Conjunto acotado
# Conjunto acotado

En análisis matemático y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto se denomina acotado si es, en cierto sentido, de medida finita. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama ilimitado. La palabra acotado no tiene sentido en un espacio topológico general sin la métrica correspondiente.

Frontera es un concepto distinto: por ejemplo, el área de un círculo aislado es un conjunto acotado pero sin frontera, mientras que un semiplano es ilimitado pero posee una frontera.

Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional $'R^2$ restringido por dos curvas parabólicas $x^2$ + 1 y $x^2$ - 1 definidas en un sistema de coordenadas cartesianas está cerrado por las curvas, pero no es acotado (y por lo tanto, es ilimitado).

## Definición en los números reales

Un conjunto S de números reales se denomina acotado por arriba si existe algún número real k (no necesariamente en S) tal que k ≥ s para todos los s en S. El número k se denomina cota superior de S. Los términos acotado por abajo y cota inferior se definen de manera similar.

Un conjunto S está acotado si tiene cotas superior e inferior. Por lo tanto, un conjunto de números reales está acotado si está contenido en un intervalo finito.

## Definición en un espacio métrico

Un subconjunto S de un espacio métrico (M, d) está acotado si existe r > 0 tal que para todos los s y t en S, se tiene que d(s, t) < r. El espacio métrico (M, d) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.

* Totalmente acotado implica acotado. Para subconjuntos de $'R^n,$ los dos conceptos son equivalentes.
* Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y está totalmente acotado.
* Un subconjunto de un espacio euclídeo $'R^n$ es compacto si y solo si es cerrado y está acotado. Esta propiedad queda definida según el teorema de Heine-Borel.

## Acotación en espacios vectoriales topológicos

En espacios vectoriales topológicos, existe una definición diferente para conjuntos acotados que a veces se denominan conjuntos acotados de von Neumann. Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una métrica que es homogéneo, como en el caso de una métrica inducida por la norma de un espacio vectorial normado, entonces las dos definiciones coinciden.

## La acotación en la teoría del orden

Un conjunto de números reales está acotado si y solo si tiene un límite superior y otro inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado. Debe tenerse en cuenta que este concepto más general de acotación no corresponde a una noción de tamaño.

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama acotado por arriba si existe un elemento k en P tal que k ≥ s para todos los s de S. El elemento k se denomina cota superior de S. Los conceptos de acotado por debajo y cota inferior se definen de manera similar (véase también elemento mayorante y minorante).

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado si tiene un límite superior y otro inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un intervalo. Téngase en cuenta que esto no es solo una propiedad del conjunto S, sino también del conjunto S como subconjunto de P.

Un conjunto parcialmente ordenado acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo. Debe tenerse en cuenta que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado acotado P cuyo orden es la restricción del orden en P no es necesariamente un conjunto parcialmente ordenado acotado.

Un subconjunto S de $'R^n$ está acotado con respecto a la distancia euclídea si y solo si está acotado como subconjunto de Rn con el orden del producto. Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de $R^n$ con el orden lexicográfico, pero no con respecto a la distancia euclídea.

Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada, o cofinal, cuando dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Por lo tanto, en este caso ilimitado no significa ilimitado por sí mismo, sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.

