Paradoja de la teoría de conjuntos
# Paradoja de la teoría de conjuntos

Este artículo contiene discusiones de las paradojas de la teoría de conjuntos. Al igual que con la mayoría de las paradojas matemáticas, generalmente revelan resultados matemáticos sorprendentes y contrarios a la intuición, en lugar de contradicciones lógicas reales dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos modernos.

### Números cardinales

La teoría de conjuntos tal como la concibió Georg Cantor asume la existencia de conjuntos infinitos. Como esta suposición no puede probarse a partir de los primeros principios, ha sido introducida en la teoría axiomática de conjuntos por el axioma del infinito, que afirma la existencia del conjunto N de números naturales. Todo conjunto infinito que puede ser enumerado por números naturales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que N, y se dice que es contable. Ejemplos de conjuntos numerables infinitos son los números naturales, los números pares, los números primos y también todos los números racionales, es decir, las fracciones. Estos conjuntos tienen en común el número cardinal |N| = {\displaystyle \aleph _ {0}} (aleph-nought) un número mayor que todo número natural.

Los números cardinales se pueden definir de la siguiente manera. Defina dos conjuntos para que tengan el mismo tamaño por: existe una biyección entre los dos conjuntos (una correspondencia uno a uno entre los elementos). Entonces, un número cardinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos del mismo tamaño. Tener el mismo tamaño es una relación de equivalencia, y los números cardinales son las clases de equivalencia.

### Números ordinales

Además de la cardinalidad, que describe el tamaño de un conjunto, los conjuntos ordenados también forman parte de la teoría de conjuntos. El axioma de elección garantiza que todo conjunto pueda estar bien ordenado, lo que significa que se puede imponer un orden total a sus elementos de manera que todo subconjunto no vacío tenga un primer elemento con respecto a ese orden. El orden de un conjunto bien ordenado se describe mediante un número ordinal. Por ejemplo, 3 es el número ordinal del conjunto {0, 1, 2} con el orden habitual 0 < 1 < 2; y ω es el número ordinal del conjunto de todos los números naturales ordenados de la forma habitual. Descuidando el orden, nos quedamos con el número cardinal |N| = |ω| = {\displaystyle \aleph _{0}}N°N°. Los números ordinales se pueden definir con el mismo método que se usa para los números cardinales. Defina dos conjuntos bien ordenados para que tengan el mismo tipo de orden por: existe una biyección entre los dos conjuntos con respecto al orden: los elementos más pequeños se asignan a elementos más pequeños. Entonces, un número ordinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden. Tener el mismo tipo de orden es una relación de equivalencia sobre la clase de conjuntos bien ordenados, y los números ordinales son las clases de equivalencia. Dos conjuntos del mismo tipo de orden tienen la misma cardinalidad. Lo contrario no es cierto en general para conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenaciones en el conjunto de números naturales que dan lugar a diferentes números ordinales. Hay un ordenamiento natural en los ordinales, que es en sí mismo un buen ordenamiento. Dado cualquier ordinal α, se puede considerar el conjunto de todos los ordinales menores que α. Este conjunto resulta tener el número ordinal α. Esta observación se utiliza para una forma diferente de introducir los ordinales, en la que un ordinal se equipara con el conjunto de todos los ordinales más pequeños. Esta forma de número ordinal es, por lo tanto, un representante canónico de la forma anterior de clase de equivalencia.

### Conjuntos potencia

Formando todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las elecciones posibles de sus elementos), obtenemos el conjunto potencia P(S). Georg Cantor demostró que el conjunto potencia siempre es mayor que el conjunto, es decir, |P(S)| > |S|. Un caso especial del teorema de Cantor demuestra que el conjunto de todos los números reales R no puede ser enumerado por números naturales. R es incontable: |R| > |N|.

### Paradojas de conjunto de infinitos

En lugar de confiar en descripciones ambiguas como "aquello que no se puede ampliar" o "que crece sin límite", la teoría de conjuntos proporciona definiciones para el término conjunto infinito para dar un significado inequívoco a frases como "el conjunto de todos los números naturales es infinito". Al igual que para los conjuntos finitos, la teoría hace más definiciones que nos permiten comparar consistentemente dos conjuntos infinitos con respecto a si un conjunto es "mayor que", "menor que" o "del mismo tamaño que" el otro. Pero no todas las intuiciones sobre el tamaño de los conjuntos finitos se aplican al tamaño de los conjuntos infinitos, lo que lleva a varios resultados aparentemente paradójicos en cuanto a enumeración, tamaño, medida y orden.

### Paradojas de enumeración

Antes de que se introdujera la teoría de conjuntos, la noción del tamaño de un conjunto había sido problemática. Había sido discutido por Galileo Galilei y Bernard Bolzano, entre otros. ¿Hay tantos números naturales como cuadrados de números naturales cuando se miden por el método de enumeración?

* La respuesta es sí, porque para todo número natural n existe un número cuadrado n2, y también al revés.
* La respuesta es no, porque los cuadrados son un subconjunto propio de los naturales: todo cuadrado es un número natural, pero hay números naturales, como el 2, que no son cuadrados de números naturales.

Al definir la noción del tamaño de un conjunto en términos de su cardinalidad, se puede resolver el problema. Dado que existe una biyección entre los dos conjuntos involucrados, esto se sigue de hecho directamente de la definición de la cardinalidad de un conjunto.

Consulte la paradoja del Grand Hotel de Hilbert para obtener más información sobre las paradojas de la enumeración.

### Lo veo, pero no creo. (“Je le vois, mais je ne crois pas”)

"Lo veo, pero no lo creo", escribió Cantor a Richard Dedekind después de probar que el conjunto de puntos de un cuadrado tiene la misma cardinalidad que los puntos de un solo borde del cuadrado: la cardinalidad del continuo.

Esto demuestra que el "tamaño" de los conjuntos, definido únicamente por la cardinalidad, no es la única forma útil de comparar conjuntos. La teoría de la medida proporciona una teoría del tamaño más matizada que se ajusta a nuestra intuición de que la longitud y el área son medidas de tamaño incompatibles.

### Paradojas del buen orden

En 1904 Ernst Zermelo demostró mediante el axioma de elección (que se introdujo por este motivo) que todo conjunto puede estar bien ordenado. En 1963 Paul J. Cohen demostró que en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no es posible probar la existencia de un buen ordenamiento de los números reales. Sin embargo, la capacidad de ordenar bien cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han llamado paradójicas. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski, un teorema ampliamente considerado como no intuitivo. Establece que es posible descomponer una bola de un radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y volver a ensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin escala) para obtener dos copias de la copia original. La construcción de estas piezas requiere del axioma de elección; las piezas no son regiones simples de la pelota, sino subconjuntos complicados.

### El diario de Tristram Shandy

Tristram Shandy, el héroe de una novela de Laurence Sterne, escribe su autobiografía tan concienzudamente que tarda un año en relatar los acontecimientos de un día. Si es mortal, nunca puede terminar; pero si viviera para siempre, ninguna parte de su diario quedaría sin escribir, porque a cada día de su vida le correspondería un año dedicado a la descripción de ese día.

### La paradoja de Ross Littlewood

Una versión aumentada de este tipo de paradoja traslada el final infinitamente remoto a un tiempo finito. Llene un gran depósito con las bolas enumeradas por los números 1 a 10 y saque la bola número 1. Luego agregue las bolas enumeradas por los números 11 a 20 y quite el número 2. Continúe agregando las bolas enumeradas por los números 10n - 9 a 10n y elimine número de bola n para todos los números naturales n = 3, 4, 5, .... Deje que la primera transacción dure media hora, deje que la segunda transacción dure un cuarto de hora, y así sucesivamente, de modo que todas las transacciones finalicen después de una hora. Obviamente, el conjunto de bolas en el depósito aumenta sin límites. Sin embargo, después de una hora el depósito está vacío porque para cada bola se conoce el tiempo de extracción.

La paradoja aumenta aún más por la importancia de la secuencia de eliminación. Si las bolas no se retiran en la secuencia 1, 2, 3, ... sino en la secuencia 1, 11, 21, ... después de una hora, infinitamente muchas bolas pueblan el depósito, aunque se haya acumulado la misma cantidad de material que antes. sido movido

### Paradojas de prueba y definibilidad

A pesar de toda su utilidad para resolver cuestiones relacionadas con conjuntos infinitos, la teoría ingenua de conjuntos tiene algunos defectos fatales. En particular, es presa de paradojas lógicas como las expuestas por la paradoja de Russell. El descubrimiento de estas paradojas reveló que no todos los conjuntos que pueden describirse en el lenguaje de la teoría ingenua de conjuntos pueden decirse que existen sin crear una contradicción. El siglo XX vio una resolución a estas paradojas en el desarrollo de varias axiomatizaciones de teorías de conjuntos como ZFC y NBG de uso común en la actualidad. Sin embargo, la brecha entre el lenguaje muy formalizado y simbólico de estas teorías y nuestro típico uso informal del lenguaje matemático da como resultado varias situaciones paradójicas, así como la pregunta filosófica de qué es con exactitud de lo que en realidad se proponen hablar de tales sistemas formales.

## PRIMERAS PARADOJAS

### El conjunto de todos los conjuntos

En 1897 el matemático italiano Cesare Burali-Forti descubrió que no existe un conjunto que contenga todos los números ordinales. Como cada número ordinal está definido por un conjunto de números ordinales más pequeños, el conjunto bien ordenado Ω de todos los números ordinales (si existe) se ajusta a la definición y es en sí mismo un ordinal. Por otro lado, ningún número ordinal puede contenerse a sí mismo, por lo que Ω no puede ser un ordinal. Por lo tanto, el conjunto de todos los números ordinales no puede existir.

A fines del siglo XIX, Cantor era consciente de la inexistencia del conjunto de todos los números cardinales y el conjunto de todos los números ordinales. En cartas a David Hilbert y Richard Dedekind, escribió sobre conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no se pueden considerar como si estuvieran todos juntos, y usó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal. Después de todo esto, la versión de la paradoja del "conjunto de todos los conjuntos" concebida por Bertrand Russell en 1903 condujo a una grave crisis en la teoría de conjuntos. Russell reconoció que el enunciado x = x es verdadero para todo conjunto y, por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos está definido por {x | x = x}. En 1906 construyó varios conjuntos de paradojas, el más famoso de los cuales es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. El mismo Russell explicó esta idea abstracta por medio de algunas imágenes muy concretas. Un ejemplo, conocido como la paradoja del barbero, establece: El barbero que afeita a todos y solo a los hombres que no se afeitan solo tiene que afeitarse solo si no se afeita a sí mismo.

Hay similitudes cercanas entre la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos y la paradoja de Grelling-Nelson, que demuestra una paradoja en el lenguaje natural.

## PARADOJAS POR CAMBIO DE IDIOMA

### La paradoja de KÖNIG

En 1905, el matemático húngaro Julius König publicó una paradoja basada en el hecho de que solo hay muchas definiciones contables finitas. Si imaginamos los números reales como un conjunto bien ordenado, aquellos números reales que pueden definirse finitamente forman un subconjunto. Por tanto, en este buen orden debería haber un primer número real que no sea finitamente definible. Esto es paradójico, porque este número real acaba de ser definido finitamente por la última oración. Esto conduce a una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos.

Esta paradoja se evita en la teoría axiomática de conjuntos. Aunque es posible representar una proposición sobre un conjunto como un conjunto, mediante un sistema de códigos conocido como números de Gödel, no existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se cumple exactamente cuando es un código para una proposición finita sobre un conjunto, x es un conjunto y se cumple para x. Este resultado se conoce como el teorema de indefinibilidad de Tarski; se aplica a una amplia clase de sistemas formales que incluyen todas las axiomatizaciones comúnmente estudiadas de la teoría de conjuntos.

### La paradoja Richard's

En el mismo año, el matemático francés Jules Richard utilizó una variante del método diagonal de Cantor para obtener otra contradicción en la teoría ingenua de conjuntos. Considere el conjunto A de todas las aglomeraciones finitas de palabras. El conjunto E de todas las definiciones finitas de números reales es un subconjunto de A. Como A es contable, también lo es E. Sea p el n-ésimo decimal del n-ésimo número real definido por el conjunto E; formamos un número N que tiene cero por la parte entera y p + 1 por el n-ésimo decimal si p no es igual a 8 o 9, y unidad si p es igual a 8 o 9. Este número N no está definido por el conjunto E porque difiere de cualquier número real finitamente definido, es decir, del n-ésimo número por el n-ésimo dígito. Pero N ha sido definido por un número finito de palabras en este párrafo. Por lo tanto, debería estar en el conjunto E. Eso es una contradicción.

Al igual que con la paradoja de König, esta paradoja no se puede formalizar en la teoría axiomática de conjuntos porque requiere la capacidad de saber si una descripción se aplica a un conjunto en particular (o, de manera equivalente, saber si una fórmula es en realidad la definición de un solo conjunto).

### La paradoja de LÖWENHEIM y SKOLEM

Basado en el trabajo del matemático alemán Leopold Löwenheim (1915), el lógico noruego Thoralf Skolem demostró en 1922 que cada teoría consistente del cálculo de predicados de primer orden, como la teoría de conjuntos, tiene como máximo un modelo contable. Sin embargo, el teorema de Cantor demuestra que existen conjuntos incontables. La raíz de esta aparente paradoja es que la contabilidad o no contabilidad de un conjunto no siempre es absoluta, sino que puede depender del modelo en el que se mide la cardinalidad. Es posible que un conjunto sea incontable en un modelo de teoría de conjuntos, pero contable en un modelo más grande (porque las biyecciones que establecen la contabilidad están en el modelo más grande pero no en el más pequeño).

