Función zeta de Hurwitz
# Función zeta de Hurwitz

En matemáticas, la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zeta. Se la define formalmente para un argumento complejo s y un argumento real q como

    $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}.$

Esta sucesión es convergente para q > 0 y Re(s) > 1. Si q es un entero no positivo se supone que los términos en la sucesión con denominador nulo no son considerados. Sin embargo, por lo general uno se limita a 0 < q ≤ 1, lo cual simplifica muchas de las fórmulas aplicables a esta función.

Notar que en realidad no hay nada que evite que la variable q sea compleja (en cuyo caso, Re(q)>0 es una restricción natural, aunque no sea una condición necesaria). Dicha extensión es necesaria para la fórmula de Schwinger para el ritmo de producción de pares de electrones (vide infra).

## Extensión analítica

La función zeta de Hurwitz puede tener una extensión analítica a una función meromórfica definida para todos los números complejos s con s ≠ 1. En s = 1 posee un polo simple con residuo 1. El término constante ésta dado por

    $\lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)$

donde Γ es la función Gamma y ψ es la función digamma.

## Representación de la sucesión

En 1930 Helmut Hasse encontró la representación en forma de sucesión convergente definida por q > −1 y para todo número complejo s ≠ 1:

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

Esta sucesión converge uniformemente en un subconjunto compacto del plano s a una función entera. La suma interna debe ser comprendida como la n-ésima diferencia progresiva de $q^{1-s}$; o sea,

    $\Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}$

donde Δ es el operador diferencia progresiva. Por lo tanto, es válido que

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}$
          $={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.$

## Representación integral

La función posee una representación integral en función de la transformada de Mellin. La misma es:

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}}dt$

para $\Re s>1$ y $\Re q>0$.

## Fórmula de Hurwitz

La fórmula de Hurwitz establece el siguiente teorema:

    $\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

con

    $\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

es una representación del zeta que es válido para $0\leq x\leq 1$ y $s>1$. Donde, ${\mbox{Li}}_{s}(z)$ es el polilogaritmo.

