Triángulo de un séptimo del área
# Triángulo de un séptimo del área

En geometría plana, cualquier triángulo ABC contiene un triángulo de una séptima parte del área de ABC, formado de la siguiente manera: los lados de este triángulo se encuentran en las cevianas p, q y r, de forma que:

    p conecta A con un punto en BC que es un tercio de la distancia de B a C ,
    q conecta B con un punto en CA que es un tercio de la distancia de C a A ,
    r conecta C con un punto en AB que es un tercio de la distancia de A a B.

La prueba de la existencia del triángulo de una séptima parte del área se demuestra a partir de la construcción de seis líneas paralelas:

    dos paralelas a p, una a través de C, la otra a través del corte de q.r
    dos paralelas a q, una a través de A, la otra a través del corte de r.p
    dos paralelas a r, una a través de B, la otra a través del corte de p.q

La idea de Hugo Steinhaus es que el triángulo (central) con lados p, q, r se refleje en sus lados y vértices. Estos seis triángulos adicionales cubren parcialmente al ABC, y dejan seis triángulos adicionales que sobresalen fuera del ABC. Centrándose en el paralelismo de la construcción completa (publicada por Martin Gardner a través de la revista en línea de James Randi), son evidentes las congruencias entre pares de piezas sobresalientes y faltantes de ABC . Como se ve en la solución gráfica, las seis piezas más la original equivalen a todo el triángulo ABC.

Robert Potts incluyó una muestra temprana de esta construcción geométrica y cálculo de área en 1859, en su libro de texto sobre geometría euclidiana.

Según Cook y Wood (2004), este triángulo desconcertó a Richard Feynman en una conversación durante una cena; lo que llevó a los comensales a dar cuatro demostraciones diferentes de la relación entre las áreas. De Villiers (2005) halló una generalización y un resultado análogo para un paralelogramo.

Un resultado más general basado en una construcción similar es conocido como el teorema de Routh.

