Tetraedro trirrectangular
# Tetraedro trirrectangular

En geometría, un tetraedro trirrectangular (o también tetraedro trirrectángulo) es un tetraedro donde los tres ángulos de las caras que convergen en un vértice son ángulos rectos. Este vértice se llama ángulo recto del tetraedro trirrectangular y la cara opuesta se llama base. Las tres aristas que se encuentran en el ángulo recto se denominan "catetos" y la perpendicular desde el ángulo recto a la base se denomina "altura" del tetraedro.

Solo el grafo bifurcado del grupo afín de Coxeter $B_{3}$ se corresponde con el dominio fundamental del tetraedro trirrectangular.

## Fórmulas métricas

Si los catetos tienen longitudes a, b, c, entonces el tetraedro trirrectangular tiene el volumen

    $V={\frac {abc}{6}}.$

La altura h satisface que:

    ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.$

El área $T_{0}$ de la base está dada por

    $T_{0}={\frac {abc}{2h}}.$

## Teorema de De Gua

Si el área de la base es $T_{0}$ y las áreas de las otras tres caras (en ángulo recto) son $T_{1}$, $T_{2}$ y $T_{3}$, entonces:

    $T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.$

Esta es una generalización del teorema de Pitágoras a un tetraedro.

## Solución entera

### Cuerpo perfecto

El área de la base (a,b,c) es siempre (Gua) un número irracional. Así, un tetraedro trirrectangular con aristas enteras nunca es un cuerpo perfecto. La bipirámide trirrectangular (6 caras, 9 aristas, 5 vértices) construida a partir de estos tetraedros trirrectangulares (o de las formas giradas a la izquierda relacionadas) conectados en sus bases tienen aristas, caras y volumen racionales, pero la distancia diagonal interior entre los dos vértices trirrectangulares sigue siendo irracional. Esta última es el doble de la "altura" del tetraedro trirrectangular y una parte racional de la distancia diagonal irracional del "ladrillo de Euler" relacionado (bc, ca, ab).

### Aristas enteras

Existen tetraedros trirrectangulares con catetos enteros $a,b,c$ y lados $d={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ del triángulo base, como por ejemplo $a=240,b=117,c=44,d=125,e=244,f=267$ (descubierto en 1719 por Halcke). Aquí hay algunos ejemplos más con catetos y lados enteros:

Téngase en cuenta que algunos de estos ejemplos son múltiplos de otros más pequeños. La sucesión (sucesión A031173 en OEIS) recoge estos valores.

### Caras enteras

Existen tetraedros trirrectangulares con caras enteras $T_{c},T_{a},T_{b},T_{0}$ y altura h, como por ejemplo: $a=42,b=28,c=14,T_{c}=588,T_{a}=196,T_{b}=294,T_{0}=686,h=12$ sin o $a=156,b=80,c=65,T_{c}=6240,T_{a}=2600,T_{b}=5070,T_{0}=8450,h=48$, con $a,b,c$ coprimos entre sí.

