Elipsoide de referencia
# Elipsoide de referencia

Un elipsoide de referencia es un elipsoide que se utiliza como un marco de referencia en cálculos geodésicos. Se trata de una asimilación ideal a la forma de la Tierra, con la que es más fácil trabajar que con el geoide. Es relativamente fácil de describir un elipsoide de referencia utilizando fórmulas matemáticas. La descripción del geoide es mucho más compleja, ya que conlleva realizar mediciones muy precisas.

## Historia

En los primeros modelos sobre la forma de la tierra se empleaba la esfera, utilizada ya desde la Antigua Grecia.

En el siglo XVII, había dudas sobre si la Tierra sería una esfera perfecta o no. El 1688, Isaac Newton resolvió una controversia con Giovanni Domenico Cassini demostrando matemáticamente que la rotación de la Tierra generaría un achatamiento en la zona de los polos, y no en el ecuador. En la práctica eso no fue comprobado hasta medio siglo más tarde, por parte de dos expediciones enviadas por la Academia Francesa de Ciencias envió para resolverlo: una expedición, dirigida por Pierre Louis Maupertuis (1736-1737), fue enviada al valle del Torne (cerca del polo norte de la Tierra); la segunda, bajo el mando de Pierre Bouguer (1735-1744) y Alexis-Claude Clairaut, conocida como misión geodésica francesa, fue enviada a lo que es el actual territorio del Ecuador, cerca del ecuador terrestre. Sus medidas demostraron que la Tierra era achatada, con un aplanamiento de 1:210. Esta aproximación a la forma real de la Tierra se convirtió en el nuevo elipsoide de referencia.

La medición del arco de meridiano llevó en 1791 a la definición del metro como la 10 millonésima parte de la distancia idealizada entre el polo y el ecuador. Debido a diferentes errores en la medición, que resultó ser un 0,022% demasiado corto, se redefinió en dos ocasiones, en 1793, y en 1799. El valor de 1799 sigue siendo la definición oficial, aunque es un 0.197 ‰ demasiado corto. En 1983, el metro fue redefinido como la distancia que recorre la luz en el vacío, en una cierta cantidad de tiempo.

En 1671 un astrónomo francés, Jean Richer (1630-1696), fue enviado por Luis XIV a la isla de Cayena, en la Guayana francesa para realizar algunas observaciones astronómicas. Su reloj fue ajustado de manera que el péndulo, de 1 metro de longitud, marcaba con exactitud los segundos en París (cuando el péndulo es corto, su ritmo es más rápido que cuando es largo). Al llegar a Cayena, que está cerca del Ecuador, Richer se encontró con que el reloj atrasaba cerca de dos minutos y medio por día. Tan pronto como fueron publicadas las leyes de Newton sobre la gravitación (1687) se pudo atribuir el retraso del reloj en Cayena a algún factor que reducía el valor de la gravedad cerca del Ecuador. Pronto se llegó a la conclusión de que el menor valor de la gravedad se debía a que la región ecuatorial está más lejos del centro de la Tierra que las regiones situadas más al norte o más al sur. Entonces, desde ese momento las medidas más exactas han revelado que la verdadera forma de la Tierra se asemeja a una esfera que ha sido comprimida en los ejes polares y que está ligeramente abultada alrededor del Ecuador. Esa forma es conocida, entre otros nombres, como elipsoide achatado.

## Parámetros del elipsoide

En 1687 Isaac Newton publicó los Principia en los que incluía una prueba de que un cuerpo fluido autogravitatorio en rotación y en equilibrio adopta la forma de un elipsoide aplanado ("oblato") de revolución, generado por una elipse girada alrededor de su diámetro menor; una forma que denominó esferoide oblato.

En geofísica, geodesia, y áreas relacionadas, la palabra 'elipsoide' se entiende como 'elipsoide oblato de revolución', y el término más antiguo 'esferoide oblato' apenas se utiliza. Para los cuerpos que no pueden aproximarse bien mediante un elipsoide de revolución se utiliza un triaxial (o escaleno).

La forma de un elipsoide de revolución viene determinada por los parámetros de forma de dicha elipse. El semieje mayor de la elipse, a, se convierte en el radio ecuatorial del elipsoide: el semieje menor de la elipse, b, se convierte en la distancia del centro a cualquiera de los polos. Estas dos longitudes especifican completamente la forma del elipsoide.

En las publicaciones de geodesia, sin embargo, es común especificar el semieje mayor (radio ecuatorial) a y el achatamiento f, definidos como:

    $f={\frac {a-b}{a}}.$

Es decir, f es la cantidad de achatamiento en cada polo, respecto al radio en el ecuador. A menudo se expresa como una fracción 1/m; m = 1/f es el "achatamiento inverso". En geodesia se utilizan muchos otros parámetros de elipse, pero todos ellos pueden relacionarse con uno o dos de los conjuntos a, b y f.

En el pasado se han utilizado muchos elipsoides para modelar la Tierra, con diferentes valores supuestos de a y b, así como diferentes posiciones supuestas del centro y diferentes orientaciones de los ejes con respecto a la Tierra sólida. A partir de finales del siglo XX, la mejora de las mediciones de las órbitas de los satélites y las posiciones de las estrellas han proporcionado determinaciones extremadamente precisas del centro de masa de la Tierra y de su eje de revolución; y esos parámetros se han adoptado también para todos los elipsoides de referencia modernos.

El elipsoide WGS-84, ampliamente utilizado para cartografía y navegación por satélite tiene f cercano a 1/300 (más exactamente, 1/298,257223563, por definición), lo que corresponde a una diferencia de los semiejes mayor y menor de aproximadamente 21 km. (más exactamente, 21,3846857548205 km). A modo de comparación, la Luna de la Tierra es aún menos elíptica, con un achatamiento inferior a 1/825, mientras que Júpiter es visiblemente oblato, con aproximadamente 1/15, y una de las lunas triaxiales de Saturno, Telesto, es muy achatada, con f entre 1/3 y 1/2 (lo que significa que el diámetro polar está entre el 50% y el 67% del ecuatorial.

## Determinación

La medición del arco es el método histórico para determinar el elipsoide. Dos mediciones de arcos de meridiano permitirán derivar dos parámetros necesarios para especificar un elipsoide de referencia. Por ejemplo, si las mediciones se realizaran hipotéticamente exactamente sobre el plano ecuatorial y cualquiera de los polos geográficos, los radios de curvatura así obtenidos se relacionarían con el radio ecuatorial y el radio polar, respectivamente a y b. Entonces, el aplanamiento se calcula fácilmente de su definición:

    $f=(a-b)/a$.

Para dos mediciones de arco cada una con latitudes promedio arbitrarias $\varphi _{i}$, $i=1,\,2$, la solución comienza a partir de una aproximación inicial del radio ecuatorial $a_{0}$ y para un aplanamiento $f_{0}$. El radio de curvatura meridional de la Tierra $M_{0}(\varphi _{i})$ se puede calcular en la latitud de cada medición de arco con la fórmula:

    $M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a}{\sqrt {1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i}}}}$

where $e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}$. Luego se establecen las discrepancias entre los valores empíricos y teóricos del radio de curvatura como $\delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})$. Finalmente, se obtienen correcciones para el radio ecuatorial inicial $\delta a$ y el aplanamiento $\delta f$ utilizando un sistema de ecuaciones lineales formulado mediante lienalización de $M$:

    $\delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)$

donde las derivadas parciales son:

    $\partial M/\partial a\approx 1$
    $\partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})$

Los arcos más largos con múltiples determinaciones de latitud intermedia pueden determinar completamente el elipsoide que mejor se ajusta a la región estudiada. En la práctica, las mediciones de múltiples arcos se utilizan para determinar los parámetros del elipsoide por el método de ajuste de mínimos cuadrados. Los parámetros determinados suelen ser el semieje mayor, $a$, y cualquiera de los semiejes menores, $b$, el achatamiento o la excentricidad.

Los efectos sistemáticos a escala regional observados en las mediciones del radio de curvatura reflejan la ondulación del geoide y la desviación de la vertical, como se explora en la nivelación astrogeodésica.

La gravimetría es otra técnica que se puede utilizar para determinar el aplanamiento de la Tierra, según lo establece el teorema de Clairaut.

La geodesia moderna ya no utiliza arcos meridianos simples o redes de triangulación a nivel del suelo, sino métodos basados en geodesia satelital, especialmente gravimetría satelital.

## Elipsoides históricos de la Tierra

Los modelos de elipsoides de referencia que se enumeran a continuación han tenido utilidad en el trabajo geodésico y muchos de ellos siguen en uso. Los elipsoides más antiguos llevan el nombre de la persona que los derivó y se indica el año de desarrollo. En 1887 el topógrafo inglés Coronel Alexander Ross Clarke fue galardonado con la Medalla de Oro de la Royal Society por su trabajo en la determinación de la figura de la Tierra. El elipsoide internacional fue desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que lo recomendó para uso internacional.

En la reunión de 1967 de la IUGG, celebrada en Lucerna (Suiza), se recomendó la adopción del elipsoide denominado GRS-67 (Sistema de Referencia Geodésico 1967) que figura en el listado. No se recomendó que el nuevo elipsoide sustituyera al Elipsoide Internacional (1924), sino que se propugnó su uso cuando se requiriera un mayor grado de precisión. Pasó a formar parte del GRS-67, que fue aprobado y adoptado en la reunión de 1971 de la IUGG celebrada en Moscú. Se utiliza en Australia para el Australian Geodetic Datum y en el South American Datum 1969.

El GRS-80 (Geodetic Reference System 1980), aprobado y adoptado por la IUGG en su reunión de Canberra, Australia, de 1979, se basa en el radio ecuatorial (semieje mayor del elipsoide terrestre) $a$, la masa total $GM$, el factor de forma dinámico $J_{2}$ y la velocidad angular de rotación $\omega$, haciendo del aplanamiento inverso $1/f$ una magnitud derivada. La diminuta diferencia en $1/f$ que se observa entre el GRS-80 y el WGS-84 se debe a un truncamiento involuntario en las constantes definitorias de este último: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherirse estrechamente al GRS-80, incidentalmente el aplanamiento derivado del WGS-84 resultó ser ligeramente diferente al aplanamiento del GRS-80 porque el coeficiente gravitacional armónico zonal de segundo grado normalizado, que se derivó del valor GRS-80 para $J_{2}$, fue truncado a ocho dígitos significativos en el proceso de normalización.

Un modelo elipsoidal describe sólo la geometría del elipsoide y una fórmula de campo de gravedad normal que lo acompaña. Normalmente, un modelo elipsoidal forma parte de un datum geodésico más amplio. Por ejemplo, el antiguo ED-50 (European Datum 1950) se basa en el elipsoide de Hayford o International Ellipsoid. El WGS-84 tiene la peculiaridad de que se utiliza el mismo nombre tanto para el sistema de referencia geodésico completo como para el modelo elipsoidal que lo compone. No obstante, los dos conceptos -modelo elipsoidal y sistema geodésico de referencia- siguen siendo distintos.

Obsérvese que un mismo elipsoide puede recibir diferentes nombres. Lo mejor es mencionar las constantes definitorias para una identificación inequívoca.

| Nombre del elipsoide de referencia | Radio ecuatorial (m) | Radio polar (m) | Aplanamiento inverso | Dónde se utiliza |
| - | - | - | - | - |
| Maupertuis (1738) | 6 397 300 | 6 363 806.283 | 191 | Francia |
| Plessis (1817) | 6 376 523.0 | 6 355 862.9333 | 308.64 | Francia |
| Everest (1830) | 6 377 299.365 | 6 356 098.359 | 300.801 725 54 | India |
| Everest 1830 Modificado (1967) | 6 377 304.063 | 6 356 103.0390 | 300.8017 | Malasia Occidental y Singapur |
| Everest 1830 (definición de 1967) | 6 377 298.556 | 6 356 097.550 | 300.8017 | Brunéi y Malasia Oriental |
| Airy (1830) | 6 377 563.396 | 6 356 256.909 | 299.324 964 6 | Britania |
| Bessel (1841) | 6 377 397.155 | 6 356 078.963 | 299.152 812 8 | Europa, Japón |
| Clarke (1866) | 6 378 206.4 | 6 356 583.8 | 294.978 698 2 | América del Norte |
| Clarke (1878) | 6 378 190 | 6 356 456 | 293.465 998 0 | América del Norte |
| Clarke (1880) | 6 378 249.145 | 6 356 514.870 | 293.465 | Francia, África |
| Helmert (1906) | 6 378 200 | 6 356 818.17 | 298.3 | Egipto |
| Hayford (1910) | 6 378 388 | 6 356 911.946 | 297 | EE. UU. |
| International (1924) | 6 378 388 | 6 356 911.946 | 297 | Europa |
| Krassovsky (1940) | 6 378 245 | 6 356 863.019 | 298.3 | RSS, Rusia, Rumanía |
| WGS66 (1966) | 6 378 145 | 6 356 759.769 | 298.25 | EE. UU./Departamento de Defensa |
| Australian National (1966) | 6 378 160 | 6 356 774.719 | 298.25 | Australia |
| New International (1967) | 6 378 157.5 | 6 356 772.2 | 298.249 615 39 | |
| GRS-67 (1967) | 6 378 160 | 6 356 774.516 | 298.247 167 427 | |
| América del Sur (1969) | 6 378 160 | 6 356 774.719 | 298.25 | América del Sur |
| WGS-72 (1972) | 6 378 135 | 6 356 750.52 | 298.26 | EE. UU./Departamento de Defensa |
| GRS-80 (1979) | 6 378 137 | 6 356 752.3141 | 298.257 222 101 | Global ITRS |
| WGS-84 (1984) | 6 378 137 | 6 356 752.3142 | 298.257 223 563 | Sistema de Posicionamiento Global GPS |
| IERS (1989) | 6 378 136 | 6 356 751.302 | 298.257 | |
| IERS (2003) | 6 378 136.6 | 6 356 751.9 | 298.256 42 | |
