Teorema de la función abierta
# Teorema de la función abierta

En matemáticas, hay dos teoremas con el nombre "Teorema de la función abierta".

## Análisis funcional

En análisis funcional, el teorema de la función abierta, también conocido como el teorema de Banach-Schauder, es un resultado fundamental que establece: si A: X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces A es una función abierta (es decir si U es un conjunto abierto en X, entonces A(U) es abierto en Y).

La prueba utiliza el Teorema de categorías de Baire.

El teorema de la función abierta tiene dos consecuencias importantes:

* Si A: X → Y es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces el operador inverso $A^{-1}:$ Y → X es continuo también (esto se llama el teorema de la función inversa).
* Si A: X → Y es un operador lineal entre los espacios de Banach X y Y, y si para cada sucesión $(x_n)$ en X con $x_n$ → 0 y $Ax_n$ → y se sigue que y = 0, entonces A es continuo (teorema de la gráfica cerrada).

## Análisis complejo

En análisis complejo, el teorema de la función abierta establece que si U es un subconjunto abierto conexo del plano complejo C y f: U → C es una función holomorfa no-constante, entonces f es una función abierta (es decir envía subconjuntos abiertos de U a los subconjuntos abiertos de C).

* Datos: Q944297
