title: Algoritmo de Borwein
text: # Algoritmo de Borwein
  
  El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π.
  
  ## Algoritmo
  
  Se procede de la siguiente forma:
  
  * Se comienza con los valores
  
      $a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$
      $y_{0}={\sqrt {2}}-1$
  * Después se itera con las siguientes fórmulas
  
      $y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}$
      $a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})$
  
  Se tiene que $a_k$ posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.
  
  El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:
  
      $\left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})$
  