Plano de Minkowski
# Plano de Minkowski

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por Hermann Minkowski) es uno de los planos de Benz (los otros dos son el plano de Möbius y el plano de Laguerre).

## Plano de Minkowski real clásico

Aplicando la distancia espacio pseudoeuclídeo $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ a dos puntos $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ (en lugar de la distancia euclidiana) obtenemos la geometría de las hipérbolas, porque un círculo pseudoeuclidiano $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ es un hipérbola con punto medio $M$.

Mediante una transformación de coordenadas $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$, $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$, la distancia pseudoeuclidiana se puede reescribir como $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$. Las hipérbolas tienen entonces asíntota paralelo a los ejes de coordenadas no primos.

La siguiente completación (véase plano de Möbius y plano de Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:

* El conjunto de puntos: ${\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,$
* El conjunto de ciclos: ${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:=&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$

La estructura de incidencia $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ se llama plano de Minkowski real clásico.

El conjunto de puntos consta de $\mathbb {R} ^{2}$, dos copias de $\mathbb {R}$ y el punto $(\infty ,\infty )$.

Cualquier línea $y=ax+b,a\neq 0$ se completa con el punto $(\infty ,\infty )$, cualquier hipérbola $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ con los dos puntos $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (ver figura).

Dos puntos $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si $x_{1}=x_{2}$ o $y_{1}=y_{2}$.

Definimos: Dos puntos $P_{1},P_{2}$ son (+)-paralelos ($P_{1}\parallel _{+}P_{2}$) si $x_{1}=x_{2}$ y (-)-paralelos ($P_{1}\parallel _{-}P_{2}$) si $y_{1}=y_{2}$.

Ambas relaciones son relación de equivalencia en el conjunto de puntos.

Dos puntos $P_{1},P_{2}$ se llaman paralelos ($P_{1}\parallel P_{2}$) si $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ o $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$.

De la definición anterior encontramos:

Lema:

* Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
* Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ hay exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
* Para tres puntos cualesquiera $A$, $B$, $C$, por pares no paralelos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
* Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$, es decir, $z$ toca $z'$ en el punto P.

Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso la cuádrica vive en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).

## Los axiomas de un plano de Minkowski

Sea $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ una estructura de incidencia con el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos, el conjunto ${\mathcal {Z}}$ de ciclos y dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ ((+)-paralela) y $\parallel _{-}$ ((-)-paralela) en el conjunto ${\mathcal {P}}$. Para $P\in {\mathcal {P}}$ definimos: ${\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ y ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$. Una clase de equivalencia ${\overline {P}}_{+}$ o ${\overline {P}}_{-}$ se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente. (Para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide). Dos puntos $A,B$ se llaman paralelos ($A\parallel B$) si son $A\parallel _{+}B$ o $A\parallel _{-}B$.

Una estructura de incidencia ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:

* C1: Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
* C2: Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ existen exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
* C3: Para tres puntos cualesquiera $A,B,C$, por pares no paralelos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
* C4: Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$, es decir, $z$ toca a $z'$ en el punto $P$.
* C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Hay al menos un ciclo $z$ y un punto $P$ que no está en $z$.

Para investigaciones son ventajosas las siguientes declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1, C2 respectivamente).

* C1': Para dos puntos cualesquiera $A,B$ tenemos $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$.
* C2': Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ tenemos: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$.

Las primeras consecuencias de los axiomas son

* Lema
* For a Minkowski plane ${\mathfrak {M}}$ the following is true
* Plantilla:Ordered list

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre obtenemos la conexión con el plano lineal. geometría a través de los residuos.

Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ y $P\in {\mathcal {P}}$ definimos la estructura local

${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )$

e residuo en el punto P.

Para el plano clásico de Minkowski, ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ es el plano afín real $\mathbb {R} ^{2}$.

Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.

* Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$, cualquier residuo es un plano afín.
* Sea ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ y $\parallel _{-}$ en el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos (véase arriba).
* Entonces, ${\mathfrak {M}}$ es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto $P$ el residuo ${\mathfrak {A}}_{P}$ es un plano afín

### Modelo mínimo

El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ de tres elementos:

    ${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$
    ${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}$

Puntos paralelos:

* $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $x_{1}=x_{2}$
* $(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $y_{1}=y_{2}$.

De ahí $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ y $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$.

### Planos finitos de Minkowski

Para planos de Minkowski finitos obtenemos de C1′, C2′:

* Lema
* Let be ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ a finite Minkowski plane, i.e. $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$. For any pair of cycles $z_{1},z_{2}$ and any pair of generators $e_{1},e_{2}$ we have:
* $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$.

Esto da lugar a la definición: Para un plano finito de Minkowski ${\mathfrak {M}}$ y un ciclo $z$ de ${\mathfrak {M}}$ llamamos al número entero $n=\left|z\right|-1$ el orden de ${\mathfrak {M}}$.

Consideraciones combinatorias simples producen

* Lema
* For a finite Minkowski plane ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ the following is true:
* Plantilla:Ordered list

## Planos de Minkowski miquelianos

Obtenemos los ejemplos más importantes de planos de Minkowski generalizando el modelo real clásico: simplemente reemplace $\mathbb {R}$ por un field $K$ arbitrario y obtendremos "en cualquier caso" un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$.

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$.

Teorema (Miquel): Para el plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ se cumple lo siguiente:

    Si para cualquier par de 8 puntos no paralelos $P_{1},...,P_{8}$ que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico.

(Para una mejor visión general en la figura hay círculos dibujados en lugar de hipérbolas.)

Teorema (Chen): solo un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ satisface el teorema de Miquel.

Debido al último teorema, ${\mathfrak {M}}(K)$ se denomina plano miqueliano de Minkowski.

Observación: El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.

    Es isomorfo al plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ con $K=\operatorname {GF} (2)$ (campo $\{0,1\}$).

Un resultado sorprendente es que:

Teorema (Heise): Cualquier plano de Minkowski de orden "par" es miqueliano.

Observación: Un proyección estereográfica adecuado muestra: ${\mathfrak {M}}(K)$ es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica del índice 2) en 3 espacios proyectivos sobre el campo $K$.

Observación: Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (ver enlace web a continuación). Pero no existen planos "ovoidales de Minkowski", a diferencia de los planos de Möbius y Laguerre. Porque cualquier quadratic set del índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (ver quadratic set).

