Teorema de Gauss-Lucas
# Teorema de Gauss-Lucas

En análisis complejo, el teorema de Gauss-Lucas aporta una relación geométrica entre las raíces de un polinomio P y las raíces de su derivada P. El conjunto de raíces de un polinomio real o complejo es un conjunto de puntos en el plano complejo. El teorema dice que todas las raíces de P caen en la envoltura convexa de las raíces de P, es decir, el menor de los polígonos convexos que contiene las raíces de P. Cuando P tiene una sola raíz, esta envoltura convexa consiste en un solo punto; y cuando las raíces definen una recta, la envoltura convexa es un segmento de esa recta. El teorema de Gauss-Lucas, nombrado en honor a Carl Friedrich Gauss y Félix Lucas es en esencia similar al teorema de Rolle.

## Teorema

* Si P es un polinomio (no constante) con coeficientes complejos, todos los ceros de P ' pertenecen a la envoltura convexa del conjunto de ceros de P.
* C. F. Gauss y F. Lucas

## Casos especiales

Es fácil ver que si P(x) = $ax^2$ + bx + c es un polinomio de segundo grado, el cero de P '(x) = 2ax + b es la media de los ceros de P. En ese caso, la envoltura convexa es el segmento que tiene las dos raíces como extremos y la media de las raíces es el punto medio del mismo.

Además, si un polinomio de grado n de coeficientes reales tiene n raíces reales distintas $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\,$, se puede ver que, usando el teorema de Rolle, los ceros de la derivada del polinomio se encuentran en el intervalo $[x_{1},x_{n}]\,$ que es la envoltura convexa del conjunto de raíces.

## Demostración

Sobre los números complejos, P es un producto de factores primos

    $P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})$

donde los números complejos $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ son los ceros – no necesariamente distintos – del polinomio $P$, el número complejo $\alpha$ es el coeficiente principal de $P$ y $n$ es el grado de $P$. Sea $z$ un número complejo tal que $P(z)\neq 0$. Entonces se tiene la derivada logarítmica

    ${\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}.$

En particular, si $z$ es un cero de $P'$ y aun así $P(z)\neq 0$, entonces

    $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0.\$

o

    $\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0.$

Esto también se puede expresar como

    $\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.$

Tomando sus conjugados, se puede observar que z es una suma ponderada con coeficientes positivos que suman uno, o el baricentro, de los números complejos $a_i$ (a cada uno de los cuales se le asigna una masa distinta).

Si P(z) = P'(z) = 0, entonces z = 1·z + $0·a_i,$ y sigue siendo una combinación convexa de las raíces de P.

