Función Schur-convexa
# Función Schur-convexa

En matemáticas, una función de Schur-convexa, también conocida como S-convex, función isotónica y función de preservación de orden es una función $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ para todo $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ tal que $x$ está mayorizado por $y$, uno tiene eso $f(x)\leq f(y)$. El nombre proviene de Issai Schur, Schur-convex funciones se utilizan en el estudio de la especialización. Cada función que es convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es verdadera, pero todas las funciones de Schur-convex son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos). Asimismo, una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexa.

## Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y todas las primeras derivadas parciales existen, entonces f es Schur-convexa si y solo si

$(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0$ for all $x\in \mathbb {R} ^{d}$

se mantiene para todo 1≤i≠j≤d.

## Ejemplos

* $f(x)=\min(x)$ es Schur-cóncavo mientras $f(x)=\max(x)$ s Schur-convexo. Esto se puede ver directamente desde la definición.
* La función de entropía de Shannon $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ es Schur-cóncavo.
* La función de entropía de Rényi también es Schur-cóncava.
* $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ es schur-convexa.
* La función $f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}$ es Schur-cóncava, cuando asumimos que todo $x_{i}>0$. De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando $x_{i}>0$.
* Una interpretación natural de la mayorización es que si $x\succ y$ entonces $x$ es menos esparcido que $y$. Por lo tanto, es natural preguntar si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.
