Matrices de Pauli
# Matrices de Pauli

Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín. Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2.

## Forma de las matrices

Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie ${\mathfrak {su}}(2)$:

   $\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\ \epsilon _{ijk}\ \sigma _{k}$

Donde:

    $\epsilon _{ijk}\;$ es el Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).

También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación

   $\left\{\sigma _{i},\sigma _{j}\right\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\$

Otras propiedades importantes son:

       $\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$
       $\operatorname {det} (\sigma _{i})=-1$
       $\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$

### Caso de espín 1/2

Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2). En su representación lineal más común tienen la siguiente forma:

   $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

### Caso de espín 1

Por abuso de lenguaje se suele llamar matrices de Pauli a otras representaciones lineales diferentes a las usadas en el caso de espín 1/2 anterior. Por ejemplo para representar el espín de una partícula con valor 1, se usa la representación lineal mediante matrices de 3x3 siguiente:

   $J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

### Caso de espín 3/2

Análogamente al caso anterior para espín 3/2 es común usar la siguiente representación:

   $J_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

## Aplicaciones

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por el operador autoadjunto:

   ${\hat {S}}_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$

En la representación convencional, los autoestados de espín en la dirección $z$ corresponden a los autovectores:

   $\left\{|\uparrow \rangle =(1,0);|\downarrow \rangle =(0,1)\right\}$
