title: Teorema de Euler sobre funciones homogéneas
text: # Teorema de Euler sobre funciones homogéneas
  
  El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.
  
  ## Enunciado
  
  Una función $f=f(x,y,z)\,$ se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario $\lambda \,$:
  
     $f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)\,$
      Si una función $\scriptstyle f=f(x,y,z)$ es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
            $x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=kf$
      Es decir, de manera más simplificada:
            $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=kf$
  
  ## Demostración
  
  Escribiendo $\scriptstyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y $\scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$
  
         $f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$
  
  diferenciando la ecuación con respecto a $\alpha \,$ encontramos, aplicando la regla de la cadena, que
  
         ${\frac {\partial f(\alpha \mathbf {x} )}{\partial \alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )\right)\qquad \Rightarrow$
         ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$
  
  Así que:
  
         $x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$
  
  En concreto, eligiendo $\alpha =1$, la anterior ecuación puede reescribirse como:
  
         $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$,
     lo cual prueba el resultado.
  
  Para una demostración del recíproco, ver .
  
  * Supongamos que $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son funciones homogéneas de grado k-1.
  
  Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y diferenciado la ecuación
  
     $f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$
  
  con respecto a $x_{i}\,$, encontramos por la regla de la cadena que:
  
     ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})$
  
  Y por tanto:
  
     $\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$
  
  Y finalmente:
  
     ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$
  
  ## Aplicaciones del teorema
  
  ### Aplicaciones en termodinámica
  
  Si la función de estado termodinámica es:
  
  * Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=f$
  * Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0$
  
  ## Bibliografía
  
  * Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  * Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España
  * Datos: Q3526987
  