Q-análogo
# Q-análogo

Un $q$-análogo es un término matemático, que aparece en particular en combinatoria. Un análogo de $q$ generaliza un enunciado matemático con la ayuda de un parámetro adicional $q$, de modo que en el caso de $q\to 1$ el enunciado original vuelve a obtenerse. El término también juega un papel importante en la teoría de funciones especiales, particularmente en la teoría de los polinomios $q$.

## Ejemplos elementales

Un número natural $n$ tiene el $q$-análogo

    $[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},$

donde $\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n$.

### Combinatoria

**q-factorial**

el $q$-factorial se define para $n>0$ como:

    $[n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},$

con $[0]_{q}!:=1$.

Al multiplicar se obtiene

    $[n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

**Símbolo q-Pochhammer**

El símbolo $q$-Pochhammer, se define como

    $(a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})$

o generalizando a más de un término como

    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

**Coeficiente q-binomial**

El coeficiente $q$-binomial se define como

    ${\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.$

**Propiedades**

Se aplica que

    $[n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}$

y

    ${\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.$

## Funciones especiales q

### Función q-hipergeométrica

El $q$-análogo de la función hipergeométrica generalizada es la función $q$-hipergeométrica

    $\;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.$

**Polinomio q-ortogonal**

Los $q$-polinomios hermitianos constantes $\{H_{n}(x\mid q)\}$ vienen dados por la siguiente recursión

    $2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)$

con valores iniciales

    $H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.$

## Análisis

El $q$-análogo de la función exponencial es

    $e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.$

### q-cálculo

El $q$-análogo de la derivada de una función $f$ es la q-derivada o derivada de Jackson

    $(D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},$

esto da como resultado el llamado q-cálculo.

**q-Serie de Taylor**

El $q$-análogo de $(x-a)^{n}$ es

    $(x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),$

que junto con la $q$-derivada y el $q$-factorial pueden usarse para definir el $q$-análogo de la serie de Taylor para $f$ dada

    $f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.$
