title: Matriz semejante
text: # Matriz semejante
  
  En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n-por-n sobre K tal que:
  
      $P^{−1}AP$ = B.
  
  Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.
  
  En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.
  
  ## Propiedades
  
  Las matrices semejantes comparten varias propiedades:
  
  * poseen el mismo rango,
  * el mismo determinante,
  * la misma traza,
  * los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),
  * el mismo polinomio característico, y
  * el mismo polinomio mínimo.
  
  Hay dos razones para estas características:
  
  * dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
  * la transformación X $\mapsto$ $P^{−1}XP$ es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.
  
  Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.
  
  La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su traspuesta.
  
  Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.
  
  ## Matrices congruentes
  
  Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.
  
  Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:
  
      $P^TAP$ = B.
  
  ### Cambios de base
  
  Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial $\scriptstyle f:V(K)\longrightarrow V(K)$, es decir, tal que:
  
     $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),\qquad \forall \lambda \in K,\forall x,y\in V$
  
  Entre el espacio vectorial de los endomorfismos $\scriptstyle End(V)$ y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en $\scriptstyle V(K)$, asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).
  
  Supóngase que se tienen dos bases de $\scriptstyle V(K)$ llamadas $\scriptstyle {\hat {B}}_{V}=\{{\hat {v}}_{k}\},\ B_{V}=\{v_{i}\}$ de modo que
  
     $v_{i}=\sum _{k}\Lambda _{ik}{\hat {v}}_{k},\qquad {\hat {v}}_{k}=\sum _{i}\Lambda _{ki}^{-1}v_{i}$
  
  En lo que sigue usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación. Sean ahora $\scriptstyle a_{ij}$ y $\scriptstyle {\hat {a}}_{kl}$ las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que $f(v_{i})=a_{ij}v_{j}$ y $f({\hat {v}}_{k})={\hat {a}}_{kl}{\hat {v}}_{l}$, entonces las matrices se relacionan por:
  
      $f(v_{i})=a_{ij}v_{j}\longrightarrow$
      $f(\Lambda _{ik}{\hat {v}}_{k})=a_{ij}\Lambda _{il}{\hat {v}}_{l}\longrightarrow$
      $\Lambda _{ik}f({\hat {v}}_{k})=a_{ij}\Lambda _{il}{\hat {v}}_{l}\longrightarrow$
      $\Lambda _{ik}{\hat {a}}_{kl}{\hat {v}}_{l}=a_{ij}\Lambda _{il}{\hat {v}}_{l}\longrightarrow$
      $\Lambda _{ik}{\hat {a}}_{kl}=a_{ij}\Lambda _{il}\longrightarrow$
      ${\hat {a}}_{kl}=\Lambda _{ki}^{-1}a_{ij}\Lambda _{il}$
  
  es decir hay una relación de similitud entre ellas.
  
  