Reissner-Nordström-Metrik
# Reissner-Nordström-Metrik

Die Reissner-Nordström-Metrik ist eine exakte Lösung der Einstein-Gleichungen, die eindeutig durch folgende Eigenschaften bestimmt ist:

* asymptotisch flach
* statisch
* sphärisch-symmetrisch

Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen, nicht-rotierenden Schwarzen Löchern und ist nach ihren Entdeckern Hans Reissner und Gunnar Nordström benannt.

## Linienelement

Das Linienelement der Reissner-Nordström-Metrik hat die Form:

    $\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}KG}{c^{4}r^{2}}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}KG}{c^{4}r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}(\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2})$

wobei $M$ das gesamte Massenäquivalent und $Q$ die elektrische Ladung des Objektes sind. $G$ ist Newtons Gravitationskonstante und $K$ die Coulomb-Konstante. In den sogenannten natürlichen Einheiten wird $G=c=K=1$ gesetzt und das Koordinatensystem aufgrund der Kugelsymmetrie ohne Einschränkung der Allgemeinheit so rotiert, dass beide Winkelkoordinaten sich über $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}$ auf einen einzigen Winkel reduzieren, so dass die Metrik auch in der Form

    $\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

geschrieben werden kann (so auch im folgenden Abschnitt). Der Einfachheit halber wird eine elektrische Punktladung im Koordinatenursprung angenommen. Magnetische Felder und Kreisströme werden vernachlässigt. Das elektromagnetische Viererpotential ist somit ein Coulomb-Potential:

    $A_{\alpha }=\left({\frac {Q}{r}},0,0,0\right)$ woraus sich über $F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}$

der Maxwell-Tensor $F_{\mu \nu }$ ergibt.

Da $+2M/r$ und $-Q^{2}/r^{2}$ mit gegensätzlichen Vorzeichen in das Linienelement einfließen (das elektrische Feld übt radial einen negativen Druck aus, was zu gravitativer Abstoßung führt), kann ab einer gewissen Entfernung die Anziehung (nimmt mit $r^{2}$ ab) und ab einer bestimmten Nähe die Abstoßung (diese nimmt mit $r^{3}$ ab) überwiegen, was als die "Reissner Nordström Repulsion" bezeichnet wird.

Das gesamte Massenäquivalent des zentralen Körpers und seine irreduzible Masse stehen im Verhältnis

    $M_{\rm {irr}}={\frac {\sqrt {2M({\sqrt {(M-Q)(M+Q)}}+M)-Q^{2}}}{2}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{4M_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}$.

Die Differenz zwischen $M$ und $M_{\rm {irr}}$ ist dadurch bedingt, dass durch die Äquivalenz von Masse und Energie auch die elektrische Feldenergie in $M$ einfließt.

## Metrischer Tensor

Die ko- und kontravariante Metrik lautet damit

    $g_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}{\frac {2Mr-Q^{2}}{r^{2}}}-1&0&0&0\\0&{\frac {r^{2}}{Q^{2}+r^{2}-2Mr}}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{array}}\right)\to g^{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}-{\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}&0&0&0\\0&{\frac {Q^{2}+r^{2}-2Mr}{r^{2}}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&0&{\frac {\csc ^{2}\theta }{r^{2}}}\\\end{array}}\right)$

## Horizonte und Singularitäten

Wie bei der Schwarzschild-Metrik liegt der Ereignishorizont bei demjenigen Radius, wo die Metrik singulär wird. Das bedeutet

    $1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}=0$

Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit vom Radius r finden sich jedoch zwei Lösungen dieser Gleichung. Daher gibt es einen äußeren Ereignishorizont bei $r_{+}$ und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei $r_{-}$.

    $r_{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}$

Für den Fall

    $|Q|=M$

verschwindet die Wurzel in $r_{\pm }$ und die beiden Horizonte fallen zu einem einzelnen zusammen. Ist hingegen

    $|Q|>M$,

so ist die Wurzel imaginär, womit es keinen Horizont gibt. Man spricht in diesem Fall von einer nackten Singularität, die nach heutiger Auffassung allerdings nicht existieren kann ("Cosmic Censorship" Hypothese). Moderne supersymmetrische Theorien verbieten sie in der Regel für Schwarze Löcher. Elementarteilchen wie Protonen und Elektronen haben hingegen eine Ladung, die sehr viel größer als ihre Masse ist, sind jedoch auch keine Schwarzen Löcher.

Für $Q=0$ geht die Reissner-Nordström-Metrik in die Schwarzschild-Metrik über. Ihre Singularitäten liegen dann bei $r=0$ und $r=2M$.

Da die Ladung Schwarzer Löcher in der Praxis sehr schnell durch elektrische Ströme, nämlich die Akkretionsflüsse, neutralisiert wird, spielen elektrisch geladene Schwarze Löcher in der Astrophysik eine untergeordnete Rolle.

## Christoffelsymbole

Die nichtverschwindenden Christoffelsymbole, die sich mit den Indizies

    $\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \phi \}$

über

    ${\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {{g}^{is}}{2}}\left({\frac {\partial {g}_{sj}}{\partial {x^{k}}}}+{\frac {\partial {g}_{sk}}{\partial {x^{j}}}}-{\frac {\partial {g}_{jk}}{\partial {x^{s}}}}\right)}$

aus dem metrischen Tensor ergeben, sind

    $\Gamma _{10}^{0}={\frac {Mr+Q^{2}}{r\left(r(r-2M)-Q^{2}\right)}}$
    $\Gamma _{00}^{1}={\frac {\left(Mr+Q^{2}\right)\left(r(2M-r)+Q^{2}\right)}{r^{5}}}$
    $\Gamma _{11}^{1}={\frac {Mr+Q^{2}}{2Mr^{2}+Q^{2}r-r^{3}}}$
    $\Gamma _{22}^{1}=2M-{\frac {Q^{2}}{r}}+r$
    $\Gamma _{33}^{1}={\frac {\sin ^{2}\theta \left(r(r-2M)-Q^{2}\right)}{r}}$
    $\Gamma _{21}^{2}=r^{-1}$
    $\Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta$
    $\Gamma _{31}^{3}=r^{-1}$
    $\Gamma _{32}^{3}=\cot \theta$

## Gravitative Zeitdilatation

Die gravitative Komponente der Zeitdilatation ergibt sich über

    $\varsigma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}}$

wobei hier nicht nur die Masse des zentralen Körpers, sondern auch dessen Ladung mit einfließt. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens steht dazu im Verhältnis

    $v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}$.

## Bewegungsgleichungen

In dimensionslosen natürlichen Einheiten von $G=M=c=K=1$ lauten die auf die $\Omega ,r$-Ebene ausgerichteten Bewegungsgleichungen

    ${{{\ddot {x}}^{i}=\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ -\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}}$

die Bewegungsgleichungen eines mit der spezifischen Ladung $q$ geladenen Testpartikels:

    ${\ddot {t}}={\frac {{\dot {r}}\ (q\ r\ Q+2(Q^{2}-r){\dot {t}})}{r((r-2)r+Q^{2})}}$
    ${\ddot {r}}={\frac {((r-2)\ r+Q^{2})(q\ r\ Q\ {\dot {t}}+r^{4}{\dot {\Omega }}^{2}+(Q^{2}-r)\ {\dot {t}}^{2})}{r^{5}}}+{\frac {(r-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r\ ((r-2)\ r+Q^{2})}}$
    ${\ddot {\Omega }}=-{\frac {2\ {\dot {\Omega }}\ {\dot {r}}}{r}}$

und die gesamte Zeitdilatation

    ${\dot {t}}={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}$

Die ersten Ableitungen der Koordinaten ${\dot {x}}^{i}$ stehen mit den kontravarianten Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v^{i}$ im Verhältnis

    ${{\dot {x}}^{i}}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}}$.

daraus folgt

    ${\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r\ (r-2M)-Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$
    ${\dot {\Omega }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$

Die erhaltene spezifische Gesamtenergie des Testteilchens ist dabei

    $E={\frac {\sqrt {Q^{2}+(r-2)r}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

Der spezifische Drehimpuls

    $L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

ist ebenfalls eine Erhaltungsgröße der Bewegung. $v_{\parallel }$ und $v_{\perp }$ bezeichnen die radialen und transversalen Komponenten des lokalen Geschwindigkeitsvektors. Die lokale Gesamtgeschwindigkeit ist somit

    $v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {E^{2}r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2r}{E^{2}r^{2}}}}$.

## Quantenkorrekturen der Metrik

Quanteneffekte verändern den klassischen Ausdruck der Metrik, indem sie neue Terme hinzufügen. Ein Beispiel dafür ist die Theorie der Gravitation als eine effektive Feldtheorie, die von Barvinsky und Vilkovisky in den 1980er Jahren eingeführt wurde. In der zweiten Ordnung in der Krümmung wird die klassische Einstein-Hilbert-Wirkung mit neuen, lokalen und nicht lokalen, Termen modifiziert:

    $\Gamma =\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},$

wobei $\mu$ eine Energieskala und $\gamma _{\mathrm {E} }$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Die genauen Werte der Koeffizienten $c_{1},c_{2},c_{3}$ sind nicht bekannt, da sie von der vollständigen Theorie der Quantengravitation abhängen. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten $\alpha ,\beta ,\gamma$ bestimmt werden. Der Operator $\ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)$ hat die integrale Darstellung:

    $\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).$

Die neuen Terme in der Wirkung führen dazu, dass sich die klassischen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen verändern. Die Quantenkorrekturen der Metrik in der Ordnung ${\mathcal {O}}(G^{2})$ wurden von Campos Delgado bestimmt:

    $\mathrm {d} s^{2}=-f(r)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{g(r)}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2},$

wobei

    $f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\biggc_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},$
    $g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Bigc_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.$
