Variables de Mandelstam
# Variables de Mandelstam

Las variables de Mandelstam en física teórica son cantidades numéricas que codifican la energía, momento y ángulos de las partículas que participan en una colisión de manera invariante Lorentz. Se emplean principalmente en procesos de dispersión de dos partículas para dar otras dos partículas. Fueron introducidas por el físico Stanley Mandelstam en 1958.

Si se toma la métrica de Minkowski como $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$, las variables de Mandelstam $s,t,u$ se definen como

   * $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,$

   * $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}\,$

   * $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\,$

donde $p_1$ y $p_2$ son los cuadrimomentos de las partículas incidentes, y $p_3$ y $p_4$ los cuadrimomentos de las partículas salientes, y se emplean unidades relativistas (c=1).

$s$ es el cuadrado de la energía en el sistema de referencia del centro de masas (masa invariante), y $t$ es el cuadrado de la transferencia de cuadrimomento.

## Diagramas de Feynman

Las letras $s,t,u$ también se emplean en los términos canal s (canal espacial), canal t (canal temporal) y canal u. Estos canales representan los diagramas de Feynman que describen procesos de dispersión en los que se intercambia una partícula virtual cuyo cuadrimomento al cuadrado es igual a $s,t,u$, respectivamente.

       canal s canal t canal u

Por ejemplo, el canal s corresponde a las partículas 1 y 2 (partículas incidentes) uniéndose en una partícula intermedia que finalmente da lugar a las partículas 3 y 4: el canal s es la única forma en la que se pueden descubrir resonancias y partículas inestables si sus vidas medias son suficientemente largas para poder ser detectadas. El canal t representa un proceso en el que la partícula 1 emite una partícula intermedia y se transforma en la partícula 3, mientras que la partícula 2 absorbe la partícula intermedia y se transforma en la partícula 4. El canal u es el canal t intercambiando los papeles de las partículas 3 y 4.

## Propiedades

### Límite relativista

En el límite relativista, la velocidad y el momento son elevados, por lo que usando la relación de energía-momento relativista, la energía es aproximadamente la norma del momento ($E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}$ pasa a ser $E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p}$ ). La masa en reposo de las partículas se considera despreciable.

Por ejemplo,

       $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}\,$

ya que $p_{1}^{2}=m_{1}^{2}$ y $p_{2}^{2}=m_{2}^{2}.$

Por lo tanto,

       $s\approx \,$ $2p_{1}\cdot p_{2}\approx \,$ $2p_{3}\cdot p_{4}\,$ $t\approx \,$ $-2p_{1}\cdot p_{3}\approx \,$ $-2p_{2}\cdot p_{4}\,$ $u\approx \,$ $-2p_{1}\cdot p_{4}\approx \,$ $-2p_{3}\cdot p_{2}\,$

### Suma

Las tres variables de Mandelstam no son independientes entre sí, ya que su suma es

    $s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,$

donde $m_{i}$ es la masa de la partícula $i$.

**Demostración**

Para demostrar la expresión anterior emplearemos los siguientes hechos:

   * El cuadrado del cuadrimomento de una partícula es el cuadrado de su masa,

       $p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\,$
   * El cuadrimomento es una cantidad conservada,

       $p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}\,$
       $p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,$

Por lo tanto,

       $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\,$
       $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}\,$
       $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}\,$

Sumando las tres variables y empleando las masas de las partículas se tiene que

       $s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}\,$

La suma de los últimos cuatro términos es cero debido a la conservación del cuadrimomento,

       $2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0\,$

Por lo que finalmente,

       $s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,$
