Matriz hermitiana
# Matriz hermitiana

Una matriz hermitiana (o hermítica, en honor a Charles Hermite) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

    $a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

    $A=(A^{T})^{*}\;$

Por ejemplo,

    $A={\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$

es una matriz hermítica.

## Propiedades

* Sea $A=B+iC\,$, donde $A\,$ es hermitiana y $B\,$ y $C\,$ reales, entonces $B\,$ es simétrica ($B=B^{T}\,$) y $C\,$ antisimétrica ($C=-C^{T}\,$).
* La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana, siempre y cuando la matriz inicial sea invertible ($\det A\neq 0$).
* En relación con la propiedad 1, los autovalores de estas matrices son reales.
* En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
* El determinante de una matriz hermitiana es un número real.

## Diagonalización de matrices hermíticas

Sea $A\in \Bbbk ^{n\times n}\,\,(\Bbbk =\mathbb {R} \,\,{\text{ó}}\,\,\mathbb {C} )$ Hermítica, es decir $A=A^{H}\,$. Entonces $A\,$ es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:

    $A=P\cdot \Delta \cdot P^{H}$

En donde:

* $P\,$ es una matriz unitaria y el conjunto $\operatorname {col} (P)\,$ es ortonormal y está formado por autovectores de $A\,$ asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
* $\Delta =\operatorname {diag} \left[\lambda _{1}\quad \cdots \quad \lambda _{n}\right]^{T}$ una matriz diagonal formada con autovalores de $A\,$ (todos reales)

### Propiedades

* $P\in \Bbbk ^{n\times n}$ es unitaria si y sólo si $P\cdot P^{H}=P^{H}\cdot P=I_{n}$ lo que implica que son ortogonales, es decir, $\quad \operatorname {col} _{i}(P)\,\,\bot \,\,\operatorname {col} _{j}(P^{H})$ para todo i distinto de j, y si i es igual a j entonces $\langle \operatorname {col} _{i}(P),\,\,\operatorname {col} _{i}(P^{H})\rangle =1$. Donde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ es el producto interno canónico en $\Bbbk ^{n}$.

    Entonces el conjunto $\operatorname {col} (P)\,$ es una base ortonormal de $\Bbbk ^{n}\,$. Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que $\operatorname {fil} (P)\,$ es un conjunto ortonormal.
    Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además $P=P^{T}\,$ (observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que $P\cdot P^{T}=P\cdot P=P^{2}=I_{n}$. En este caso la matriz $P\,$ se dice involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
* Analicemos el siguiente caso suponiendo $A\cdot v=\lambda \cdot v$. O sea $\lambda \in \Bbbk$ autovalor de $A\,$ asociado al autovector $v\in \Bbbk ^{n}$:

    ${\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =(Av)^{H}\cdot v=v^{H}A^{H}\cdot v=v^{H}A\cdot v=\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle$
    De donde
       ${\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle \Longleftrightarrow {\overline {\lambda }}=\lambda \Longleftrightarrow \lambda \in \mathbb {R}$
* Sean $v_{1},\cdots ,v_{n}$ autovectores de la matriz Hermítica $A\in \Bbbk ^{n\times n}\,$ asociados a los autovalores $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$ respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir, $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}\,$ para algún par $1\leq i,j\leq n,\quad i\neq j$. Entonces $v_{i}\,\,\bot \,\,v_{j}$. Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

       $\lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\rangle =\langle Av_{i},v_{j}\rangle =v^{H}A^{H}v_{j}=v^{H}Av_{j}=\langle v_{i},Av_{j}\rangle =\langle v_{i},\lambda _{j}v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \,$
    De donde
       $\lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \Longleftrightarrow (\lambda _{i}-\lambda _{j})\langle v_{i},v_{j}\rangle =0\Longleftrightarrow v_{i}\,\,\bot \,\,v_{j}$

## Ejemplos

1) Sea $A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}$ una matriz real simétrica (caso particular de Hermítica, con Imag(A) = 0). Entonces, se ve que $\lambda _{1}=3\,$ es autovalor de $A\,$ asociado al autovector $v_{1}={\binom {1}{1}}$, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es $S_{\lambda _{1}}=\operatorname {gen} {\Big \{\binom {1}{1}}{\Big \}}$

El otro autovalor es $\lambda _{2}=-1\,$ asociado al autovector $v_{2}={\binom {-1}{1}}$, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es $S_{\lambda _{2}}=\operatorname {gen} {\Big \{\binom {-1}{1}}{\Big \}}$

Como se puede ver, $(\,\,v_{1}\,\,,\,\,v_{2}\,\,)=0\,$; es decir, son ortogonales. O sea $S_{\lambda _{1}}\oplus S_{\lambda _{2}}=\mathbb {R} ^{2}$

La descomposición de la matriz es:

    $A={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}$

O si no:

    $A={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}$
