title: Fórmula de Tanaka
text: # Fórmula de Tanaka
  
  En el cálculo estocástico, la fórmula de Tanaka afirma que:
  
      $|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}$
  
  donde $B_t$ es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo
  
      $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$
  
  y $L_t$ es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite $L^2$
  
      $L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.$
  
  La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala $|B_t|$ con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) $f(x)=|x|$, con $f'(x)=\operatorname {sgn}(x)$ y $f''(x)=2\delta (x)$; véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.
  
  ## Descripción de la prueba
  
  La función |x| no es una función diferenciable finita $(C^2)$ en x cuando x = 0, de manera que no es posible aplicar la fórmula de Ito directamente. Sin embargo, si la hacemos aproximar a cero (es decir, en [−ε, ε]) mediante parábolas
  
      ${\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}$
  
  y aplicamos la fórmula de Ito, podremos entonces tomar el límite como ε → 0, lo que nos llevará a la fórmula de Tanaka.
  
  