Politopo regular convexo de 4 dimensiones
# Politopo regular convexo de 4 dimensiones

En matemáticas, un politopo regular convexo de 4 dimensiones (o polícoro) es un politopo tetradimensional que al mismo tiempo es regular y convexo. Son los análogos en cuatro dimensiones de los sólidos platónicos en tres dimensiones y los polígonos regulares en dos dimensiones.

## Ludwig Schläfli

Estos politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. Schläfli descubrió que hay precisamente 6 de estas figuras. Cinco de ellas pueden pensarse como análogos de los sólidos platónicos en mayor número de dimensiones. Hay una figura adicional, el icositetracoron o 24-cell, que no tiene un equivalente tridimensional.

Cada politopo regular convexo tetradimensional está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales, que son todas sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Se agrupan a lo largo de sus respectivas caras de modo regular.

## Politopos regulares de 4 dimensiones

| Nombre | Familia | Símbolo de Schläfli | Vértices | Aristas | Caras | Celdas | Figuras de vértices | Politopo dual |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| pentácoron | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 triángulos | 5 tetraedros | tetraedros | (auto-dual) |
| octácoron, teseracto | politopo de medida | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 cuadrados | 8 cubos | tetraedros | hexadecacoron |
| hexadecacoron o 16-cell | politopo de cruce | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 triángulos | 16 tetraedros | octaedros | teseracto |
| icositetracoron o 24-cell | | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 triángulos | 24 octaedros | cubos | (auto-dual) |
| hecatonicosacoron o 120-cell | | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 pentágonos | 120 dodecaedros | tetraedros | Hexacosicoron |
| hexacosicoron o 600-cell | | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 triángulos | 600 tetraedros | icosaedros | Hecatonicosacoron |

Nótese que puesto que cada una de estas figuras es topológicamente equivalente a una 3-esfera, cuya característica de Euler es cero, tenemos el análogo tetradimensional de la fórmula poliédrica de Euler

    $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0$

donde $N_k$ denota el número de k-caras del politopo (un vértice es una 0-cara, una arista es una 1-cara, etc.).

