title: Espiral sinusoidal
text: # Espiral sinusoidal
  
  En geometría, las espirales sinusoidales son una familia de curvas definidas por la ecuación en coordenadas polares
  
      $r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$
  
  donde a es una constante distinta de cero y n es un número racional distinto de cero. Con una rotación sobre el origen, la ecuación también se puede escribir como
  
      $r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$
  
  El término "espiral" es un nombre inapropiado, porque en realidad no son espirales, y a menudo tienen forma lobulada. Muchas curvas bien conocidas son espirales sinusoidales, entre las que se incluyen:
  
  * Hipérbola equilátera (n = −2)
  * Recta (n = −1)
  * Parábola (n = −1/2)
  * Cúbica de Tschirnhausen (n = −1/3)
  * Sexteto de Cayley (n = 1/3)
  * Cardioide (n = 1/2)
  * Circunferencia (n = 1)
  * Lemniscata de Bernoulli (n = 2)
  
  Las curvas fueron estudiadas por primera vez por Colin Maclaurin.
  
  ## Ecuaciones
  
  Diferenciando
  
      $r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$
  
  y eliminando a, resulta una ecuación diferencial para r y θ:
  
      ${\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0$.
  
  Entonces
  
      $\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$
  
  lo que implica que el ángulo tangencial polar es
  
      $\psi =n\theta \pm \pi /2$
  
  y entonces el ángulo tangencial es
  
      $\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2$.
  
  (El signo aquí es positivo si r y cos nθ tienen el mismo signo, y negativo de lo contrario).
  
  El vector tangente unidad,
  
      $\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)$,
  
  tiene longitud uno, por lo que la comparación de la magnitud de los vectores en cada lado de la ecuación anterior da
  
      ${\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.
  
  En particular, la longitud de un solo bucle cuando $n>0$ es:
  
      $a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta$
  
  La curvatura viene dada por
  
      ${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.
  
  ## Propiedades
  
  La curva inversa de una espiral sinusoidal con respecto a un círculo con centro en el origen es otra espiral sinusoidal cuyo valor de n es el negativo del valor de la curva original de parámetro n. Por ejemplo, el inverso de la lemniscata de Bernoulli es una hipérbola.
  
  La isóptica, la podaria y la podal negativa de una espiral sinusoidal son diferentes espirales sinusoidales.
  
  Un camino de una partícula que se mueve de acuerdo con un fuerza central proporcional a una potencia de r es una espiral sinusoidal.
  
  Cuando n es un número entero, y n puntos se distribuyen regularmente en un círculo de radio a, entonces el conjunto de puntos de modo que la media geométrica de las distancias desde el punto al n puntos es una espiral sinusoidal. En este caso, la espiral sinusoidal es una lemniscata polinomial.
  
  