Distribución hipergeométrica
# Distribución hipergeométrica

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de $N$ elementos de los cuales, $K$ pertenecen a la categoría $A$ y $N-K$ pertenecen a la categoría $B$. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener $x$ ($0\leq x\leq K$) elementos de la categoría $A$ en una muestra sin reemplazo de $n$ elementos de la población original.

## Definición

### Función de Probabilidad

Una variable aleatoria discreta $X$ tiene una distribución hipergeométrica con parámetros $N=0,1,\dots$, $K=0,1,\dots ,N$ y $n=0,1,\dots ,N$ y escribimos $X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)$ si su función de probabilidad es

    $\operatorname {P} [X=x]={\frac {{K \choose x}{N-K \choose n-x}}{N \choose n}},$

para valores de $x$ comprendidos entre $\max\{0,n-N+K\}$ y $\min\{K,N-K\}$; donde $N$ es el tamaño de población, $n$ es el tamaño de la muestra extraída, $K$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y $x$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

La notación

    ${b \choose a}={\frac {b!}{a!(b-a)!}}$

hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar $a$ elementos de un total $b$.

### Fórmula recursiva

Si $X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)$ entonces puede demostrarse que

    ${\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\frac {(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}}\;\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}$

## Propiedades

Si $X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)$ entonces $X$ cumple algunas propiedades:

El valor esperado de la variable aleatoria $X$ es

    $\operatorname {E} [X]={\frac {nK}{N}}$

y su varianza está dada por

    $\operatorname {Var} [X]={\frac {nK}{N}}{\bigg{\frac {N-K}{N}}{\bigg )}{\bigg{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}$

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

## Distribuciones Relacionadas

* Si una variable aleatoria $X\sim \operatorname {HG} (N,K,1)$ entonces $X\sim \operatorname {Bernoulli} \left({\frac {K}{N}}\right)$.
* Si $X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)$ entonces $X\sim \operatorname {Binomial} (n,p)$ cuando $N\to \infty$ y $K\to \infty$ de forma tal que $K/N\to p$.
