Aceleración angular
# Aceleración angular

Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa $\alpha$. Al igual que la velocidad tangencial , la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o $s^{-2},$ ya que el radián es adimensional.

## Definición matemática

Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por ${\boldsymbol {\alpha }}\,$, de modo que

   ${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$

siendo ${\boldsymbol {\omega }}$ el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por $\mathbf {e} \,$ el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea ${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {e} \,$, podemos escribir

   ${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \mathbf {e} \right)={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} \ +\ \omega {\frac {d\mathbf {e} }{dt}}$

resultando que, en general, el vector ${\boldsymbol {\alpha }}\,$ no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será ${d\mathbf {e} }/{dt}=0$ y el vector aceleración angular ${\boldsymbol {\alpha }}$ estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

   ${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} =\alpha \,\,\mathbf {e}$

de modo que el módulo de la aceleración angular, $|{\boldsymbol {\alpha }}|=\alpha$, es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la de ${\boldsymbol {\omega }}$ cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, o $-{\boldsymbol {\omega }}$ si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será ${d\mathbf {e} }/{dt}\neq 0$, aunque $|\mathbf {e} |=1$, ya que el vector unitario del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que $\mathbf {e}$ es un versor, su derivada será un vector perpendicular a $\mathbf {e}$, esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular ${\boldsymbol {\alpha }}$ se expresará en la forma

   ${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}$

siendo ${\boldsymbol {\Omega }}$ la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por $\,\mathbf {e}$) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal ( i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es ${d\omega }/{dt}\,$ y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es ${\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\,$.

Así pues, en general,

* el vector ${\boldsymbol {\alpha }}$ no tendrá la misma dirección que el vector ${\boldsymbol {\omega }}$.
* el vector aceleración angular ${\boldsymbol {\alpha }}$ no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.

## Movimiento plano

En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por:

   $\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}={d\omega \over dt}$

donde $\theta \,$ representa el ángulo girado en función de $t$ y $\omega$ la velocidad angular.

   $\omega ={d\theta \over dt}$

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

