title: Modelo de Walfisch-Bertoni
text: # Modelo de Walfisch-Bertoni
  
  El modelo Walfisch-Bertoni es un modelo de propagación desarrollado por Joram Walfisch y Henri Bertoni, que permite conocer el impacto que tienen los tejados y la altura de los edificios, por medio del uso de difracción, esto con el fin de predecir la intensidad de la señal a nivel de la calle.
  
  Como se puede observar existe cierta dificultad de comunicación entre el transmisor y el receptor (que en este caso es el carro) debido a la presencia de edificios. Ahora bien, las variables que mencioné importantes y que se observar plasmadas en el gráfico corresponden a lo siguiente:
  
  En donde: R= Distancia entre el transmisor y el receptor (km) h= Altura de los edificios (m) hm= Altura del receptor (m) d= distancia entre edificios (m) heb= Altura del transmisor (m) H= La altura promedio de la antena (m)
  
  $H=heb-h$ ecuación [1]
  
  El modelo considera que la pérdida de trayectoria, S, es un producto de tres factores.
  
  $S=P_{0}Q^{2}P_{1}$Ecuación [2]
  
  En donde: $P_{0}=$ Pérdida de trayectoria en el espacio libre.
  
  Se da a partir de:
  
  $P_{0}=({\operatorname {\lambda } \over \operatorname {4\pi R} })^{2}$Ecuación [3]
  
  Además $Q^{2}$ se considera como la reducción en la señal de la azotea debido a la hilera de edificios que ensombrecen al receptor al nivel de la calle.
  
  Y finalmente se obtiene el cual se basa en las pérdidas por difracción y realmente tiene sentido, ya que estas se dan por el bloque de ondas secundarias dejando así que sólo una porción de energía sea difractada alrededor del obstáculo.
  
  ${\operatorname {E} \!d \over \operatorname {E} \!o}=F(v)={\operatorname {1+j} \over \operatorname {2} }\int _{2}^{\infty }exp(-{\operatorname {j\pi } \over \operatorname {2} }t^{2})dt$ Ecuación [4]
  
  En donde se relacionan:
  
  Ed= Intensidad del campo eléctrico
  
  Eo= Fuerza de campo del espacio libre en ausencia del suelo.
  
  En la ecuación compleja de Fresnel es posible relacionar las distancias entre los dos extremos del trayecto a la cima del obstáculo, sin embargo, no nos vamos a basar en estos conceptos ahora.
  
  Ahora bien, es posible determinar también la pérdida del trayecto en dB la cual está dada por:
  
  $S(dB)=Lo+Lrts+Lms$ Ecuación [5]
  
  Lo = Pérdida de espacio libre.
  
  Lrts = Pérdida de difracción y disperción de techo a lo calle.
  
  Lms = Difracción multipantalla
  
  Cada una de ella se da por medio de:
  
  $L_{o}=32.4+20log(R)+20Log(f)$ Ecuación [6]
  
  $Lrts=-8.2+20Log(a)+20Log(H)+Lori$ Ecuación [7]
  
  Nuevos términos como a y L ori y, que corresponden a:
  
  a= Anchura de la calle.
  
  L ori= Factor de corrección.
  
  Este factor cuenta con ciertas condiciones, estas se hallan teniendo en cuenta el ángulo “alfa” que nos plantea el modelo original
  
  Este último cuenta con ciertas condiciones:
  
  $Lori={\begin{cases}-10+0.354\varphi ,&{\text{para }}0^{\circ }\leq \varphi \leq 35^{\circ }{\text{ }}\\2.5+0.075(\varphi -35),&{\text{para }}35^{\circ }\leq \varphi \leq 55^{\circ }{\text{ }}\\4.0+0.114(\varphi -55),&{\text{para }}55^{\circ }\leq \varphi \leq 90^{\circ }{\text{ }}\end{cases}}$
  
  Y finalmente:
  
  $Lms=Lbsh+Ka+Kd*Log(R)+Kf*Log(f)-9*Log(b)$ Ecuación [8]
  
  En donde:
  
  $Lbsh={\begin{cases}-18Log(10)(1+H)\displaystyle ,&{\text{para }}hb>hr{\text{ }}\\0\displaystyle ,&{\text{para }}hb\leq hr{\text{ }}\end{cases}}$
  
  $\triangle hb=H$(Altura promedio de la antena)
  
  hb= heb (Altura del receptor)
  
  hr=h (Altura de los edificios)
  
  $k_{a}={\begin{cases}54,&{\text{para }}hb>hr\\54-0.8\triangle ,&{\text{para }}hb\leq hr\geq 0.5km\\54-\left({\frac {0.8\triangle hb}{d*5}}\right),&{\text{para }}hb\leq hryd<0.5km\end{cases}}$
  
  $Lbsh={\begin{cases}-18Log(10)(1+H)\displaystyle ,&{\text{para }}hb>hr{\text{ }}\\0\displaystyle ,&{\text{para }}hb\leq hr{\text{ }}\end{cases}}$
  
  $k_{d}={\begin{cases}18&{\text{para }}hb>hr{\text{ }}\\18-15*\left({\frac {\triangle h_{b}}{hr}}\right)&{\text{para }}hb\leq hr{\text{ }}\end{cases}}$
  
  $k_{f}={\begin{cases}-4+0.7\left({\frac {f}{935-1}}\right)\displaystyle ,&{\text{para ciudades de tamaño medio y entornos suburbanos con densidad moderada de vegetacion }}\\-4+1.5\left({\frac {f}{935-1}}\right)\displaystyle ,&{\text{para centros metropolitanos}}\end{cases}}$
  
  Este modelo está siendo considerado para su uso por el UIT-R en las actividades de las normas IMT-2000.
  
  ## Bibliografía
  
  * J. Walfisch, H. L. Bertoni, "A theoretical model of UHF propagation in urban environments," en IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 36, no. 12, pp. 1788-1796, diciembre de 1988. doi 10.1109/8.14401.
  