Función aditiva
# Función aditiva

Tradicionalmente en matemática, una función aditiva es una función que preserva la operación suma:

    f(x + y) = f(x) + f(y)

para cualquiera de dos elementos x e y en el dominio. Así por ejemplo, cualquier transformación lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales, esta función corresponde a la ecuación funcional de Cauchy.

En teoría de números, una función aditiva es una función aritmética f(n) que va desde los enteros positivos n tales que cada vez que a y b son coprimos, la función del producto es la suma de las funciones.

    f(a,b) = f(a) + f(b).

Note que cualquier homomorfismo f entre grupos abelianos es "aditivo" según la primera definición. El resto de este artículo se refiere a las funciones aditivas usando esta segunda definición de la teoría de números.

ejemplo

La función Ω asocia con un entero natural distinto de cero n, el número con repetición (es decir, contando varias veces los factores múltiples) de los factores primos de n:

    Ω(4) = 2 ;
    Ω(24) = $Ω(2^3$ ⋅ $3^1)$ = 3 + 1 = 4 ;
    Ω(27) = 3 ;
    Ω(144) = $Ω(2^4$ ⋅ $3^2)$ = $Ω(2^4)$ + $Ω(3^2)$ = 4 + 2 = 6 ;
    Ω(2 000) = $Ω(2^4$ ⋅ $5^3)$ = $Ω(2^4)$ + $Ω(5^3)$ = 4 + 3 = 7 ;
    Ω(2 001) = 3 ;
    Ω(2 002) = 4 ;
    Ω(2 003) = 1 ;
    Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ $1993^2$ ⋅ 1236661) = 4 ;
    Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ $7^2$ ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;
    Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ $11^2$ ⋅ $1993^2$ ⋅ 1236661) = 7.

## Función completamente aditiva

Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva si f(ab) = f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos a y b, inclusive aquellos que no son coprimos.

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.

## Funciones multiplicativas

A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativa relacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son coprimos se cumple lo siguiente:

    g(ab) = g(a) × g(b).

Un ejemplo es la función g(n) = $2^{f(n)−f(1)}.$

## Bibliografía

* Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
* Datos: Q95745348
