Función suma de cuadrados
# Función suma de cuadrados

La función suma de cuadrados es una función aritmética que dado un número entero positivo n, proporciona el número de representaciones de este como suma de k cuadrados, donde las representaciones que únicamente se diferencian en el orden de sumandos o los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes, y se denota por $r_k(n).$

## Definición

La función se define como

    $r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbf {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|$

donde |.| denota la cardinalidad del conjunto. En otras palabras, $r_k(n)$ es el número de veces que n puede escribirse como suma de k cuadrados.

## Casos particulares

El número de veces que puede escribirse un número natural como suma de dos cuadrados está dado por $r_2(n).$ Puede ser proporcionado explícitamente como

    $r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))$

donde $d_1(n)$ es el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 y $d_3(n)$ es el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:

    $r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}$

El número de veces que se puede representar n como la suma de cuatro cuadrados fue dado por Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, i.e.

    $r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso k=8:

    $r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}$

La función generadora que proporciona los coeficientes de la forma general está basada en términos de la función theta de Jacobi:

    $\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n}$

donde

    $\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$
