Factorización de matrices
# Factorización de matrices

En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:

## Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.

### Factorización LU

* Aplicable a: una matriz cuadrada A
* Factorización: $A=LU$, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior
* Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
* Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
* Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
* Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.

### Factorización $LDL^{T}$

* Aplicable a: una matriz simétrica A.
* Factorización: $A=LDL^{T}$ donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y $L^{T}$ denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
* Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
* Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.

### Factorización de Cholesky

* Aplicable a: una matriz simétrica definida positiva A
* Factorización: $A=LL^{T}$, donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas.
* Notas: La factorización siempre existe y es única.

### Factorización QR o triangularización ortogonal

* Aplicable a: una matriz A m por n.
* Factorización: $A=QR$ donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
* Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
* Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.

### Descomposición en valores singulares

* Aplicable a: una matriz A m-por-n.
* Factorización: $A=U\Sigma V^{T}$, donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo $V^{T}$ la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
* Notas: a la matriz $V\Sigma ^{+}U^{T}$, donde $\Sigma ^{+}$ es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.

## Otros tipos de factorizaciones

### Diagonalización de una matriz

* Aplicable a: una matriz cuadrada A
* Factorización: A = $CDC^{-1}$
* Existencia:

### Forma canónica de Jordan

* Aplicable a: una matriz cuadrada B
* Factorización:

### Factorización de rango

* Aplicable a: una matriz A de dimensiones $m\times n$
* Factorización: $A=CF$, donde $C$ es una matriz $m\times r$ y $F$ es una matriz $r\times n$

### Factorización de Schur

* Aplicable a: una matriz cuadrada A
* Factorización:

### Tridiagonalización

* Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
* Factorización:
