Función trigamma
# Función trigamma

En matemática, la función trigamma, denotada mediante $ψ_1(z),$ es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

    $\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$.

Se observa de esta definición que

    $\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

    $\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

    $\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac}$

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

## Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

    $\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy$

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

    $\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

    $\psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}$.

### Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

    $\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

y la fórmula de reflexión:

    $\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,$

### Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

    $\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K$
    $\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}$
    $\psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

donde K representa la constante de Catalan.

