title: Anillo de fracciones
text: # Anillo de fracciones
  
  En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo $A$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de $A$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio $A$ no lo sea.
  
  ## Construcción del anillo de fracciones de un anillo
  
  Sea $A$ un anillo conmutativo. Sea ${\mathcal {D}}\subset A$ un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:
  
  * no contiene al cero del anillo: $0\notin {\mathcal {D}}$.
  * es multiplicativamente cerrado: $a,b\in {\mathcal {D}}\implies ab\in {\mathcal {D}}$.
  
  Consideremos en $A\times {\mathcal {D}}$ la relación binaria
  
      $(a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in {\mathcal {D}}\ :\ u(at-sb)=0$.
  
  Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente $(A\times {\mathcal {D}})/\sim$ que denotaremos por ${\mathcal {D}}^{-1}A\;$. Indicaremos por $a/s$ o ${\tfrac {a}{s}}$ a la clase del elemento $(a,s)$.
  
  Las operaciones adición y producto dadas por
  
      ${a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}$
      ${a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}$
  
  están bien definidas y dotan a ${\mathcal {D}}^{-1}A$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo $A$ respecto de ${\mathcal {D}}$: $(\ {\mathcal {D}}^{-1}A,+,\cdot )$.
  
  ## La inclusión natural $A\to {\mathcal {D}}^{-1}A$
  
  Dado un elemento fijo $d\in {\mathcal {D}}$ cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por
  
         $A\to {\mathcal {D}}^{-1}A\ :\ a\mapsto {\tfrac {ad}{d}}$.
  
  La imagen ${\frac {d'd}{d}}$ de cada denominador $d'\in {\mathcal {D}}$ tiene un inverso multiplicativo ${\tfrac {d}{d'd}}$ en ${\mathcal {D}}^{-1}A$.
  
  No obstante, si el conjunto ${\mathcal {D}}$ contiene divisores de cero, p.e. el elemento $d\in {\mathcal {D}}$ siendo $bd=0$, tendríamos
  
         $b\mapsto {\frac {bd}{d}}={\frac {0}{d}}=0$,
  
  con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.
  
  En caso contrario, si el conjunto ${\mathcal {D}}$ no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo $A$ de manera natural en el anillo de fracciones ${\mathcal {D}}^{-1}A$, que es de hecho el menor anillo que contiene a $A$, salvo isomorfismo, en el que cada denominador $d\in {\mathcal {D}}$ tiene inverso.
  
  Cuando el conjunto ${\mathcal {D}}$ contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de $A$. Si $A$ es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de $A$.
  
  