title: Espacio proyectivo complejo
text: # Espacio proyectivo complejo
  
  En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de $C^{n+1}$ que pasan por el origen. Normalmente se nota por $P(C^{n+1}),$ $P_n(C)$ o $CP^n$
  
  Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de $C^{n+1}-{0}$ mediante la siguiente relación de equivalencia:
  
      $z\sim w\Leftrightarrow z=\lambda w\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}\qquad z,w\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}$
  
  ## Topología
  
  Sea $\pi :\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\rightarrow \mathbb {C} P^{n}$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a $CP^n$ de la topología cociente, de modo que $U\subset \mathbb {C} P^{n}$es abierto si y sólo si $\pi ^{-1}(U)$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.
  
  ### $CP^n$ es compacto y conexo
  
  Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real $S^{2n+1}.$ En concreto por la composición de aplicaciones $\pi \circ i$ dada por
  
      $S^{2n+1}\longrightarrow \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\longrightarrow \mathbb {C} P^{n}$,
  
  Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de $S^{2n+1}.$
  
  ## Estructura compleja
  
  Podemos construir un atlas mediante las cartas $(U_{i},\Phi _{i})$ definidas por:
  
      $U_{i}=\{[z]:z\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\},z_{i}\neq 0\}\qquad \Phi _{i}([z])=({\frac {z_{0}}{z_{i}}},\cdots ,{\hat {\frac {z_{i}}{z_{i}}}},\cdots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}})$
  
  donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.
  
  Si $z\in U_{i}\cap U_{j}$ , se comprueba que el cambio de cartas $(\Phi _{j}\circ \Phi _{i}^{-1})$ es holomorfo.
  
  ## Subespacios lineales de $CP^n$
  
  Toda inclusión del tipo $C^{k+1}$ → $C^{n+1}$ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes $CP^k$ → $CP^n.$ A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de $CP^n.$
  
  Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de $CP^n.$ Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.
  
  