Fractal de Vicsek
# Fractal de Vicsek

En matemáticas (en la rama de la geometría), el fractal de Vicsek es un fractal propuesto por Tamás Vicsek que proviene de una construcción similar a la de la Alfombra de Sierpinski. Este fractal también es conocido como el cupo de Vicsek o caja fractal.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch de este fractal es $\log(5)/\log(3)\approx 1,46497...$

Es utilizado en el diseño de antenas compactas, particularmente para teléfonos celulares.

## Construcción

La construcción del fractal de Vicsek se da de la siguiente manera:

* El procedimiento inicia con un cuadrado.
* El cuadrado se corta en 9 sectores congruentes, formándose una cuadrícula de 3x3. Los cuatro sectores de las esquinas y el sector central se conservan, mientras que los otros se eliminan (Se observa una figura con forma de 'X').
* El paso anterior vuelve a aplicarse a cada uno de los cuadrados no eliminados aplicando recursividad.

Una construcción alternativa consiste en quitar los cuatro cuadrados de las esquinas y dejar el cuadrado del medio y los cuadrados superior, inferior, lateral izquierda y derecha del mismo. Las dos construcciones producen curvas límites idénticas, pero con un giro de 45 grados una con respecto de otra. (Se observa una figura con forma de '+' con los sectores conservados).

La dimensión de Hausdorff de este fractal es $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$ ≈ 1.46497.

## Propiedades

El fractal de Vicsek tiene la sorprendente propiedad de que tiene un área nula pero un perímetro infinito, debido a su dimensión no entera. En cada iteración, se eliminan cuatro cuadrados por cada cinco retenidos, lo que significa que en la iteración n el área es $\textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}$ (suponiendo un cuadrado inicial de la longitud del lado 1). Cuando n se aproxima al infinito, el área se aproxima a cero. El perímetro sin embargo es $\textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}$, porque cada lado se divide en tres partes y el centro se reemplaza por tres lados, lo que arroja un aumento de tres a cinco. El perímetro se acerca a infinito a medida que n aumenta.

La forma del fractal de Vicsek tiende a ser la variante cuadrática tipo 1 del copo de nieve de Koch.

## Análogos en dimensiones superiores

Existe un análogo tridimensional del fractal de Vicsek. Se construye mediante la subdivisión de un cubo en 27 cubos más pequeños, y la eliminación de todos, excepto la "cruz central" (el cubo central) y los seis cubos que tocan el centro de cada cara. Su dimensión de Hausdorff es $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$ ≈ 1.7712.

De forma similar al fractal bidimensional, esta figura tiene un volumen igual a cero. En cada iteración, se conservan 7 cubos por cada 27, lo que significa un volumen de $\textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}$ en la n-ésima iteración, que se aproxima a cero cuando n tiende al infinito.

Existe un número infinito de secciones de cruz que producen el fractal bidimensional de Vicsek.

## Aplicaciones

Una antena fractal es una antena que utiliza el diseño geométrico de un fractal para maximizar la longitud o aumentar el perímetro (en las secciones interiores o la estructura exterior) del material que puede recibir o transmitir radiación electromagnética dentro de una superficie o volumen total determinado. La respuesta de una antena fractal difiere marcadamente de los diseños de antena tradicionales, ya que es capaz de operar con un rendimiento de bueno a excelente en muchas frecuencias diferentes simultáneamente. Tales antenas fractales también se conocen como curvas de relleno multinivel y de espacio

El aspecto clave radica en su repetición de un motivo en dos o más tamaños de escala, o "iteraciones". Por esta razón, las antenas fractales son muy compactas, multibanda o de banda ancha, y tienen aplicaciones útiles en telefonía celular y comunicaciones de microondas.

