title: Matriz normal
text: # Matriz normal
  
  Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si
  
      $A^{*}A=AA^{*}\,$
  
  donde $A^*$ es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)
  
  ## Ejemplos
  
  Esta matriz de orden 2 es normal.
  
      ${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$
  
  debido a que ..
  
      ${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}$
      $={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$
  
  ## Propiedades
  
  Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
  
  ### Demostración
  
  Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:
  
  $A=QUQ^{*}$
  
  Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
  
  * $a_{k1}=0$ $\forall k=2,..,n$ (1)
  * $a_{k2}=0$ $\forall k=3,..,n$ (2)
  * $a_{kn-1}=0$ $con\,\,k=n$ (n-1)
  
  Usando el hecho que A es normal:
  
      $A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(a)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}$
  
  Idénticamente.
  
      $(QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}$
  
  Postmultiplicando por $Q$ y luego premultiplicando por $Q^{*}$ obtenemos: $U^{*}U=UU^{*}$
  
  Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:
  
  ${\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}$
  
  ${\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}$
  
  Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.
  
  $(U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot {\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ij}\|^{2}}$
  
  $(UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}\cdot a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ji}\|^{2}}$
  
  Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
  
  * Caso i=1: $(U^{*}U)_{11}=(UU^{*})_{11}$
  
  $\sum _{j=1}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}$
  
  Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.
  
  $\|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}$
  
  Usando (1)
  
  $\sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=0$
  
  Por lo tanto, $a_{1j}=0$ $\forall j=2,..,n$
  
  