title: Índice (teoría de grupos)
text: # Índice (teoría de grupos)
  
  En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.
  
  ## Introducción
  
  Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por $\sim _{H}$ (equivalencia por la izquierda) y $_{H}\!\!\sim$ (equivalencia por la derecha). Se definen como:
  
      $\forall x,y\in G:$
      $x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H$
      $\!x\,\,_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H$
  
  Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como $gH$ en el caso de $\sim _{H}$, o bien como $Hg$ para $_{H}\!\!\sim$. Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:
  
      $G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}$
      $H:G:=G/_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}$
  
  ## Definición
  
  Sea G un grupo y sea $H\subseteq G$ un subgrupo de G. Al cardinal
  
  $i(H,G):=|H:G|=|G:H|$
  
  se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para $i(H,G)$ son $i_{G}(H)$ o también $[G:H]$.
  
  En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:
  
  $i(H,G)=|G|/|H|$
  
  donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.
  
  