Anillo topológico
# Anillo topológico

## Definición de anillo topológico

Un anillo topológico es un anillo $R$ dotado de una topología $\tau$ de tal manera que las aplicaciones:

${\begin{array}{cccc}+:&R\times R&\longrightarrow &R\\\,&(a,b)&\mapsto &a+b\\\end{array}}$

y

${\begin{array}{cccc}\cdot :&R\times R&\longrightarrow &R\\\,&(a,b)&\mapsto &a\cdot b\\\end{array}}$

son continuas (usando en los productos cartesianos las respectivas topologías producto) respecto a la topología $\tau$.

## Definición alternativa

* R es un anillo algebraico
* R es un espacio topológico
* Las operaciones algebraicas definidas en R son continuas en el espacio topológico R

## Propiedades

    Una aplicación h de un anillo topológico R en un anillo topológico R' se llama homomorfa si es una aplicación homomorfa del anillo algebraico R en anillo algebraico R' y una aplicación continua del anillo topológico R en un anillo topológico R'.
    el conjunto de todos los elemento del anillo R que son aplicados por el homomorfismo h en el cero del anillo R' se llama núcleo de este homomorfismo.
    Este núcleo del anillo topológico R es un ideal del anillo algebraico R y un cerrado del espacio topológico R.

## Definición de cuerpo topológico

Un cuerpo topológico es un anillo topológico en el anillo que R es un cuerpo, y además la aplicación ${\begin{array}{ccc}R\setminus \{0\}&\longrightarrow &R\setminus \{0\}\\x&\mapsto &x^{-1}\end{array}}$

es continua para la topología $\tau$.

