Leech-Gitter
# Leech-Gitter

In der Mathematik ist das Leech-Gitter, benannt nach John Leech, ein 24-dimensionales Gitter, das unter anderem zur Konstruktion besonders effizienter Kugelpackungen im 24-dimensionalen Raum verwendet wird.

Möglicherweise wurde es schon 1940 von Ernst Witt entdeckt.

## Konstruktion

Die Knoten des Leech-Gitters sind die Vektoren der Form

    ${\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(a_{1},\ldots ,a_{24})\in \mathbb {R} ^{24}$

mit ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{24}$, für die

    $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}$

gelten soll.

## Eigenschaften

Das Leech-Gitter ist bis auf Isomorphie das einzige Gitter im $\mathbb {R} ^{24}$ mit den folgenden Eigenschaften:

* Es ist unimodular, d. h., das Gitter ist ganz, besitzt also eine ganzzahlige Gram-Matrix, und die Determinante dieser Gram-Matrix ist gleich $1$.
* Es ist gerade, d. h., das Quadrat der Norm jedes Knotens ist eine gerade ganze Zahl.
* Die Norm jedes von Null verschiedenen Knotens ist mindestens $2$.

## Kugelpackung

Die Kugeln vom Radius ${\sqrt {2}}$ um die Knoten des Leech-Gitters bilden eine Kugelpackung, bei der jede Kugel genau 196.560 andere Kugeln berührt.

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko und Maryna Viazovska bewiesen 2016, dass das Leech-Gitter die optimale 24-dimensionale Kugelpackung ist.

## Symmetriegruppe

Die Symmetriegruppe des Leech-Gitters ist die Conway-Gruppe $C_{0}$, sie hat 8 315 553 613 086 720 000 Elemente.

Das Leech-Gitter hat keine Spiegelungssymmetrien.

