Matemáticas de la relatividad general
# Matemáticas de la relatividad general

Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general y el resumen de este artículo Introducción matemática a la relatividad general.

Matemáticas de la relatividad general se refiere a varias estructuras y técnicas matemáticas que se usan en el estudio y formulación de la teoría de relatividad general de Albert Einstein. Las principales herramientas usadas en esta teoría geométrica de gravitación son los campos tensoriales definidos en una variedad de Lorentz representando el espacio-tiempo. Este artículo es una descripción general de las matemáticas de la relatividad general.

    Nota: los artículos sobre relatividad general que utilicen tensores, aplicarán la en:Abstract index notation.

## ¿Por qué tensores?

El principio de covariancia general establece que las leyes de la física deben tener la misma forma matemática en todos los Sistemas de referencia y fue uno de los principios centrales en el desarrollo de la relatividad general. Se utilizó el término 'covarianza general' en la formulación inicial de la relatividad general, pero ahora se conoce por muchos como covarianza bajo difeomorfismo. Si bien es cierto que covarianza bajo difeomorfismo no es la característica definitoria de la relatividad $general^{[1]},$ y que las controversias permanecen en cuanto a su situación actual en la RG, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícitas en el principio junto con el hecho de que la teoría es esencialmente geométrica en su carácter (haciendo uso de geometrías que no son euclídeas) sugirieron que la relatividad general fuera formulada utilizando el lenguaje de los tensores. Esto se discutirá más adelante.

## Espacio-tiempo como una variedad

La mayoría de los enfoques modernos de la matemática de la relatividad general comienzan con el concepto de una variedad. Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravitación - un espacio-tiempo curvado- es modelado por una cuadrimensional, lisa, conexa, variedad de Lorentz. Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.

La justificación de la elección de una variedad como estructura matemática fundamental es la de reflejar las propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de las variedades, cada punto está contenido en una (pero no única) Carta de coordenadas, y esta carta se puede pensar como representación del 'espacio-tiempo local' alrededor del observador (representado por el punto). El principio de Covariancia de Lorentz local, que establece que las leyes de la relatividad especial se mantienen localmente en cada punto del espacio-tiempo, se presta más a la elección de una estructura de variedad para representar el espacio-tiempo, ya que a nivel local alrededor de un punto en una variedad general de la región 'se parece a', o se aproxima muy estrechamente al espacio de Minkowski (espacio-tiempo plano).

La idea de coordinar las cartas como 'observadores locales que pueden realizar mediciones en sus proximidades' también tiene sentido físico, ya que esta es la forma en que uno realmente recoge datos físicos - a nivel local. Para los problemas cosmológicos, una carta de coordenadas puede ser bastante grande.

### Estructura local Vs Estructura global

Una distinción importante en la física es la diferencia entre las estructuras locales y globales. Las mediciones en la física se llevan a cabo en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una de las razones para el estudio de la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que la determinación de la estructura global es importante, especialmente en problemas cosmológicos.

Un problema importante en la relatividad general es distinguir cuándo dos espacio-tiempos son 'lo mismo', al menos a nivel local. Este problema tiene sus raíces en la teoría de variedades donde la determinación de si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son Isometría local ('localmente el mismo'). Este último problema se ha solucionado y su adaptación para la relatividad general es llamado el algoritmo de Cartan-Karlhede: https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan%E2%80%93Karlhede_algorithm

