$

Die Größe

    $\Delta :=-\Delta _{2}=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D}{108\,A^{4}}}$

ist die Diskriminante der kubischen Gleichung. Sie ist ein rationalzahliges Vielfaches des Quadrats ${\bigl(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}$ des Differenzproduktes (des Produktes der Differenzen der Lösungen), und zwar der 108-te Teil. Sie kann durch direkte Rechnung oder auch durch Differentialrechnung erhalten werden (siehe unten).

Für die folgende Betrachtung seien die Koeffizienten $p$ und $q$ als reellwertig angenommen. Dann hängt das Lösungsverhalten entscheidend vom Vorzeichen von $\Delta$ ab.

* $\Delta =0$: Es gibt höchstens zwei verschiedene Lösungen: entweder eine dreifache reelle Lösung (Fall A) oder eine doppelte und eine einfache reelle Lösung (Fall B). Das Differenzprodukt ist 0.
* $\Delta <0$: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei nicht-reelle Lösungen (Grafik: Fall C). Das Differenzprodukt ist rein-imaginär.
* $\Delta >0$: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (Fall D). Das Differenzprodukt ist reell und ungleich 0. Das ist der so genannte „casus irreducibilis“.

Im Fall $\Delta <0$ ist der Graph streng monoton wachsend mit steigender Wendetangente (nicht in der Grafik dargestellt) oder er hat einen Wendepunkt, der hinreichend weit von der $x$-Achse entfernt ist, was auch mit fallender Wendetangente geschehen kann (Grafik Fall C).

### Δ = p = 0

(Dann ist auch $q=0$.) In diesem Fall ist $z=0$ die einzige (dreifache) Lösung mit dem Endergebnis:

    $x_{1,2,3}=-{\frac {B}{3A}}$

### Δ = 0 und p ≠ 0

(Dann ist auch $q\neq 0$.) In diesem Fall wählt man $u=v$ reell. Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Lösung

    $z_{1}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}$,

und eine doppelte reelle Lösung

    $z_{2,3}\;=u\varepsilon _{2}+u\varepsilon _{3}\;=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}$.

Somit erhält man die Lösungen

    ${\begin{array}{lllll}x_{1}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}&=\displaystyle {\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}&=\displaystyle {\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{array}}$

### Δ < 0

Die Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {-\Delta }}=\pm {\sqrt {{\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}}}$ sind reell, und man wählt für $u$ und $v$ jeweils die reellen dritten Wurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ bzw. ${\sqrt[{3}]{t_{2}}}$. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

    ${\begin{array}{ll}z_{1}&=u+v\\z_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {u+v}{2}}\pm \displaystyle {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{array}}$

gegeben sind.

Somit erhält man die Lösungen

    ${\begin{array}{ll}x_{1}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}-\displaystyle {\frac {u+v}{2}}\pm \displaystyle {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{array}}$

Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an: $z^{3}+6z-20=(z-2)(z^{2}+2z+10)=0$. Hier ist $\Delta =-(20/2)^{2}-(6/3)^{3}=-108$ und wir wählen $\textstyle u={\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}=1+{\sqrt {3}}$ und $\textstyle v={\sqrt[{3}]{10-{\sqrt {108}}}}=1-{\sqrt {3}}$ reell. Somit ergibt sich $z_{1}=2$ und $z_{2,3}=-1\pm 3\mathrm {i}$. Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

### Δ > 0 (casus irreducibilis)

Die Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {-\Delta }}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen $t_{1,2}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Dementsprechend können, ja müssen, auch $u_{i}=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ und $v_{j}=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{2}}}$ konjugiert komplex zueinander gewählt werden (was mit $v_{i}:=-{\tfrac {p}{3u_{i}}}$ automatisch herauskommt), so dass sich mit $z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})$ drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von $u$ oder $v$ kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen vor, wofür es zur Zeit von Cardano keine Lösung gab und weshalb dieser Fall casus irreducibilis genannt wurde. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden: Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle $\alpha$ die Beziehung

    $\cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}\qquad \qquad (1)$

Schreibt man

    $0=z^{3}+p\cdot z+q$

mit Hilfe des Ansatzes $z=r\cdot \cos \alpha$ um, ergibt sich

    $0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q$

Setzt man hierin $(1)\,$ ein, dann entsteht

    ${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\qquad \quad (2)\\&\,={\sqrt {-{\frac {4}{27}}\,p^{3}}}\cdot \cos 3\alpha +q\end{aligned}}$

Dabei wurde $\textstyle r={\sqrt {-{\frac {4}{3}}\,p}}$ gewählt, so dass der Klammerausdruck in (2) verschwindet. Es ergibt sich

    $\cos 3\alpha =-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\quad \iff \quad \alpha =\pm {\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {2}{3}}k\pi =\pm {\frac {1}{3}}\phi +{\frac {2}{3}}k\pi ,$

wobei $\phi :=\arccos {\Bigl\!\!-\!{\tfrac {q}{2}}\cdot \textstyle {\sqrt {-{\tfrac {27}{p^{3}}}}}{\Bigr )}$ und $k$ eine beliebige ganze Zahl ist.

Die Lösungen haben die Form $z_{i}=r\cdot \cos \alpha _{i}$.

Wegen $\cos(-{\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}k\pi )=\cos({\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}(-k)\pi )$ kann bei Durchlaufen aller ganzzahligen $k$ das Doppelvorzeichen ohne Verkleinerung der Lösungsmenge weggelassen werden.

Wegen $\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2(k+3)\pi }{3}})=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}}+2\pi )=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}})$ sind die $z_{i}$ für höchstens drei aufeinander folgende $k$ verschieden.

Da bei $\Delta >0$ drei verschiedene Lösungen existieren, sind die $z_{i}$ für mindestens drei solche $k$ verschieden. $k=-1,0,1$ liefert mit den Vereinfachungen

    $\cos {\big\alpha -{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=\cos {\big{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big\pi -{\big{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big\alpha +{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}$ und
    $\cos {\big\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=-\cos {\big\pi -{\big{\tfrac {2\pi }{3}}+\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big{\tfrac {\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big\alpha -{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}$

die folgenden drei Lösungen:

    ${\begin{aligned}z_{2}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{1}&=\quad {\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{3}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

Die Gleichung $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ hat also die folgenden drei Lösungen:

    ${\begin{aligned}x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}+\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{3}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

**Beispiel aus der Trigonometrie**

Im regulären Vierzehneck entspricht das Verhältnis der Seite $s$ zum Umkreisradius $r$ dem Wert $x:=2\sin \!{\tfrac {\pi }{14}}$, der die folgende kubische Gleichung erfüllt:

    $x^{3}-x^{2}-2x+1=0$

Durch kubische Ergänzung entsteht:

    $(3x-1)^{3}-21(3x-1)+7=0$

Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreduzibilis das folgende reelle Lösungstriplett

    $x_{1}=2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\sin[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\,\;\;\;\approx 0{,}445041868$
    $x_{2}=-2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\approx -1{,}246979604$
    $x_{3}=2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos(-{\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\;\approx 1{,}801937736$

mit $x_{1}$ als dem $s/r$-Verhältnis im regulären Vierzehneck.

### Herleitung der Diskriminante über die Differenzialrechnung

Die Diskriminante kann über die Differenzialrechnung hergeleitet werden. Wie in der Graphik zu erkennen ist, kann die Gleichung nur dann genau eine reelle Lösung und zwei nicht-reelle Lösungen besitzen, wenn beide Extremstellen oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegen oder keine Extremstellen existieren, im Falle dreier verschiedener reeller Lösungen befindet sich der Hochpunkt (Extremstelle: Maximum) oberhalb und der Tiefpunkt (Extremstelle: Minimum) unterhalb der $x$-Achse und im Falle mehrfacher reeller Nullstellen befinden sich Extremstellen auf der $x$-Achse. Diese sind im Falle einer doppelten Nullstelle Hoch- bzw. Tiefpunkte und im Falle einer dreifachen Nullstelle Sattelpunkte.

Extremstellen einer Funktion sind dadurch gekennzeichnet, dass dort ihre Steigung null ist. Die Steigung einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_{1}\mid f(x_{1}))$ ergibt sich aus der Gleichung:

    $f'(x_{1})=\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ (mit $h=x_{1}-x_{0}$)

$f'$ meint die erste Ableitungsfunktion. $f''$ bezeichnet die zweite Ableitungsfunktion. $f''=0$ gilt genau dann, wenn ein Wendepunkt vorliegt. Im Falle $f''=f'=0$ liegt ein Sattelpunkt vor.

Schreiben wir $z^{3}+pz+q=0$ als Funktion $f(z)$, so sieht diese wie folgt aus:

    $f(z)=z^{3}+pz+q$

Deren erste und zweite Ableitung sind:

    $f'(z)=3z^{2}+p$ und
    $f''(z)=6z$.

Löst man die beiden Differenzialgleichungen:

    Extremstellen: $f'(z_{E1,E2})=3z^{2}+p=0$ und
    Wendepunkte: $f''(z_{W})=6z$,

so erhält man:

    $z_{E1,E2}=\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}}$ und
    $z_{W}=0$.

Deren Funktionswerte sind:

    ${\begin{aligned}f(z_{E1,E2})&=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{3}+p\cdot (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{2}+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {-p}{3}}\right))+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {2p}{3}}\right)))+q\end{aligned}}$

und $f(z_{W})=z_{W}^{3}+p\cdot z_{W}+q=0^{3}+p\cdot 0+q=q$.

Die erste Lösung lässt sich folgendermaßen umformen:

    ${\begin{array}{rcl}f(z_{E1,E2})=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q\end{array}}$
    $(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q=0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=q\Leftrightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\qquad \qquad (1)$
    $(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q>0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\qquad \qquad (2)$
    $(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q<0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>q\qquad \qquad (3)$

In Fall (2) und (3) darf man nicht problemlos quadrieren, da sich nach der Quadrierung das Relationszeichen gemäß der Inversionsregel umkehren kann. $q$ wiederum kann positiv oder negativ sein, sodass man mit Hilfe von $|q|$ („Betrag von q“) vorgehen soll. Insgesamt sind vier Teilfälle zu unterscheiden. In den Teilfällen (a) und (b) ist jeweils die linke Seite positiv, in den Teilfällen (c) und (d) ist jeweils die linke Seite negativ.

Zuerst der Fall (2):

**Linke Seite > 0, q > 0**


    $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\qquad \qquad (2a)$

**Linke Seite > 0, q ≤ 0**


    $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ 0<|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0$ ist eine falsche Aussage $\qquad \qquad (2b)$

**Linke Seite ≤ 0, q > 0**


    $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>-|q|$ ist immer wahr $\qquad \qquad (2c)$

**Linke Seite ≤ 0, q ≤ 0**


    $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>|q|\geq 0\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\qquad \qquad (2d)$

Der Fall (3) führt zu analogen Ergebnissen, nur in veränderter Reihenfolge.

Aus der Umformulierung der Gleichungen (erst Division durch 4, danach bringt man den linken Ausdruck mit $p$ auf die rechte Seite) ergibt sich:

    $-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=0\qquad \qquad (1)$
    $-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<0\qquad \qquad (2)$
    $-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>0\qquad \qquad (3)$
    $\Delta :=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}$

## Koeffizientenringe

### Charakteristik 2 und 3

Hat der Ring $R$ der Koeffizienten die Charakteristik $\chi (R)=2$ oder $\chi (R)=3~,$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch $\chi$ nicht anwenden. Näheres dazu in Kubische Gleichung#Charakteristik 2 und 3.

### Andere, insbesondere komplexe Koeffizienten

Für andere Charakteristiken und für komplexes $R=\mathbb {C}$ gilt im Prinzip die cardanische Formel. Es gibt aber bei Nicht-Geordnetheit von $R$ nur zwei Fälle:

* $\Delta =0$: Dies ist auch in diesen Fällen das Kriterium für mehrfache Nullstellen. Die oben für diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverändert.
* $\Delta \neq 0$: Die oben für den Fall $\Delta <0$ angegebenen Formeln gelten analog und stellen den „algebraischen“ Weg der Auflösung durch Radikale dar, wobei die beiden dritten Wurzeln wie im reellen Fall so zu wählen sind, dass ihr Produkt $-{\tfrac {p}{3}}$ ergibt. Der beim Fall $\Delta >0$, dem „casus irreducibilis“, angegebene Weg ist ein „numerischer“ Lösungsweg, der dem Ausziehen der dritten Wurzeln unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen entspricht.

### Anmerkung zum Begriff „irreduzibel“

* ↑ Im modernen Sinn „irreduzible“ Fälle gibt es bei $\Delta <0$ genauso wie bei $\Delta >0~,$ z. B. im über $\mathbb {Q}$ irreduziblen Polynom $x^{3}+x+1~.$ Das spricht dafür, dass der Begriff „irreducibilis“ im 16. Jahrhundert etwas anders verwendet wurde als heute, bspw. als „nicht auf reelle Wurzeln zurückführbar“.

## Quartische Gleichungen

### Faktorisation von quartischen Polynomen

Bei quartischen Gleichungen beziehungsweise Gleichungen vierten Grades sind die Lösungen immer biquadratisch radikale Ausdrücke aus Lösungen von kubischen Gleichungen. Der Grund dafür besteht in der Tatsache, dass alle Polynome vierten Grades als Differenz des Musters Quadrat eines quadratischen Polynoms minus Quadrat eines linearen Polynoms dargestellt werden können. Durch das Nullsetzen des quartischen Polynoms kann auf diese Weise der Satz von Vieta verwendet werden. Und diese Differenz zweier Quadrate kann dann mit der dritten binomische Formel faktorisiert werden. So entstehen zwei Faktoren von jeweils zweitem Grade. Diese können dann mit der Mitternachtsformel aufgelöst werden. Für die Bestimmung der Koeffizienten von diesen beiden Polynomfaktoren ist die Auflösung eines kubischen Gleichungssystems erforderlich. Dies wird im nun Folgenden gezeigt. Gegeben sei ein quartisches Polynom, welches faktorisiert werden soll:

    $x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Eine kubische Resolventengleichung führt hierbei zur Ermittlung von u:

    $(A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}$

Sukzessiv können dann v und w ermittelt werden.

Nach anschließender Faktorisation der dritten binomischen Formel führt das Lösen von quadratischen Faktoren zur x-Lösung.

### Beweis der kubischen Resolvente

Durch Eliminierung der unbekannten v und w kann eine kubische Gleichung für u in Abhängigkeit der gegebenen Koeffizienten A, B, C und D aufgestellt werden:

    $x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Die Bilanz der Koeffizienten des quadratischen Glieds ergibt folgende Gleichung:

    I) $4v^{2}=A^{2}-4B+8u$

Die Bilanz der Koeffizienten des linearen Glieds ergibt nachfolgende Gleichung:

    II) $2vw=Au-C$

Und die Bilanz der Koeffizienten des absoluten Glieds ergibt die nun folgende Gleichung:

    III) $w^{2}=u^{2}-D$

Durch das Gleichsetzungsverfahren mit dem Muster I*III = II² ergibt sich folgende kubische Gleichung:

    $(A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}$

Diese Gleichung kann dann nach u aufgelöst werden.

### Beispielgleichung

Nach der positiven reellen Lösung soll folgende Gleichung aufgelöst werden:

    ${\color {blue}x^{4}-x-1=0}$

Gegeben ist die genannte Form:

    $x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Nach dieser Form gelten die Werte $A=0,\ B=0,\ C=-1$ und $D=-1$.

Die genannte kubische Resolvente lautet dann für diese Beispielgleichung so:

    $8u(u^{2}+1)=1$

Nach der Formel von Gerolamo Cardano lautet die reelle Lösung für $u$ wie folgt:

    $u={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}{\bigl{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}{\bigr )}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}$.

Genannt waren ebenso die Gleichungen:

    $4v^{2}=A^{2}-4B+8u$
    $2vw=Au-C$

In dieser Beispielgleichung lauten sie so:

    $4v^{2}=8u$
    $2vw=1$

So entstehen $v$ und $w$:

    $v={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}$
    $w={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}$

Also gilt:

    $x^{4}-x-1={\bigl \x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}$

Nach dem Satz von Vieta kann dann so das quadratische Polynom mit den beiden reellen Lösungen herauskristallisiert werden:

    ${\bigl \x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}=0$
    ${\bigl \x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}-{\bigl \{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}=0$

Nach der dritten binomischen Formel gilt: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

Anschließend wird weiter umgeformt:

    $x^{2}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0$
    ${\bigl \x-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0$
    ${\color {green}x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\approx 1{,}2207440846}$

## Quintische Gleichungen

### Quintisches Analogon zur Cardanoschen Formel

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist das Analogon der Cardanoschen Formel für quintische Gleichungen nicht elementar darstellbar. Jedoch kann bei diesem quintischen Analogon die reelle Lösung dann in einem quintisch radikalen Ausdruck dargestellt werden, wenn ein elliptischer Schlüssel ausgedrückt über die Thetafunktionen auf der Grundlage der Elliptischen Nomenfunktion $q(k)=\exp[-\pi K(k')/K(k)]$ oder über die Jacobischen Amplitudenfunktionen angewendet wird. Die Mathematiker John Stuart Glashan, George Paxton Young und Carl Runge fanden den quintisch radikalen Ausdruck für die Bring-Jerrard-Form heraus und beschrieben diesen Lösungsausdruck in ihrem Werk. Der Wert für den zugehörigen elliptischen Modul beziehungsweise die zugehörige numerische Exzentrizität in Abhängigkeit vom Koeffizienten des absoluten Gliedes in der Bring-Jerrard-Form wurde durch Charles Hermite entdeckt und ermittelt. Und für die standardisierte Bring-Jerrard-Normalform der quintischen Gleichung wird im Folgenden das Analogon zur kubischen Formel nach Cardano aufgestellt:

    $x^{5}+x=w$
    ${\begin{array}{lll}x&=&{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\\&&-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\end{array}}$

Elliptischer Schlüssel:

    $y={\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Wichtiger Rechenhinweis über die genannten hyperbolisch lemniskatischen Funktionen:

    ${\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (s){\bigr ]}^{2}={\biggl2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}}{\biggr )}^{-1/2}{\biggl{\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s{\biggr )}$

Alternativ wird die genannte quintische Bring-Jerrard-Gleichung auch ohne elliptischen Schlüssel mit einem direkten Ausdruck für dieselbe reelle Lösung so gelöst:

    $x^{5}+x=w$
    ${\begin{array}{lll}x&=&{\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\\&&\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\\&&\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}\end{array}}$

Hierbei stehen die Buchstaben R und S für den Rogers-Ramanujan-Kettenbruch und den zugehörigen alternierenden Kettenbruch. Und die Abkürzung sl stellt den lemniskatischen Sinus dar.

### Quintisches Rechenbeispiel

Eine bekannte quintische und elementar lösbare Gleichung, deren Lösung somit analog zur kubischen Formel nach Cardano gelöst werden kann, ist die folgende:

    $x^{5}+15x=12$

Die durch Umformung gebildete Gleichung

    ${\biggl{\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}{\biggr )}^{5}+{\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}\ ={\frac {4}{5\,{\sqrt[{4}]{15}}}}$

hat dieselbe Lösungsmenge. Nach den Setzungen

    ${\begin{aligned}\displaystyle w&:={\frac {4}{5\,{\sqrt[{4}]{15}}}}\\y&:={\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

ergibt sich

    ${\begin{array}{lll}\displaystyle y&=\displaystyle {\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3^{-1/4}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{\text{ctlh}}{\bigl{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3^{-1/4}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}\\&=\displaystyle {\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigglq{\biggl{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {18+6{\sqrt {6}}}}{\biggr )}^{5}{\biggr ]}^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigglq{\biggl{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {18+6{\sqrt {6}}}}{\biggr )}{\biggr ]}^{2}}}-{\frac {1}{2}}\\&=1.\end{array}}$

Nun kann die reelle Lösung dieser Gleichung direkt hervorgerufen werden:

    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle\frac{x}{\sqrt[4]{15}} &=& \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\operatorname{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} \\ &&- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\operatorname{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} \end{array}}

Wegen $y=1$ folgt

    ${\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}={\frac {2}{5}}{\sqrt[{4}]{15}}\cosh {\biggl \{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl{\frac {5{\sqrt {10}}}{3{\sqrt {6}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-{\frac {2}{5}}{\sqrt[{4}]{15}}\sinh {\biggl \{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl{\frac {5{\sqrt {10}}}{\sqrt {6}}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

und es ergibt sich die reelle Nullstelle

    ${\begin{aligned}\displaystyle x&={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh {\bigl{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\bigl{\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}}{\bigr )}{\bigr ]}-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh {\bigl{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\bigl{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}}{\bigr )}{\bigr ]}\\&=0{,}7806694320932583\ldots ~.\end{aligned}}$

Da sich die Terme $\cosh {\bigl{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biglz{\bigr )}{\bigr ]}$ und $\sinh {\bigl{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biglz{\bigr )}{\bigr ]}$ durch Radikale des maximal fünften Grades ausdrücken lassen, lässt sich auch $x$ (ohne Bezug auf transzendente Funktionen wie $\cosh ,\operatorname {arcosh} ,\sinh ,\operatorname {arsinh}$) durch Radikale des maximal fünften Grades ausdrücken.

