title: Teorema de la base de Hilbert
text: # Teorema de la base de Hilbert
  
  En matemáticas, el teorema de la base de Hilbert o teorema fundamental de Hilbert toma su nombre de David Hilbert, que fue el primero en probarlo en 1888.
  
  Afirma que un anillo de polinomios sobre un anillo noetheriano también es noetheriano
  
  ## Enunciado
  
  Sea $A$ un anillo conmutativo dotado con la unidad (la unidad puede ser 0, entonces $A={0}$). Se dice que $A$ es noetheriano si todo ideal de $A$ está finitamente generado. Es fácil probar que cuando se cumplen las tres siguientes condiciones los dos enunciados equivalen entre sí:
  
  * $A$ es noetheriano.
  * Todo conjunto no vacío de ideales de $A$ admite un elemento maximal
  * $A$ cumple la condición de cadena ascendente (ACC o CCA):
  
  Si
  
      $I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{n}\subseteq \cdots$
  
  es una cadena de ideales, entonces existe $N$ tal que
  
      $I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots$.
  
  ## Teorema fundamental de Hilbert
  
     Teorema. Si $A$ es noetheriano, entonces $A[X]$ es noetheriano.
     Corolario. Si $A$ es noetheriano, entonces $A[X_{1},\dots ,X_{n}]$ es noetheriano.
  
  El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre $n$.
  
  