Órbita (dinámica)
# Órbita (dinámica)

En matemática, en el estudio de los sistemas dinámicos, una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función evolución de un sistema dinámico. La órbita es un subconjunto del espacio de fases y el conjunto de todas las órbitas es una partición del espacio de fases, es decir, las órbitas nunca se interceptan en el espacio de fases. Uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos es entender las propiedades de las órbitas usando topología dinámica.

Para sistemas dinámicos discretos, las órbitas son una sucesión. Para sistemas dinámicos reales, las órbitas son curvas mientras que para sistemas dinámicos holomórficos las órbitas son superficies de Riemann.

## Definición

Dado un sistema dinámico (T, M, Φ) con T un grupo, M un conjunto y Φ la función evolución

    $\Phi :U\to M$ where $U\subset T\times M$ with $\Phi (0,x)=x$

definimos

    $I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},$

entonces el conjunto

    $\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M$

es llamado una órbita que pasa por x. Una órbita que consiste de un solo punto es llamada órbita constante. Una órbita no-constante es llamada cerrada o periódica si existe $t\neq 0$ en $I(x)$ tal que

    $\Phi (t,x)=x$.

### Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real (R, M, Φ), I(x) es un intervalo abierto en los reales, o sea $I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})$. Para cualquier x en M

    $\gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}$

es llamada 'semi-órbita positiva a través de x y

    $\gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}$

es llamada semi-órbita negativa a través de x.

### Sistema dinámico discreto

Para sistemas dinámicos de tiempo discreto:

órbita positiva de x es un conjunto :

    $\gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\ \{\Phi (t,x):t\geq 0\}$

órbita negativa de x otro conjunto :

    $\gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\ \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}$

y la órbita es la unión :

    $\gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}$

donde:

* $\Phi$ es una función evolución $\Phi :X\to X$ que este caso es una función iterada,
* el conjunto $X$ es el espacio dinámico,
* $t$ es el número de iteraciones, el cual es natural y $t\in T$
* $x$ es un estado inicial del sistema y $x\in X$

Usualmente se utiliza otra notación:

* $\Phi (t,x)$ se escribe como $\Phi ^{t}(x)$
* $x_{t}=\Phi ^{t}(x)$ donde $x_{0}$ es $x$ en la notación anterior.

### Sistema dinámico general

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "bien comportado" $G$ actuando en un espacio de probabilidades $X$ de una manera que conserve la métrica, una órbita $G.x\subset X$ será llamada periódica (o equivalentemente cerrada) si un estabilizador $Stab_{G}(x)$ es una red dentro de $G$.

La clasificación de órbitas puede llevar a preguntas interesantes con relación a otras áreas de la matemática, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (demostrada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (demostrada parcialmente por Lindenstrauss) tratan con la pregunta de si toda órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo $SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )$ es una órbita periódica. Esta observación se debe a Raghunathan y en diferente lenguaje a Cassels y Swinnerton-Dyer.

