Satz von Moivre-Laplace
# Satz von Moivre-Laplace

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für $p={\tfrac {1}{2}}$ kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Beim Satz von de Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für $p={\tfrac {1}{2}}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

## Aussage

Sei $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter $p\in (0,1)$. Dann ist die Summe $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in \mathbb {N}$ und $p\in (0,1)$. Die Zufallsvariable $S_{n}$ hat den Erwartungswert $\mu _{n}:=\operatorname {E} [S_{n}]=np$ und die positive Standardabweichung $\sigma _{n}:={\sqrt {\operatorname {Var} [S_{n}]}}={\sqrt {np(1-p)}}$. $\Phi$ bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und $\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}$ bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$.

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{n}=k)}{\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k)}}=1,\quad k=0,1,\dots ,n$

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

    $\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left({\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\leq t\right)=\Phi (t)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;.$

## Interpretation und Anwendung

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für $n\to \infty$ gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

    $\operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{n}}}\exp \left(-\left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)^{2}\right)=\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k),\quad k=0,1,\dots ,n\;,$

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung ${\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})$ an der Stelle $k$ steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen ${\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}$ für $n\to \infty$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

    $\lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)\right|=0\quad \quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R}$

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist. Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation $\mathrm {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})$ kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable $S_{n}$ mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

    $P(S_{n}\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)$

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

