title: Notación multi-índice
text: # Notación multi-índice
  
  La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice $\alpha \,$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida $|\alpha |\,$ viene dada por:
  
     $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n},\qquad |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$
  
  Se define $\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$ Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.
  
  ## Derivación
  
  Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:
  
     $D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\,.$
  
  ## Polinomios
  
  Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios $K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$. La expresión $X^{\alpha }$, escrita mediante multi-índice $\alpha$, representa el monomio de n variables dado por
  
     $X^{\alpha }\equiv X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}\dots X_{n}^{\alpha _{n}}$.
  
  ## Otros contextos y sus propiedades básicas
  
  Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla
  
     $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$
  
  de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado $\mathbb {N} _{0}^{n}$).
  
  Para los multiíndices $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ y $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ se define:
  
  ### Suma y diferencia por componentes
  
     $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$
  
  ### Orden parcial
  
     $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$
  
  ### Suma de componentes (valor absoluto)
  
     $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$
  
  ### Factorial
  
     $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$
  
  ### Coeficiente binomial
  
     ${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$
  
  ### Coeficiente multinomial
  
     ${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$
     donde $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$
  
  ### Potencias
  
     $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$
  
  ### Derivada parcial de orden superior
  
     $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$
     where $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$
  
  (véase también 4-gradiente). A veces también se utiliza la notación $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$.
  
  