Categoría de espacios topológicos
# Categoría de espacios topológicos

En teoría de categorías, la categoría de los espacios topológicos, usualmente denotada como ${\mathsf {Top}}$, tiene a los espacios topológicos como objetos y a las funciones continuas entre ellos como morfismos; esto nos da una categoría porque la composición de dos funciones continuas es continua. Los monomorfismos en ${\mathsf {Top}}$ son las funciones continuas inyectivas, los epimorfismos son las funciones continuas sobreyectivas, y los isomorfismos son los homeomorfismos. El conjunto vacío (considerado como un espacio topológico) es el objeto inicial de ${\mathsf {Top}}$; cualquier topología sobre un conjunto de un solo elemento es un objeto terminal de ${\mathsf {Top}}$.

Nótese que algunos autores utilizan el nombre ${\mathsf {Top}}$ para referirse a la categoría con las variedades topológicas como objetos y funciones continuas como morfismos.

## Estructura

El producto en ${\mathsf {Top}}$ viene dado por la topología del producto en el producto cartesiano. Usando la topología del subespacio para los subconjuntos de esos productos, uno puede entonces demostrar que ${\mathsf {Top}}$ es una categoría completa. El coproducto es dado por la unión disjunta de espacios topológicos. Usando la topología del cociente, una puede entonces demostrar que Top es también completa. Top no es cartesianamente cerrada (y por lo tanto tampoco es un topos) puesto que no tiene objetos exponenciales. Tenemos un funtor de "olvido" ${\mathsf {Top}}\to {\mathsf {Set}}$ que asigna a cada espacio topológico su conjunto subyacente, y a cada función continua la aplicación entre conjuntos subyacente. Este funtor es fiel, y por lo tanto ${\mathsf {Top}}$ es una categoría concreta. El funtor de olvido tiene un adjunto izquierdo (que equipa un conjunto dado con la topología discreta) y un adjunto derecho (que equipa un conjunto dado con la topología trivial).

