Relación transitiva
# Relación transitiva

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

    $\forall a,b,c\in A:\quad aRb\quad \land \quad bRc\longrightarrow \quad aRc$

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

## Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:

    $\forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\leq b\quad \land \quad b\leq c\longrightarrow \quad a\leq c$

Así, puesto que:

    $2,5,7\in \mathbb {N} :\quad 2\leq 5\quad \land \quad 5\leq 7\longrightarrow \quad 2\leq 7$

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

    $\forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a|b\quad \land \quad b|c\longrightarrow \quad a|c$

Para cualquiera de los números naturales a, b y c: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

   Se cumple $X\not \subset Y$ y $Y\not \subset Z$ pero no se cumple $X\not \subset Z$ puesto que $X$ es subconjunto de $Z$.

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

## Representación

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

* Como pares ordenados, $\forall a,b,c\in A,\ (a,b)\in R\land (b,c)\in R\;\Rightarrow \;(a,c)\in R$
* Como matriz de adyacencia $M$, la matriz es tal que $M\lor M^{2}=M.$
* Como grafo, cada vez que desde un nodo $v_{1}$ se pueda llegar a otro $v_{3}$, pasando primero por un nodo intermedio $v_{2}$, entonces también existirá la arista $(v_{1},v_{3})$.
