Comparación de topologías
# Comparación de topologías

En topología y otras áreas de matemáticas, el conjunto de todas las topologías sobre un conjunto dado es un conjunto parcialmente ordenado. Esta relación de orden puede utilizarse para la comparación de topologías.

## Definición

Dado un conjunto $X$, una topología ${\mathcal {T}}$ sobre dicho conjunto es una familia de subconjuntos llamados abiertos que cumplen determinadas condiciones.

Sean ${\mathcal {T}}_{1}$ y ${\mathcal {T}}_{2}$ dos topologías sobre $X$, entonces la topología ${\mathcal {T}}_{1}$ es más fina que ${\mathcal {T}}_{2}$ si ${\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$. También, se dice que ${\mathcal {T}}_{2}$ es más gruesa o más débil que ${\mathcal {T}}_{1}$. Si la relación de inclusión es estricta, se añade el término estrictamente. Si ${\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}$, las topologías son equivalentes.

La relación de inclusión $\subseteq$ define una relación parcial de orden sobre el conjunto de posibles topologías sobre $X$.

## Ejemplos

* La topología más fina sobre un conjunto dado es la topología discreta y la topología más gruesa es la trivial.
* Sobre los reales, la topología usual es más débil que la topología de Sorgenfrey.
* Sobre $\mathbb {R} ^{n}$, las topologías inducidas por la distancia euclidiana, distancia del máximo y distancia de Manhattan son equivalentes.
* Sobre $\mathbb {R}$, la topología cofinita es más débil que la usual.

## Propiedades

Sean ${\mathcal {T}}_{1}$ y ${\mathcal {T}}_{2}$ dos topologías sobre $X$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

* ${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}$
* La función identidad $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})$ es continua.
* La función identidad $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})$ es abierta.
