Secuencia de Riesz
# Secuencia de Riesz

En matemáticas, una secuencia de vectores $(x_n)$ en un espacio de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ es una secuencia de Riesz si existen constantes $0<c\leq C<+\infty$ tal que

    $c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

para todas las secuencias de escalares $(a_n)$ en el espacio $ℓ^2.$ Una secuencia de Riesz es llamada base de Riesz si

    ${\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H$ .

## Teoremas

Si H es un espacio finito, entonces toda base de H es una base de Riesz.

Dado $\varphi$ en el espacio $L^p$ $L^2(R),$ y sea

    $\varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)$

y sea ${\hat {\varphi }}$ la transformada de Fourier de ${\varphi }$. Dadas las constantes c y C con $0<c\leq C<+\infty$. Entonces tenemos las siguientes equivalencias:

    $1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$
    $2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$

La primera de las condiciones es la definición para que (${\varphi _{n}}$) forme una base de Riesz para el espacio generado por (${\varphi _{n}}$).

