Distribución de Rademacher
# Distribución de Rademacher

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher) es una distribución discreta de probabilidad en la que una variable aleatoria X tiene una probabilidad del 50 % de ser +1 y 50 % de ser -1.

Una serie de Rademacher distribuye las variables pueden considerarse como un simple camino aleatorio simétrico, donde el tamaño del paso es 1.

## Formulación matemática

La función de masa de probabilidad de esta distribución es

    $f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.$

Puede también ser escrita como una función de densidad de probabilidad en términos de la función delta de Dirac, como:

    $f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).$

## Límite van Zuijlen

Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.

Sea $X_{i}$ un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución Rademacher, entonces

    $\Pr {\Bigl{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.$

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

## Límites sobre sumas

Sea { $X_i$ } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea $\{a_{i}\}$ una sucesión de números reales. Entonces

    $\Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$

donde $\lVert a\rVert _{2}$ es la norma euclidiana de la secuencia $\{a_{i}\},t>0$ es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.

También si $\lVert a\rVert _{1}$ es finito entonces

    $\Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0$

donde $\lVert a\rVert _{1}$ es el 1-norma de la secuencia $\{a_{i}\}$.

Sea $Y=\sum X_{i}a_{i}$,$Y$ casi seguramente es una serie convergente en un espacio de Banach. Entonces para $t>0$ y $s\geq 1$ tenemos:

    $Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}$

para alguna constante $c$.

Sea $p$ un número real positivo. Entonces

    $c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}$

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes que dependen solo de $p$.

Para $p\geq 1$

$c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}$

## Aplicaciones

La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

## Distribuciones relacionadas

Distribución de Bernoulli: Si $X$ sigue una distribución Rademacher, luego ${\frac {X+1}{2}}$ tiene una distribución Bernoulli (1/2).

Distribución de Laplace: Si$X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes, tales que $X$ sigue una distribución Rademacher y $Y=\exp {\bigl\lambda {\bigr )}$, entonces $XY\backsim Laplace(0,1/\lambda )$

