title: Sistema reales naturales
text: # Sistema reales naturales
  
  En el conjunto de los números reales existe un subconjunto propio, provisto de dos leyes de composición interna y una relación de orden. Se les llama el conjunto de los reales naturales, es isomorfo al sistema de los naturales ℕ, este dotado de dos operaciones: adición y multiplicación y una relación de orden
  
  ## Definición
  
  Existe un subconjunto propio N de los reales tal que:
  
  i) 0 está en N y si n está en N, lo está también n + 1. En este caso es un conjunto inductivo
  
  ii) Sea S un subconjunto de N que satisface j) 0 está en S, jj) s+1 está en S, siempre que s es miembro de S, entonces
  
      S = N ( Principio de inducción matemática).
  
  ### Entero real
  
  z es entero real si z es natural o el opuesto de real natural
  
  ### Potencias naturales de los reales
  
  Sea a cualquier número real se define por inducción la potencia natural de n
  
      $a^0$ = 1
      $a^n$ = $a^{n-1}a$
      si n es negativo y a ≠ 0 entonces $a^n$ = $1/a^{-n}$
  
  **Propiedades**
  
  * $a^ma^n$ = $a^{m+n}$
  * $(a^m)^n$ = $a^{mn}$
  * $a^{-n}$ = $1/a^n,$ en donde a ≠ 0
  * $(ab)^m$ = $a^mb^m$ .
  
  **Propiedades**
  
  **Cero se considera real natura**
  
  * Para usar en aplicación del principio de inducción matemática
  * Para escribir los naturales en cualquier base de un sistema de numeración, que reclama el 0.
  * Para definir la potencia cero de un número, inductivamente como lo hace 'todo el mundo'
  * Para denotar el término inicial de una sucesión en muchos casos.
  * Para enumerar las raíces enésimas complejas de la unidad desde 0 hasta n-1.
  * El cero se identifica con ∅ y con la clase de los conjuntos que no tienen elementos.
  