title: Lema de Gronwall
text: # Lema de Gronwall
  
  El lema de Gronwall establece una cota superior para las funciones no negativas que puedan acotarse por una función lineal de su integral. Este lema es de gran utilidad para probar la continuidad y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.
  
  ## Enunciado y demostración
  
  Sean $\,f\colon I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ y $x_{0}\in I$ tales que:
  
  $0\leq f{(x)}\leq A+B\int _{x_{o}}^{x}{f{(s)}ds}\,\forall x\in I$.
  
  con A y B ≥ 0 constantes.
  
  Entonces:
  
  $f{(x)}\leq A\,e^{B(x-x_{0})}$
  
  ### Demostración
  
  Sea $\,G{(x)}=\int _{x_{o}}^{x}{f{(s)}ds}$. Por la hipótesis se tiene que:
  
  $G'{(x)}-B\,G{(x)}\leq A$
  
  Luego, multiplicando ambos miembros por $e^{-B(x-x_{0})}$ se obtiene:
  
  $e^{-B(x-x_{0})}G'{(x)}-B\,e^{-B(x-x_{0})}G{(x)}\leq e^{-B(x-x_{0})}A$
  
  que equivale a:
  
  $(e^{-B(x-x_{0})}G{(x)})'\leq A\,e^{-B(x-x_{0})}$
  
  Integrando entre $x_{0}$ y $x$:
  
  $\int _{x_{o}}^{x}{(e^{-B(s-x_{0})}G{(s)})'ds}\leq A\int _{x_{o}}^{x}{e^{-B(s-x_{0})}ds}$
  
  $e^{-B(x-x_{0})}G{(x)}-G{(x_{0})}\leq -{\frac {A}{B}}(e^{-B(x-x_{0})}-1)$
  
  Por como fue definida, $G{(x_{0})}=0$. Multiplicando ahora por $e^{B(x-x_{0})}$ :
  
  $G{(x)}\leq {\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)$
  
  Si reemplazamos la integral por G en la ecuación original:
  
  $f{(x)}\leq A+B\,{\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)$
  
  De donde se deduce que:
  
  $f{(x)}\leq A\,e^{B(x-x_{0})}$
  
  