Mecanismo de Chebyshov
# Mecanismo de Chebyshov

El Mecanismo de Chebyshov es una conexión mecánica que convierte un movimiento de rotación en un movimiento prácticamente rectilíneo.

Fue ideado por el matemático ruso del siglo XIX Pafnuty Chebyshov mientras estudiaba problemas teóricos en mecanismos cinemáticos. Uno de estos problemas era la construcción de una conexión mecánica para convertir un movimiento rotativo en un movimiento aproximadamente rectilíneo. Este problema también había sido estudiado por James Watt en sus mejoras al motor de vapor.

El mecanismo confina el punto P —punto medio de la barra $L_3—$ en una línea recta entre los dos extremos y el centro de su desplazamiento. Entre estos puntos, el punto P se desvía ligeramente de una línea recta perfecta. Las proporciones entre las barras articuladas son las siguientes (la configuración de las longitudes $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ y $L_4$ se muestra en la ilustración):

    $L_{1}:L_{2}:L_{3}=2:2.5:1=4:5:2\,$

Como ya se ha indicado, el punto P está en el centro de la barra $L_3.$ Esta configuración asegura que la barra $L_3$ se sitúe verticalmente cuando está en uno de los extremos de su recorrido.

Las longitudes están relacionadas matemáticamente como sigue:

    $L_{4}=L_{3}+{\sqrt {L_{2}^{2}-L_{1}^{2}}}\,$

Se concluye que si se toman las proporciones de base especificadas, entonces para todos los casos,

    $L_{4}=L_{2}\,$

contribuyendo este hecho al movimiento rectilíneo percibido del punto P.

## Ecuaciones del movimiento

El movimiento del mecanismo se puede deducir en función de un ángulo de entrada determinado, ligado a su vez a una ley en función de las velocidades o fuerzas consideradas. El ángulo de entrada puede ser de la barra $L_2$ o de la barra $L_4$ con la horizontal. A partir del ángulo de entrada, es posible determinar la posición de los puntos extremos de la barra $L_3$ (denominados A y B) y del punto medio P:

    $x_{A}=L_{2}\cos(\varphi _{1})\,$
    $y_{A}=L_{2}\sin(\varphi _{1})\,$

La posición del punto B se calcula con el otro ángulo:

    $x_{B}=L_{1}-L_{4}\cos(\varphi _{2})\,$
    $y_{B}=L_{4}\sin(\varphi _{2})\,$

Finalmente, se especifica el segundo ángulo en función del primero:

    $\varphi _{2}=\arcsin \left[{\frac {L_{2}\,\sin(\varphi _{1})}{\overline {AO_{2}}}}\right]-\arccos \left({\frac {L_{4}^{2}+{\overline {AO_{2}}}^{2}-L_{3}^{2}}{2\,L_{4}\,{\overline {AO_{2}}}}}\right)\,$

En consecuencia, es posible determinar la posición del punto P, utilizando las coordenadas de los dos puntos extremos A y B; y la definición del punto medio:

    $x_{P}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\,$
    $y_{P}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\,$

### Ángulos de entrada

Los límites de los ángulos de entrada, en ambos casos, son:

    $\varphi _{\text{min}}=\arccos \left({\frac {4}{5}}\right)\approx 36.8699^{\circ }.\,$
    $\varphi _{\text{max}}=\arccos \left({\frac {-1}{5}}\right)\approx 101.537^{\circ }.\,$
