title: Progresión armónica (matemática)
text: # Progresión armónica (matemática)
  
  En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.
  
  ## Definición
  
  Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si ${\frac {m}{p}}={\frac {m-n}{n-p}}$.
  
  Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.
  
  ## Ejemplos
  
  * 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...
  * Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.
  
      la serie $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}$ es divergente cuando n tiene a infinito, aunque
      el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.
  
  ## Proposición
  
  Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.
  
  ### Prueba
  
      Se tiene ${\frac {m}{p}}={\frac {m-n}{n-p}}$
      de donde $m(n-p)=p(m-n)$
      dividiendo cada término por mnp
      ${\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}$ lo que demuestra la proposición.
  
  ## Media armónica
  
      Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado (donde "m" es el número mayor y ·"n"· el número menor):
      ${\frac {1}{H}}-{\frac {1}{m}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{H}}$
      O sea
      ${\frac {2}{H}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}$
      Finalmente
      $H={\frac {2mn}{m+n}}$
  
  ### Propiedad
  
  Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.
  
  Esto es $::A:G::G:H$ o bien ${\frac {A}{G}}={\frac {G}{H}}$
  
  La media armónica de m y n es $H={\frac {2mn}{m+n}}$, que se puede escribir
  
  $H={\frac {mn}{\frac {m+n}{2}}}$, o de otra manera $H={\frac {({\sqrt {mn}})^{2}}{\frac {m+n}{2}}}$ (α)
  
  De otro lado $G={\sqrt {mn}}$ y $A={\frac {m+n}{2}}$ en (α) se tiene
  
  $H={\frac {G^{2}}{A}}$ , de donde se obtiene $A\cdot H=G^{2}$, con lo que se prueba la relación
  
  