Función indicatriz de Jordan
# Función indicatriz de Jordan

En teoría de números, la función indicatriz de Jordan $J_{k}(n)$ de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es $J_1.$ La función se llaman en honor de Camille Jordan.

## Definición

La función indicatriz de Jordan es una función multiplicativa y puede ser evaluada como

    $J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,$

## Propiedades

* $\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,$

La cual puede ser escrita en el lenguaje de convoluciones de Dirichlet como

    $J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,$

y utilizando inversión de Möbius como

    $J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}$.

Puesto que la función generadora de Dirichlet de μ es 1/ζ(s) y la función generadora de $n^k$ es ζ(s-k), las series para $J_k$ se convierten en

    $\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}$.
* The orden medio de $J_k(n)$ es c $n^k$ para algún c.
* La función psi de Dedekind es

    $\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}$,

y mediante inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de $p^{-k}),$ las funciones aritméticas definidas mediante ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}$ o ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$ pueden mostrarse que son funciones multiplicativas evaluadas en los números enteros.

* $\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)$

## Orden del grupo de matrices

El grupo general lineal de matrices de orden m sobre $Z_n$ tienen orden

    $|\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).$

El grupo especial lineal de matrices de orden m sobre $Z_n$ tiene orden

    $|\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).$

El grupo simpléctico de matrices de orden m sobre $Z_n$ tiene orden

    $|\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).$

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

## Ejemplos

Listas explícitas en OEIS son $J_2$ en A007434, $J_3$ en A059376, $J_4$ en A059377, $J_5$ en A059378, $J_6$ hasta $J_{10}$ en A069091 hasta A069095.

Funciones multiplicativas definidas por sus relaciones son $J_2(n)/J_1(n)$ in A001615, $J_3(n)/J_1(n)$ in A160889, $J_4(n)/J_1(n)$ in A160891, $J_5(n)/J_1(n)$ in A160893, $J_6(n)/J_1(n)$ in A160895, $J_7(n)/J_1(n)$ in A160897, $J_8(n)/J_1(n)$ in A160908, $J_9(n)/J_1(n)$ in A160953, $J_{10}(n)/J_1(n)$ in A160957, $J_{11}(n)/J_1(n)$ in A160960.

Ejemplos de relaciones $J_{2k}(n)/J_k(n)$ son $J_4(n)/J_2(n)$ en A065958, $J_6(n)/J_3(n)$ en A065959, y $J_8(n)/J_4(n)$ en A065960.

