title: Teorema de la probabilidad total
text: # Teorema de la probabilidad total
  
  El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:
  
  * Sea $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ una partición sobre el espacio muestral y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B|A_{i})$, entonces la probabilidad del suceso $B$ viene dada por la expresión:
  * $P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})$
  
  ## Demostración
  
  Por hipótesis tenemos una partición $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ del espacio muestral $\Omega$. Por lo tanto el suceso $B$ se puede escribir como
  
      $B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).$
  
  ahora bien, los conjuntos $B\cap A_{i}$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los $A_{i}$ tampoco lo serían. En consecuencia
  
      $P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).$
  
  Por último, se sabe que $P(C\cap D)=P(C|D)P(D)$ para cualesquiera sucesos $C$ y $D$. Luego
  
      $P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),$
  
  que era lo que se quería demostrar.
  
  