title: Anillo de los números enteros
text: # Anillo de los números enteros
  
  En matemáticas, la frase anillo de los números enteros se puede referir a
  
  * el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z.
  * dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como $O_K$ u ${\mathcal {O}}_{K}$.
  
  Usando esta notación, se puede escribir Z = $O_Q$ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría algebraica de números los elementos de Z son comúnmente llamados los "enteros racionales".
  
  ## Propiedades
  
  El anillo de los números enteros $O_K$ tiene una base integral; lo que significa que existe $b_1,...,b_n$ ∈ $O_K$ (la base integral) tal que cada elemento x en $O_K$ puede ser unívocamente representado como
  
      $x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$
  
  con $a_i$ ∈ Z.
  
  Si ζ es la p-iésima raíz de la unidad y K=Q(ζ) es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de $O_K$ está dada por $(1,ζ,ζ^2,...,ζ^{p-2}).$
  
  Si d es un entero cuadrático libre y $K=Q(d^{1/2})$ es el campo cuadrático correspondiente, entonces una base integral de $O_K$ está dada por $(1,(1+d^{1/2})/2)$ si d≡1 (mod 4) y por $(1,d^{1/2})$ si d≡2 o 3 (mod 4).
  
  