Relación inversa
# Relación inversa

En matemáticas, la relación inversa o transposición de una relación binaria es la relación que aparece cuando el orden de los elementos es intercambiado en la relación. Por ejemplo, la inversa de la relación «hijo de» es la relación «padre de». En términos formales, si X e Y son conjuntos y L ⊆ X × Y es una relación de X en Y, entonces $L^T$ es la relación definida tal que y $L^T$ x si y solo si x L y. En notación de constructor de conjuntos, $L^T$ = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ L}.

La notación es análoga a la de una función inversa. Aunque muchas funciones no tienen inversa, cada relación tiene una única inversa. La operación unaria que mapea una relación en su inversa es una involución, de tal forma que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias en un conjunto, o de forma general, induce una categoría de daga en la categoría de relaciones como se detalla a continuación. Como operación unaria, la inversa (a veces llamada transpuesta) conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con la unión, la intersección, y el complemento.

La relación inversa también es llamada relación transpuesta— en vista a su similitud con la transpuesta de una matriz . También recibe nombres como el opuesto de la relación original, o el inverso de la relación original, o el recíproco L° de la relación L.

Otras notaciones para la relación inversa son $L^C,$ $L^{–1},$ $L^~,$ ${\breve {L}}$, L°, o $L^∨.$

## Ejemplos

Para las relaciones de orden (estrictas o no), la inversa es el orden opuesto, por ejemplo: ${\leq ^{\mathsf {T}}}={\geq },\quad {<^{\mathsf {T}}}={>}.$

Una relación puede ser representada por una matriz booleana como la siguiente

    ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

La relación inversa es representada por su matriz transpuesta:

    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.$

La inversa de relaciones de parentesco son llamadas: "A es hijo de B" tiene inversa "B es hijo de A". "A es sobrino de B" tiene inversa "B es tío de A". La relación "A es hermano B" es su propia inversa, puesto que es una relación simétrica.

En teoría de conjuntos, se supone un universo U de discurso, y una relación fundamental de miembro del conjunto x ∈ A cuando A es un subconjunto de U. El conjunto potencia de todos los subconjuntos de U es el dominio de la inversa ${\ni }={\in ^{\mathsf {T}}}.$

## Propiedades

En el monoide de las endorrelaciones binarias en un conjunto (con la operación binaria en relaciones siendo la composición de relaciones), la relación inversa no satisface la definición de inverso en teoría de grupos, por ejemplo, si L es una relación arbitraria en X, entonces $L\circ L^{\mathsf {T}}$ no es igual a la relación identidad en X en general. La relación inversa satisface los axiomas (débiles) de un semigrupo con involución: $\left(L^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}=L$ y $\left(L\circ R\right)^{\mathsf {T}}=R^{\mathsf {T}}\circ L^{\mathsf {T}}$.

