title: Espacio recubridor
text: # Espacio recubridor
  
  En topología, un espacio recubridor o espacio cubriente o revestimiento o recubrimiento es una tripleta $[{\tilde {X}},p,X]$ donde ${\tilde {X}},X$ son espacios topológicos y $p:{\tilde {X}}\to X$ es una función continua y sobreyectiva
  
  Además se cumple que $\forall x\in X\quad \exists U$ abierto en $X$ vecindad de $x$ tal que
  
      $p^{-1}(U)=\bigcup _{j}{\tilde {U}}_{j}$
  
  donde los ${\tilde {U}}_{j}$ son disjuntos y para cada ${\tilde {U}}_{j}$ la aplicación $p|_{{\tilde {U}}_{j}}:{\tilde {U}}_{j}\to U$ es un homeomorfismo.
  
  El concepto de espacio cubriente se utiliza en ciencias tales como la geometría diferencial, los grupos de Lie, superficies de Riemann, homotopía, teoría de nudos.
  
  El ejemplo prototipo es $\mathbb {R} \to S^{1}$ dado por $t\mapsto e^{it}$.
  
  ## Recubridor universal
  
  Entre todos los espacios recubridores de un espacio $X\,$ se llama recubridor universal al espacio recubridor simplemente conexo. Puede probarse que el espacio recubridor universal es único salvo homeomorfismos. En otras palabras un espacio cubriente se llama universal si es simplemente conexo, i.e. su primer grupo de homotopía es trivial.
  
  