title: Teorema del valor medio de Cauchy
text: # Teorema del valor medio de Cauchy
  
  En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.
  
  ## Enunciado
  
  El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821), se enuncia de la siguiente manera:
  
  * Sean $f$ y $g$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$. Entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que:
  * $(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,$
  * En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces se puede escribir:
  * ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot$
  * Augustin Louis Cauchy
  
  Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.
  
  ## Demostración
  
  * Sea G(x) una función definida como:
  
     $G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!$
      donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.
  * Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:
  
     $G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)$
      y sabiendo que G'(c) es 0
     $0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$
      de donde se deduce que
     $[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)$
  * Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:
  
     ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$
  
  Q.E.D.
  
  ## Consecuencias
  
  El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:
  
     $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$
  
  muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.
  
  