Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus
# Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus

Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie $\operatorname {arsech}$ oder seltener $\operatorname {sech} ^{-1}$ bzw. $\operatorname {arcsch} (x)$ und seltener $\operatorname {csch} ^{-1}(x)$ geschrieben.

## Definitionen

Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:

    $\operatorname {arsech} (x)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)$
    $\operatorname {arcsch} (x)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)$

Hierbei steht $\ln$ für den natürlichen Logarithmus.

## Eigenschaften

| Graph der Funktion Areasekans hyperbolicus | Graph der Funktion Areakosekans hyperbolicus |
| - | - |
| | Areasecans hyperbolicus | Areakosekans hyperbolicus |
| Definitionsbereich | $0<x\leq 1$ | $-\infty <x<+\infty \,;\,x\neq 0$ |
| Wertebereich | $0\leq f(x)<+\infty$ | $-\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0$ |
| Periodizität | keine | keine |
| Monotonie | streng monoton fallend | $x\neq 0$ streng monoton fallend |
| Symmetrien | keine | Ungerade Funktion $f(x)=-f(-x)$ |
| Asymptote | $f(x)\to 0$ ; $x\to +1$ | $f(x)\to 0$ ; $x\to \pm \infty$ |
| Nullstellen | $x=1$ | keine |
| Sprungstellen | keine | keine |
| Polstellen | $x=0$ | $x=0$ |
| Extrema | keine | keine |
| Wendepunkte | $x={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ | keine |

### Spezielle Werte

Es gilt:

    $\operatorname {arcsch} \,2=\ln \Phi$

wobei $\!\ \Phi$ den goldenen Schnitt bezeichnet.

## Reihenentwicklungen

    ${\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {2}{x}}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{2k}}{(2k)!!2k}}&\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \,0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {P_{k-1}(0)}{k}}x^{k}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\cdot ({\tfrac {1}{2}})_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}}\,x^{1-2k}\end{alignedat}}$

Dabei ist $P_{k}$ das $k$-te Legendre-Polynom und $({\tfrac {1}{2}})_{n}$ steht für das Pochhammer-Symbol.

## Ableitungen

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {arsech}}(x)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsch} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$.

## Integrale

Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:

    $\int \operatorname {arsech} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsech} (x)-\arctan \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)+C$
    $\int \operatorname {arcsch} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsch} (x)+\ln \left(x+x{\sqrt {1+{x}^{-2}}}\right)+C.$

## Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

    $\operatorname {arsech} \,(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)$
    $\operatorname {arcsch} \,(x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)$
