Topología finita
# Topología finita

Topología finita es un concepto matemático que tiene varios significados distintos.

## Espacio topológico finito

Un espacio topológico finito es un espacio topológico cuyo conjunto subyacente es finito.

## En anillos y módulos de endomorfismos

Si A y B son grupos abelianos, la topología finita del grupo de homomorfismos Hom( A, B ) se define mediante la siguiente base de entornos abiertos de cero.

    $U_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}=\{f\in \operatorname {Hom} (A,B)\mid f(x_{i})=0{\mbox{ for }}i=1,2,\ldots ,n\}$

Este concepto se aplica en concreto en el estudio de anillos de endomorfismos donde se tiene A = B. Semejantemente, si R es un anillo y M es un módulo R derecho, entonces la topología finita en ${\text{End}}_{R}(M)$ se define mediante el siguiente sistema de entornos abiertos de cero :

    $U_{X}=\{f\in {\text{End}}_{R}(M)\mid f(X)=0\}$

## En espacios vectoriales

En un espacio vectorial $V$, los abiertos finitos $U\subset V$ se definen como los conjuntos cuyas intersecciones con cada subespacio de dimensión finita $F\subset V$ son abiertas. La topología finita en $V$ se define con esos abiertos y se escribe $\tau _{f}(V)$ .

Cuando V tiene dimensión no numerable, esta topología no es localmente convexa ni le otorga a V la estructura de un espacio vectorial topológico, pero cuando V tiene dimensión numerable, coincide tanto con la topología del espacio vectorial más fina en V como con la topología localmente convexa más fina en V.

## En variedades

A veces se dice que una variedad M tiene topología finita, o tipo topológico finito, si es homeomorfa a una superficie compacta de Riemann de la que se ha quitado un número finito de puntos.

* ↑ Krylov 2002, p.4598–4735
* ↑ Abyazov and Maklakov 2023, p.74
* ↑ Kakutani and Klee 1963, p.55-58
* ↑ Pazzis 2018, p.2
* ↑ Hoffman and Karcher 1995, p.75
* Abyazov, A.N.; Maklakov, A.D. (2023), «Finite topologies and their properties in linear algebra», Russian Mathematics 67 (1), doi:10.3103/s1066369x23010012 .
* Hoffman, D.; Karcher, Hermann (1995), Complete embedded minimal surfaces of finite total curvature, doi:10.48550/arXiv.math/9508213 .
* Kakutani, Shizuo; Klee, Victor (December 1963), «The finite topology of a linear space», Archiv der Mathematik 14 (1): 55-58, doi:10.1007/bf01234921 .
* Krylov, P.A.; Mikhalev, A.V.; Tuganbaev, A.A. (2002), «Properties of endomorphism rings of abelian groups I.», J. Math. Sci. (New York) 112 (6): 4598-4735, doi:10.1023/A:1020582507609 .
* Pazzis, C. (2018), On the finite topology of a vector space and the domination problem for a family of norms, doi:10.48550/arXiv.1801.09085 .
