Modelo lineal general
# Modelo lineal general

El modelo lineal general o modelo de regresión multivariante es un modelo estadístico lineal. Puede ser escrito como

    $\mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,$

donde $\mathbf {Y}$ es una matriz con observaciones de las variables dependientes (siendo cada columna un conjunto de observaciones de una de las variables), $\mathbf {X}$es una matriz con observaciones de las variables independientes (siendo cada columna un conjunto de observaciones de una de las variables), $\mathbf {B}$ es una matriz con parámetros (que, habitualmente, hay que estimar), y $\mathbf {U}$ es una matriz con errores (ruido). Generalmente, se asume que los errores están incorrelacionados y que siguen una distribución normal multivariante.

El modelo lineal general incluye varios modelos estadísticos diferentes: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, regresión lineal ordinaria, t-test y F-test. El modelo lineal general es una generalización de la regresión lineal múltiple al caso de más de una variable dependiente. Si $\mathbf {Y}$, $\mathbf {B}$ y $\mathbf {U}$ fueran vectores columna, la ecuación matricial anterior representaría un modelo de regresión lineal múltiple.

Los test de hipótesis con el modelo lineal general pueden realizarse de dos formas: multivariantes o como varios test univariantes independientes.

## Comparación con la regresión lineal múltiple

La regresión lineal múltiple es una generalización de la regresión lineal simple al caso de más de una variable independiente, y es un caso particular del modelo lineal general, restringido a una única variable dependiente. El modelo básico de regresión lineal múltiple es

    $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}$

para cada observación $i=1,\ldots ,n$.

En la fórmula anterior consideramos n observaciones de una variable dependiente y de p variables independientes. Así, $Y_{i}$ es la $i$-ésima observación de la variable dependiente, y $X_{ij}$ es la observación $i$-ésima de la variable independiente $j$-ésima, $j=1,\ldots ,p$. Los valores $\beta _{j}$ representan parámetros a estimar, y las variables $\epsilon _{i}$ son los errores normales independientes e idénticamente distribuidos.

En el modelo lineal general, en cambio, hay una ecuación como la anterior para cada una de las $m\geq 1$ variables dependientes, y todas ellas comparten el mismo conjunto de variables explicativas y por tanto son estimadas simultáneamente unas con otras:

    $Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}$

para cada observación indexada por $i=1,\ldots ,n$ y para cada variable dependiente indexada por $j=1,\ldots ,m$.

