title: Relación Faber-Jackson
text: # Relación Faber-Jackson
  
  La relación Faber-Jackson es una temprana y empírica ley potencial que establece la relación entre la luminosidad $L$ y la dispersión de velocidades $\sigma$ de las estrellas centrales de una de una galaxia elíptica para el cálculo de su distancia. Está dada por:
  
      $L=C\times \sigma ^{4}$
  
  Fue establecida por vez primera por los astrónomos Sandra M. Faber y Robert Earl Jackson en 1976.
  
  ## Demostración
  
  El potencial de un gas de Radio R y masa M con densidad constante está dado por:
  
      $U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$
  
  La energía cinética se puede representar como:
  
      $K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$
  
  Por el Teorema de virial $2K+U=0$ se tiene:
  
      $\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$ para una masa M virializada.
  
  Si se supone que la relación masa-luminosidad es constante ${\frac {M}{L}}=C$, entonces:
  
      $M\propto L$
  
  Despejando M e igualando:
  
      $L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$
  
  entonces:
  
      $R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$
  
  Suponiendo el mismo brillo superficial:
  
      $B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$, entonces:
      $L=4\pi R^{2}B$
  
  sustituyendo:
  
      $L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$
  
  desarrollando:
  
      $L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}$
  
  es decir:
  
      $L\propto \sigma ^{4}$
  
  o
  
      $L=C\times \sigma ^{4}$
  