Sistema hamiltoniano superintegrable
# Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión $2n$ en el que se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen $k>n$ integrales de movimiento $F_{i}$ independientes. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada $F:Z\to N=F(Z)$ sobre un subconjunto abierto y conexo $N\subset \mathbb {R} ^{k}$.

(ii) Existen funciones reales diferenciables $s_{ij}$ en $N$ tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) La función matricial $s_{ij}$ es de corrango constante $m=2n-k$ en $N$.

Si $k=n$, el sistema es completamente integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.

Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada $F$ es un fibrado en el toro $T^{m}$. Existe un entorno abierto $U$ de $F$ que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$, $A=1,\ldots ,m$, $i=1,\ldots ,n-m$ tal que $(\phi ^{A})$ son coordenadas en $T^{m}$. Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica $U$. El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción $I_{A}$ que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en $F(U)$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal $T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}$.

