Teorema del trinomio
# Teorema del trinomio

Si partimos de la definición del teorema del binomio (véase teorema del binomio, formulación del teorema) y coeficiente trinomial (véase coeficiente trinomial, pasos previos) se puede reescribir la fórmula del teorema del binomio de tal forma que para la expansión de un trinomio $(x+y+z)^{n}$ se cumple un teorema análogo.

## Pasos previos

En la sección pasos previos del coeficiente trinomial, queda definido que el coeficiente binomial ${n \choose k}$ podía ser reescrito si se define un $r_{1}=k$ y un $r_{2}=n-k$ [$r_{1}$ y $r_{2}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$)] siendo $r_{1}+r_{2}=n$, de tal forma que ${n \choose k}={n \choose r_{1},r_{2}}$.

Basándose en el teorema del binomio que establece que cualquier potencia de un binomio $x+y$ puede ser expandida en una suma de la forma:

* $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}$

(Véase la referencia completa en teorema del binomio, formulación del teorema).

se puede reescribir el binomio anterior de la siguiente forma: $(x+y)^{n}=\sum _{n=r_{1}+r_{2}}{n \choose r_{1},r_{2}}x^{r_{2}}y^{r_{1}}$

## Definición

Si $x,y,z\in \mathbb {R} ,$ $r_{1}$, $r_{2}$ y $r_{3}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$) tal que $n=r_{1}+r_{2}+r_{3}$, entonces la expansión del trinomio $(x+y+z)^{n}$ viene dada por la expresión $(x+y+z)^{n}=\sum _{n=r_{1}+r_{2}+r_{3}}{n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}x^{r_{2}}y^{r_{1}}z^{r_{3}}$

De esta forma para la expansión de un trinomio $(x+y+z)^{n}$ se cumple un teorema análogo.

