Doppelpyramide
# Doppelpyramide

Eine $n$-eckige Doppelpyramide (auch Bipyramide oder Dipyramide, englisch dipyramid) ist ein Polyeder, das entsteht, indem man eine $n$-eckige Pyramide und ihr Spiegelbild an den Grundflächen verklebt. Das $n$-Eck, das die gemeinsame Grundfläche der beiden Pyramiden darstellt, ist keine Seitenfläche der Doppelpyramide, sondern liegt im Inneren der Doppelpyramide, in der Symmetrieebene zwischen den beiden $n$-eckigen Pyramiden. Die Doppelpyramide hat damit $2$ Spitzen, $2+n$ Ecken und $3\cdot n$ Kanten und ihre Oberfläche besteht aus $2\cdot n$ Dreiecken.

## Besondere Doppelpyramiden

Nur drei Arten von Doppelpyramiden haben die Eigenschaft, dass alle Kanten dieselbe Länge haben können, sodass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind: die dreieckige, die viereckige und die fünfeckige Doppelpyramide. Diese spezielle viereckige Doppelpyramide, das Oktaeder, zählt zu den platonischen Körpern, während die dreieckige und die fünfeckige Doppelpyramide zu den Johnson-Körpern zählen (J12 und J13). Diese drei Doppelpyramiden sind Deltaeder.

## Regelmäßige Doppelpyramide

Von einer regelmäßigen Doppelpyramide spricht man, wenn die erzeugende Pyramide regelmäßig ist, d. h. wenn deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Gerade durch die Doppelpyramidenspitzen die Grundfläche senkrecht schneidet.

Eine regelmäßige Doppelpyramide kann auf eine solche Weise auf die Sphäre bzw. eine Kugel projiziert werden, dass ihre Spitzen auf zwei sich gegenüberliegende Punkte (die Pole) auf der Kugel abgebildet werden, das regelmäßige $n$-Eck auf den Äquator um die Achse durch die beiden Pole und die an den Doppelpyramidenspitzen anliegenden Kanten in gleichabständige Längenkreise durch die Pole, die den Äquator jeweils senkrecht schneiden. Die Seitenflächen der Doppelpyramide werden dabei auf sphärische Dreiecke abgebildet.

Die Symmetriegruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist das direkte Produkt ihrer Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die von der Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse erzeugt wird. Die Symmetriegruppe der regelmäßigen, $n$-eckigen Doppelpyramide ist $D_{nh}$ der Ordnung $4\cdot n$ außer im Fall des Oktaeders, dessen Symmetriegruppe die Oktaedergruppe $O_{h}$ der Ordnung 48 ist. Die Drehgruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist die Diedergruppe $D_{n}$ der Ordnung $2\cdot n$ außer im Fall des Oktaeders, dessen Drehgruppe Oktaedergruppe $O$ der Ordnung 24 ist (isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{4}$ auf der Menge der Raumdiagonalen, also zur Gruppe der $4!=24$ Permutationen der vier Raumdiagonalen).

| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| - | - | - | - | - | - | - | - |

### Formeln

Größen einer regelmäßigen Doppelpyramide (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe a) :

| | Allgemeiner Fall | Quadratische Doppelpyramide | Regelmäßige Dreiecks-Doppelpyramide |
| - | - | - | - |
| Volumen | $V={\frac {n\cdot a^{2}\cdot h}{6}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ | $V={\frac {2\cdot a^{2}\cdot h}{3}}$ | $V={\frac {a^{2}\cdot h}{6}}\cdot {\sqrt {3}}$ |
| Oberflächeninhalt | $O={\frac {n\cdot a}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$ | $O=2\cdot a\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}}}$ | $O={\frac {3\cdot a}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}$ |
| Steilkantenlänge | $l=\left(h^{2}+{\frac {a^{2}}{4\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}$ | $l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}$ | $l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}$ |
| Inkugelradius | $r_{i}={\frac {a\cdot h}{\sqrt {4\cdot h^{2}\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}}}$ | $r_{i}={\frac {a\cdot h}{\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}}}}$ | $r_{i}={\frac {a\cdot h}{\sqrt {12\cdot h^{2}+a^{2}}}}$ |
| Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche | $\alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }$ | $\alpha =90^{\circ }$ | $\alpha =60^{\circ }$ |
| Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke | $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\arctan \left({\frac {1}{a}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)$ | $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\arctan \left({\frac {1}{a}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}}}\right)$ | $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\arctan \left({\frac {1}{a}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)$ |
| Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke | $\alpha _{3}=2\cdot \arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}\right)$ | $\alpha _{3}=2\cdot \arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}}}}\right)$ | $\alpha _{3}=2\cdot \arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4\cdot h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}}\right)$ |
| Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken | $\beta _{1}=\arctan \left({\frac {2\cdot h\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a}}\right)$ | $\beta _{1}=\arctan \left({\frac {2\cdot h}{a}}\right)$ | $\beta _{1}=\arctan \left({\frac {2\cdot {\sqrt {3}}\cdot h}{a}}\right)$ |
| Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken | $\beta _{2}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot \left({\frac {4\cdot h^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}{\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}\right)$ | $\beta _{2}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)$ | $\beta _{2}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{3\cdot h}}\cdot {\sqrt {3\cdot h^{2}+a^{2}}}\right)$ |
| Raumwinkel am Äquator | $\Omega _{1}=8\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)$ | $\Omega _{1}=8\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)$ | $\Omega _{1}=8\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)$ |
| Raumwinkel in der Spitze | $\Omega _{2}=2\cdot \pi -2\cdot n\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)}}\right)$ | $\Omega _{2}=2\cdot \pi -2\cdot n\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)}}\right)$ | $\Omega _{2}=2\cdot \pi -2\cdot n\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)}}\right)$ |

### Spezialfälle

Für bestimmte Werte von $n$ und $h$ ergeben sich Zusammenhänge mit platonischen Körpern oder Johnson-Körpern:

* Für $n=3$ und $h={\frac {a}{3}}\cdot {\sqrt {6}}$ ergibt sich die regelmäßige Dreiecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, der Johnson-Körper J12. Sie besteht aus zwei regelmäßigen Tetraedern.
* Für $n=4$ und $h={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {2}}$ ergibt sich die quadratische Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, nämlich das Oktaeder.
* Für $n=5$ und $h={\frac {a}{10}}\cdot {\sqrt {50-10\cdot {\sqrt {5}}}}$ ergibt sich die regelmäßige Fünfecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, der Johnson-Körper J13. Die beiden Hälften sind regelmäßige Pyramiden, die Teile des Ikosaeders sind.

## Gerade Doppelpyramide

Ist die Pyramide, die eine Doppelpyramide erzeugt, gerade, so spricht man von einer geraden Doppelpyramide. Der duale Körper einer geraden Doppelpyramide ist ein gerades Prisma und umgekehrt.

* Der Würfel als Dual des Oktaeders
* Das Oktaeder als Dual des Würfels

## Allgemeine Doppelpyramide

### Volumen

Das Volumen einer Doppelpyramide ist $V={\tfrac {2}{3}}\cdot G\cdot h$, wobei $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche der erzeugenden Pyramide bezeichnet und $h$ die Höhe einer Spitze über dieser Grundfläche. Diese Formel gilt unabhängig davon, ob es sich um eine gerade Doppelpyramide handelt oder nicht, solange die Höhe $h$ als der orthogonale Abstand einer Spitze zur Ebene, in der die Grundfläche liegt, bestimmt wird.

