title: Teorema de convolución
text: # Teorema de convolución
  
  En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
  
  Sean $f$ y $g$ dos funciones cuya convolución se expresa con $f\ast g$. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo $\otimes$). Sea ${\mathcal {F}}$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que ${\mathcal {F}}[f]$ y ${\mathcal {F}}[g]$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
  
  Entonces
  
      ${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$
  
  donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:
  
      ${\mathcal {F}}[f\cdot g]={\frac {{\mathcal {F}}[f]*{\mathcal {F}}[g]}{\sqrt {2\pi }}}$
  
  Aplicando la transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podemos escribir:
  
      $f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]$
  
  ## Demostración
  
  La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de ${\sqrt {2\pi }}$ que son inconvenientes aquí. Sean $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$
  
  Sean $F$ la transformada de Fourier de $f$ y $G$ la transformada de Fourier de $g$:
  
      $F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$
      $G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$.
  
  Sea $h$ la convolución de $f$ y $g$
  
      $h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$
  
  Nótese que
  
      $\int \int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$
  
  Del teorema de Fubini tenemos que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, así que su transformada de Fourier está definida. Sea $H$ la transformada de Fourier de $h$:
  
      $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.$
  
  Obsérvese que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:
  
      $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.$
  
  Sustituyendo $y=z-x$; tenemos $dy=dz$, y por lo tanto:
  
      $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$
            $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$
            $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.$
  
  Estas dos integrales son las definiciones de $F(\omega )$ y $G(\omega )$, así que:
  
      $H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$
  
  Que es lo que queríamos demostrar.
  
  * Datos: Q2638931
  