Plano de Benz
# Plano de Benz

En matemáticas, un plano de Benz es un tipo de estructura 2-dimensiónal geometrical, que lleva el nombre del matemático alemán Walter Benz. El término se aplicó a un grupo de objetos que surgen de un sistema axiomático común de ciertas estructuras y se dividieron en tres familias, que se introdujeron por separado: Plano de Möbius, Laguerre plane y Minkowski plane.

## Plano de Möbius

Comenzar desde real Plano (geometría) y fusionar el conjunto de líneas con el conjunto de círculos para formar un conjunto de bloques da como resultado un estructura de incidencia no homogéneo: tres puntos distintos determinan un bloque, pero las líneas se distinguen como un conjunto de bloques que se intersect en pares mutuamente en uno. punto sin ser tangente (o ningún punto cuando es paralelo). Agregar al conjunto de puntos el nuevo punto $\infty$, definido para que se encuentre en cada línea, da como resultado que cada bloque esté determinado por exactamente tres puntos, así como la intersección de dos bloques cualesquiera siguiendo un patrón uniforme (que se cruzan en dos puntos, tangentes o no). intersección). Esta geometría homogénea se llama geometría inversa clásica o plano de Möbius. La falta de homogeneidad de la descripción (líneas, círculos, nuevo punto) puede verse como no sustancial utilizando un modelo tridimensional. Usando un proyección estereográfica, se puede considerar que el plano clásico de Möbius es isomorfo a la geometría de sección (geometría) (círculos) en una esfera en el espacio tridimensional euclidiano.

De manera análoga al plano proyectivo (axiomático), un plano de Möbius (axiomático) define una estructura de incidencia. Los planos de Möbius también pueden construirse sobre field distintos de los números reales.

## Plano de Laguerre

Partiendo nuevamente de $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ y tomando como bloques las curvas con ecuaciones $y=ax^{2}+bx+c$ (parábolas y rectas), es efectiva la siguiente homogeneización: Añadir a la curva $y=ax^{2}+bx+c$ el nuevo punto $(\infty ,a)$. Por tanto, el conjunto de puntos es $(\mathbb {R} \cup {\infty })\times \mathbb {R}$. Esta geometría de parábolas se llama plano de Laguerre clásico (originalmente fue diseñado como la geometría de líneas y círculos orientados. Ambas geometrías son isomorfas).

En cuanto al plano de Möbius, existe un modelo tridimensional: la geometría de las secciones del plano elíptico en un cilindro ortogonal (en $\mathbb {R} ^{3}$). Una abstracción conduce (análogamente al plano de Möbius) al plano axiomático de Laguerre.

## Plano de Minkowski

Partiendo de $\mathbb {R} ^{2}$ y fusionando las rectas $y=mx+d,m\neq 0$ con las hipérbolas $y={\tfrac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ para obtener el conjunto de bloques, la siguiente idea homogeneiza la estructura de incidencia: Sumar a cualquier recta el punto $(\infty ,\infty )$ y a cualquier hipérbola $y={\tfrac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ los dos puntos $(b,\infty ),(\infty ,c)$. Por tanto, el conjunto de puntos es $(\mathbb {R} \cup \{\infty \})^{2}$. Esta geometría de las hipérbolas se llama plano clásico de Minkowski.

De manera análoga a los planos clásicos de Möbius y Laguerre, existe un modelo tridimensional: el plano clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (cuádrico no degenerado de índice 2) en un espacio proyectivo tridimensional. . De manera similar a los dos primeros casos, obtenemos el plano (axiomático) de Minkowski.

## Geometrías de círculos planos o planos Benz

Debido al papel esencial del círculo (considerado como el sección cónica no degenerado en un plano proyectivo) y a la descripción plana de los modelos originales, los tres tipos de geometrías se subsumen a las geometrías de círculos planos o en honor a Walter Benz, quien consideró estas geometrías. estructuras desde un punto de vista común, planos de Benz.

