title: Teorema de König (teoría de conjuntos)
text: # Teorema de König (teoría de conjuntos)
  
  En teoría de conjuntos, el teorema de König establece una desigualdad entre la suma y el producto de dos conjuntos de números cardinales, siempre que se cumpla el axioma de elección. Debe su nombre al matemático húngaro Gyula Kőnig.
  
  ## Enunciado
  
  El enunciado del teorema de König en términos de cardinales bien ordenados es:
  
  * Sean dos familias de cardinales ${κ_i}_{i∈I}$ y ${μ_i}_{i∈I},$ tales que se cumpla la desigualdad estricta $κ_i$ < $μ_i$ para cada i ∈ I. Entonces se tiene:
  * $\sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\mu _{i}$
  
  La suma de cardinales $Σ_i$ $κ_i$ ha de entenderse como el cardinal de la unión disjunta de los $κ_i,$ mientras que el producto $Π_i$ $μ_i$ es el cardinal del producto cartesiano de los $μ_i.$ La demostración del teorema asume el axioma de elección.
  
  ## Equivalencia con el axioma de elección
  
  El enunciado del teorema de König es equivalente al axioma de elección (en ZF), si se reformula sin hacer referencia a los cardinales bien ordenados, de la siguiente forma:
  
  * Dadas dos familias de conjuntos ${A_i}_{i∈I}$ y ${B_i}_{i∈I}$ tales que $|A_i|$ < $|B_i|$ para cada i ∈ I, se cumple que:
  * $\left|\biguplus _{i\in I}A_{i}\right|<\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$
  * donde $\uplus$ denota una unión disjunta.
  
  Asumiendo el axioma de elección, este enunciado es equivalente al anterior. Por otro lado, si se asume este enunciado, tomando como $A_i$ una familia de conjuntos vacíos, se tiene que:
  
     $\varnothing <\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$
  
  para cualquier familia de conjuntos no vacíos, que es precisamente una forma equivalente de enunciar el axioma de elección: el producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío.
  
  