title: Segmento circular
text: # Segmento circular
  
  En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
  
  Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).
  
  ## Área
  
  El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.
  
      $A=R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {R^{2}\operatorname {sen} \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)$
  
  Si el ángulo está en radianes.
  
  Área en función de una altura $h_{L}$ en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua $h_{L}$:
  
  $d=-h_{L}+R$
  
  $\theta =2\arccos \left({\frac {-h_{L}+R}{R}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {h_{L}}{R}}\right)$
  
  ### Demostración alternativa
  
  El área del sector circular es: $A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}$
  
  Si se bisecciona el ángulo $\theta$, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:
  
      $R\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
  
  Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen
  
  $A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$
  
  De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble $\operatorname {sen} 2\theta =2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \,$, por lo tanto:
  
  $\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta$
  
  con lo que resulta que el área es:
  
  $A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)$
  
  