title: Medida (matemáticas)
text: # Medida (matemáticas)
  
  En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.
  
  ## Definición
  
  * Medida
  * Sea $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ un espacio medible.
  * Una medida sobre $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ es una aplicación $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]$ (véase: recta real extendida) que verifica:
  * La medida del conjunto vacío es cero:
  * $\mu (\emptyset )=0$.
  * $\sigma$-aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas.
  * $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\cap A_{m}=\emptyset \,\,\forall n\neq m$
  * $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$.
  
  La terna $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ se denomina espacio de medida.
  
  ## Ejemplos
  
  * Medida contadora: la terna $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\mu )$ es un espacio de medida, donde:
  
      $\mu (A)=\left\{{\begin{aligned}\#A\quad &{\text{si }}A\neq \emptyset \\0\quad &{\text{si }}A=\emptyset \end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega$.
      donde $\#A$ denota el número de elementos de $A$.
  * Medida de Dirac: fijado un elemento $\omega \in \Omega$ la terna $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\delta _{\omega })$ es un espacio de medida, donde:
  
      $\delta _{\omega }(A)=\left\{{\begin{aligned}1\quad &{\text{si }}\omega \in A\\0\quad &{\text{si }}\omega \notin A\end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega$.
  * Medida de Lebesgue: definida en $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}})$, (donde ${\mathcal {M}}$ es la $\sigma$-álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en $\mathbb {R}$.
  
  ## Propiedades
  
  * Propiedades de las medidas
  * Aditividad finita:
  * $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,\,\forall i\neq j$
  * $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})\quad \forall n\in \mathbb {N}$
  * Monotonía:
  * $A,B\in {\mathcal {A}}:A\subset B$
  * $\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)$
  * Continuidad creciente:
  * $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\subseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N}$
  * $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})$
  * Continuidad decreciente:
  * $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\supseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} \,\,\land \,\,\mu (A_{1})<+\infty$
  * $\Rightarrow \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})$
  * $\sigma$-subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas.
  * $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}$
  * $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$.
  
  ## Medida exterior
  
  * Medida exterior
  * Una medida exterior sobre $\Omega$ es una aplicación $\mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,+\infty ]$ que verifica:
  * La medida del conjunto vacío es cero:
  * $\mu ^{*}(\emptyset )=0$.
  * Monotonía:
  * $A,B\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\subset B$
  * $\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)$.
  * $\sigma$-subaditividad:
  * $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {P}}(\Omega )$
  * $\Rightarrow \mu ^{*}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu ^{*}(A_{n})$.
  
  Toda medida definida en ${\mathcal {P}}(\Omega )$ es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.
  
  El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:
  
  * Teorema de Carathéodory
  * Sea $\mu ^{*}$ una medida exterior sobre $\Omega$.
  * La familia
  * ${\mathcal {M}}=\{E\in {\mathcal {P}}(\Omega ):\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\setminus E)\quad \forall A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$
  * es una $\sigma$-álgebra sobre $\Omega$
  * $\mu =\mu ^{*}|_{\mathcal {M}}$ es una medida sobre $\Omega$.
  * En definitiva, $(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )$ es un espacio de medida.
  
  Además, si $\mu ^{*}(E)=0$, entonces $E\in {\mathcal {M}}$ (y naturalmente $\mu (E)=0$), lo que implica que $(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )$ es un espacio de medida completo.
  
  