Orden de un elemento de grupo
# Orden de un elemento de grupo

En el campo matemático de la teoría de grupos, se denomina orden de un elemento de grupo (o también orden de los elementos) a la mínima potencia natural a la que debe elevarse para obtener el elemento neutro. Dicho de otra forma, el orden de un elemento $g$ de un grupo $(G,\cdot )$ es el número natural $n>0$ más pequeño para el que se verifica que $g^{n}=e$, donde $e$ es el elemento neutro del grupo. Si no existe tal número, se dice que $g$ tiene "orden infinito".

Expreado en fórmulas:

    $\operatorname {Ord} (g)={\begin{cases}\min\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}&{\text{si }}{\text{ existe}},\\\infty &{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}$

Los elementos de orden finito también se denominan torsionales. El orden a veces se denomina $\operatorname {ord} (g)$ o $\operatorname {o} (g)$.

La potencia $g^{n}$ de un elemento del grupo $g$ se define inductivamente para exponentes naturales $n\geq 0$:

* $g^{0}:=e$
* $g^{k+1}:=g^{k}\cdot g$ para todo $k\geq 0$ natural

El número $\exp(G):=\operatorname {kgV} \left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}$, cuando es finito, se llama exponente de grupo.

## Propiedades

* Según el teorema de Lagrange, todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito, y este es un divisor del orden del grupo, es decir, del número de elementos del grupo.
* Por el contrario, según el teorema de Cauchy, en un grupo finito, por cada número primo $p$ divisor del orden del grupo, hay un elemento que tiene el orden $p$. No es posible una afirmación general para divisores compuestos (mientras que el elemento neutro $e=e^{1}$ pertenece al divisor trivial 1).
* El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo generado por ese elemento.
* $g^{d}=e$ se aplica si y solo si $d$ es un múltiplo del orden $\operatorname {ord} (g)$ del elemento $g$.
* Para cada $g\in G$ que no sea el elemento neutro $e$, se aplica lo siguiente: $g$ tiene orden 2 si y solo si es su propio inverso.
* En un grupo abeliano, el orden del producto $g\cdot h$ es un divisor del mínimo común múltiplo de los órdenes de $g$ y $h$. Tal afirmación no es posible en grupos no abelianos; por ejemplo, el elemento $\left[\!{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ del grupo $SL_2(Z)$ tiene orden infinito, aunque es producto de los elementos $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\!\right]$ de orden 4 y $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ de orden 6.
