Problema del huerto
# Problema del huerto

En geometría discreta, el problema original del huerto consiste en determinar el número máximo de líneas de 3 puntos que se puede alcanzar mediante una configuración dada de puntos en el plano. También se le llama el problema de la plantación de árboles o simplemente el problema de la huerta.

También se han realizado investigaciones sobre cuántas líneas de k-puntos pueden formarse. Hallard T. Croft y Paul Erdős demostraron que:

    $t_k$ > c $n^2$ / $k^3$

donde n es el número total de puntos y $t_k$ es el número de líneas de k-puntos. Su construcción contiene algunas líneas de m-puntos, donde m > k. También se puede plantear el problema en el caso de que estas configuraciones de más de k puntos alineados no están permitidas.

## Secuencia de enteros

Se define $t_3^{huerto}$ (n) como el número máximo de líneas de 3 puntos alcanzables con una configuración de n puntos. Para un número arbitrario de puntos n, se demostró en 1974 que $t_3^{huerto}$ (n) es (1/6) $n^2.$

Los primeros valores de $t_3^{huerto}$ (n) se dan en la siguiente tabla (sucesión A003035 en OEIS).

| n | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $t_3^{huerto}(n)$ | 1 | 2 | 4 | 6 | 7 | 10 | 12 | 16 | 19 | 22 | 26 |

## Límites superior e inferior

Puesto que no hay dos líneas que puedan compartir dos puntos distintos, un límite superior trivial para el número de líneas de 3 puntos determinado por n puntos es:

    $\left\lfloor {\binom {n}{2}}{\Big /}{\binom {3}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}-n}{6}}\right\rfloor .$

Utilizando el hecho de que según el Teorema de Sylvester-Gallai para el número de líneas de 2 puntos es al menos 6n/13 (Csima y Sawyer, 1993), este límite superior se puede rebajar a:

    $\left\lfloor {\frac {{\binom {n}{2}}-6n/13}{3}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}}{6}}-{\frac {25n}{78}}\right\rfloor .$
    (donde la notación $\left\lfloor x\right\rfloor$ indica la función suelo)

Los límites inferiores para $t_3^{huerto}(n)$ están dados por construcciones para conjuntos de puntos con muchas líneas de 3 puntos. El primer límite cuadrático inferior de $~(1/8)n^2$ fue dado por Sylvester, quien situó n puntos en la curva cúbica y = $x^3.$ Esto se mejoró a $[(1/6)n^2$ − (1/2)n] + 1 en 1974 por Plantilla:Harvs, usando una construcción basada en funciones elípticas de Weierstrass. Una construcción elemental usando hipocicloides fue hallada por Füredi y Palásti (1984), logrando el mismo límite inferior.

En septiembre de 2013, Ben Green y Terence Tao publicaron un artículo en el que demuestran que para todos los conjuntos de puntos de tamaño suficiente, n > $n_0,$ hay como máximo ([n(n - 3)/6] + 1) = $[(1/6)n^2$ − (1/2)n + 1] líneas de 3 puntos, lo que coincide con el límite inferior establecido por Burr, Grünbaum y Sloane. Esto es ligeramente mejor que lo que resultaría directamente de su límite inferior estricto de n/2 para el número de líneas de 2 puntos: [n(n − 2)/6], demostrado en el mismo documento y resolviendo un problema planteado independientemente por Gabriel Andrew Dirac y Theodore Motzkin en 1951.

