*-álgebra
# *-álgebra

En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos $R$ y $A$, donde $R$ es conmutativo y $A$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre $R$. Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

## Definición

### *-Anillo

Un *-anillo es un anillo con una función $^{*}:A\rightarrow A$, el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados $x,y\in A$ se cumplen las condiciones

* Linealidad: $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$.
* Contravariante: $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$.
* Idempotencia: $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$.

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos $1_{A}$, entonces $1_{A}=1_{A}^{*}$.

Elementos tales que $x^{*}=x$ son llamados auto-adjuntos.

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si $I$ es un ideal y $x\in I$ entonces si $x^{*}\in I$ diremos que $I$ es un *-ideal.

### *-Álgebra

Una *-álgebra $A$ es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo $R$ con involución $^{\prime },$ tal que $(rx)^{*}=r^{\prime }x^{*}$ para todo $r\in R$ y $x\in A$. A menudo el anillo $R$ corresponde a los números complejos (con $^{\prime }$ como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en $A$ es antilineal en $R$, es decir,

$(\lambda x+\mu y)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}+{\overline {\mu }}y^{*}$ para todo $x,y\in A\,\,{\text{ y }}\,\,\lambda ,\mu \in R.$

Un *-homomorfismo $\varphi :A\rightarrow B$ es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de $A$ y $B$ , es decir, $\varphi (x^{*_{A}})=\varphi (x)^{*_{B}}$ para todo $x\in A$ (donde $^{*_{A}}$ y $^{*_{B}}$ son las involuciones de $A$ y $B$ respectivamente).

## Ejemplos

* Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial ($x^{*}=x$ para todo $x\in A$).
* El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales $\mathbb {R}$, es el cuerpo de los números complejos $\mathbb {C}$ dónde * es la conjugación compleja.
* Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria $i={\sqrt {-1}}$) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
* Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
* Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
* El álgebra de matrices ${\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {R} )$, donde * corresponde a la transposición.
* El álgebra de matrices ${\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {C} )$, donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
* En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$, la operación * corresponde al operador adjunto.

## Álgebras sin involución

No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos ${\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )$,podemos tomar la siguiente subalgebra:

${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}.$

Cualquier antiautomorfismo no trivial $\varphi _{z}:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ necesariamente tiene la forma:

$\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$

para cualquier número complejo $z\in \mathbb {C}$. Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, $\varphi _{z}\circ \varphi _{z}=\varphi _{z}$):

$\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

de este modo concluimos que ${\mathcal {A}}$ no admite involución alguna.

