Ecuación de Böttcher
# Ecuación de Böttcher

La ecuación de Böttcher es la ecuación funcional.

       $F(h(z))=(F(z))^{n}$

donde

* h es una función analítica dada con un punto fijo superatrayente de orden n en a, (es decir, $h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,$ en un entorno de a), con n ≥ 2
* F es una función buscada.

El logaritmo de esta ecuación funcional equivale a la ecuación de Schröder.

## Nombre

La ecuación lleva el nombre de Lucjan Böttcher.

## Solución

La solución de la ecuación funcional es una función en forma implícita .

Lucian Emil Böttcher bosquejó una prueba en 1904 sobre la existencia de una solución: una función analítica F en una vecindad del punto fijo a, tal que:

    $F(a)=0$

Esta solución a veces se llama:

* la coordenada de Böttcher
* La función Böttcher
* el mapa de Boettcher

La prueba completa fue publicada por Joseph Ritt en 1920, que desconocía la formulación original.

La coordenada de Böttcher (el logaritmo de la función de Schröder ) conjuga h(z) en una vecindad del punto fijo a la función $z^n.$ Un caso especialmente importante es cuando h(z) es un polinomio de grado n , y a = ∞.

### Ejemplos

Para la función h y n = 2

    $h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}$

la función F de Böttcher es:

    $F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$

## Aplicaciones

La ecuación de Böttcher desempeña un papel fundamental en la parte de la dinámica holomórfica que estudia la iteración de polinomios de una variable compleja .

Las propiedades globales de la coordenada de Böttcher fueron estudiadas por Fatou y Douady y Hubbard.

