Ley de Curie
# Ley de Curie

En un material paramagnético, la ley de Curie establece que la susceptibilidad magnética del material es inversamente proporcional a la temperatura.

Agregando la constante de proporcionalidad, se obtiene la siguiente ecuación:

   $\chi _{\rm {m}}={\frac {C}{T}}$

siendo:

* $\chi _{\rm {m}}$ es la susceptibilidad magnética, sin unidades.
* $T$ es la temperatura absoluta, en kelvin .
* $C>0$ es la constante de Curie, específica del material, en kelvin.

La ley indica que los materiales paramagnéticos aumentan su magnetización directamente proporcional al campo aplicado, y son cada vez menos magnéticos al elevarse la temperatura.

La relación fue descubierta experimentalmente por Pierre Curie en 1896. Sin embargo, la Ley sólo es aplicable a temperaturas elevadas o campos magnéticos débiles, ya que falla en la descripción del fenómeno cuando los momentos magnéticos se hallan alineados; es decir, cuando nos acercamos a la saturación magnética. En este punto, la respuesta del campo magnético al campo aplicado deja de ser lineal. Llegado al punto de saturación, la magnetización es la máxima posible y no crece más, independientemente de que se aumente el campo magnético o se reduzca la temperatura.

La ley de Curie-Weiss es una extensión de la ley de Curie para materiales ferromágneticos:

   $\chi _{\rm {m}}={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}$

donde $T_{\rm {C}}$ es la temperatura de Curie, en la cual presenta una singularidad. Para temperaturas $T<T_{\rm {C}}$, el material presenta una magnetización espontánea.

## Derivación

Supóngase un sistema de N espines s=1/2 localizados en contacto con un foco térmico. Las energías posibles para un espín son:

   $E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-g\mu _{\rm {B}}Bm_{s}\qquad m_{s}={\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\qquad g=2$

dónde B es el campo magnético, μ el momento magnético de un espín y $μ_B$ es el magnetón de Bohr. La función de partición de uno de estos espines vendrá dado en la colectividad canónica por:

   $z=\sum _{l}e^{-\beta E_{l}}=e^{\beta \mu _{\rm {B}}B}+e^{-\beta \mu _{\rm {B}}B}=2\cosh(\beta \mu _{\rm {B}}B)\qquad \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$

Dado que los espines se han supuesto independientes, la función de partición total será la función de partición de un espín multiplicada N veces

   $Z=z^{N}$

La entalpía libre de Gibbs vendrá dada por:

   $G=-{\frac {1}{\beta }}\ln(Z)=-{\frac {N}{\beta }}\ln(2\cosh \beta \mu _{\rm {B}}B)$

Aplicando que en un sistema magnético:

   $\chi _{\rm {m}}=-{\frac {\mu _{0}}{V}}\left({\frac {\partial ^{2}G}{\partial B^{2}}}\right)_{T}$

donde se tiene que:

   $\chi _{\rm {m}}=\mu _{0}n\mu _{\rm {B}}^{2}\beta \mathrm {sech} ^{2}(\beta \mu _{\rm {B}}B)$

donde n=N/V.

Para el límite de altas temperaturas T tiende a infinito de modo que $\beta$ tiende a 0. En ese límite realizando un desarrollo en serie de Taylor de la secante hiperbólica se tiene que:

   $\chi _{\rm {m}}=\mu _{0}n\mu _{\rm {B}}^{2}\beta \mathrm {sech} ^{2}(\beta \mu _{\rm {B}}B)\approx \mu _{0}n\mu _{\rm {B}}^{2}\beta ={\frac {C}{T}}\qquad C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}n}{k_{\rm {B}}}}$

Para una derivación más general, ver ley de Brillouin.

