Función zeta de Igusa
# Función zeta de Igusa

En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, $p^2,$ $p^3,$ y así sucesivamente

## Definición

Para un número primo $p$ sea $K$ un cuerpo p-ádico, es decir $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$, $R$ el anillo de valuación y $P$ el ideal máximo. Para $z\in K$ $\operatorname {ord} (z)$ expresa la valuación de $z$, $\mid z\mid =p^{-\operatorname {ord} (z)}$, y $ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}$ para un parámetro uniformizante $\pi$ de $R$.

Sea $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea $\chi$ un carácter de $K*$.

En este caso se asocia un polinomio no constante $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ a la función zeta de Igusa

    $Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

donde $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ y $dx$ es una medida de Haar normalizada de forma tal que $R^{n}$ posee una medida unitaria.

## Teorema de Igusa

Junichi Igusa demostró que $Z_{\phi }(s,\chi )$ es una función racional en $t=q^{-s}$. La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a fórmulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

## Congruencias módulo potencias de $p$

Por tanto, sea $\phi$ la función característica de $R^{n}$ y $\chi$ el carácter trivial. Denótese por $N_{i}$ el número de soluciones de la congruencia

    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod p^{i}$.

Entonces, la función zeta de Igusa

    $Z(s)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

está relacionada con la serie de Poincaré

    $P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }p^{-in}N_{i}t^{i}$

por

    $P(t)={\frac {1-tZ(s)}{1-t}},t=p^{-s}.$
