title: Demostración de la irracionalidad de e
text: # Demostración de la irracionalidad de e
  
  En matemáticas, la identidad como serie del número e
  
      $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
  
  puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial $e^y$ evaluada en y=1.
  
  ## Demostración
  
  Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b. $e={\frac {a}{b}}$
  
  Se define el número
  
      $\ x=b!\,{\biggle-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.$
  
  Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener
  
      $x=b!\,{\biggl{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$
  
  El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.
  
  Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$, en la definición de x para obtener
  
      $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.$
  
  Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior
  
      ${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,$
  
  el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos
  
      $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.$
  
  Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.
  
  