title: Número primo de Newman-Shanks-Williams
text: # Número primo de Newman-Shanks-Williams
  
  En matemáticas, un número primo de Newman-Shanks-Williams (primo NSW) es un número primo p que puede escribirse en la forma:
  
      $S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}$
  
  ## Historia
  
  Los primeros números primos NSW fueron descubiertos por Morris Newman, Daniel Shanks y Hugh C. Williams en 1981 durante el estudio de grupo simple finito de orden cuadrado.
  
  ## Propiedades
  
  Los primeros números primos NSW son:
  
      7, 41, 239, 9369319, 63018038201,... (sucesión A088165 en OEIS),
  
  correspondientes a los índices:
  
      3, 5, 7, 19, 29,... (sucesión A005850 en OEIS).
  
  La sucesión matemática S aludida en la fórmula puede ser descrita por la siguiente relación de recurrencia:
  
      $S_{0}=1\,$
      $S_{1}=1\,$
      $S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad {\text{para todo }}n\geq 2.$
  
  Los primeros términos de la secuencia son:
  
      1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ... (sucesión A001333 en OEIS).
  
  Cada término en esta secuencia es la mitad del término correspondiente en la secuencia de números compañeros de Pell. Estos números también aparecen en la conversión a fracción continua de ${\sqrt {2}}$.
  
  