Matriz transpuesta
# Matriz transpuesta

Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con $A^{t}$.

Está dada por:

$(A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m$

En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original $A$ se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz traspuesta $A^{t}$.

## Ejemplos

    ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}$

## Propiedades

### Involutiva

* Para toda matriz $A$,

    $(A^{t})^{t}=A\,$
* Demostración
* Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean $a_{ij}$ dichos elementos, denotando por A = $(a_{ij})_{ij}$ a la matriz, se tiene
* $(A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A$ ∎

### Distributiva

* Sean A y B matrices con elementos en un anillo ${\mathcal {A}}$ y sea $c\in {\mathcal {A}}$:

    $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,$
* Demostración
* Denotando por A = $(a_{ij})_{ij},$ B = $(b_{ij})_{ij}$ y A+B = $(c_{ij})_{ij},$ donde $c_{ij}$ = $a_{ij}+b_{ij},$ se tiene
* $(A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}$ ∎

### Lineal

    $(c\,A)^{t}=c\,A^{t}$
* Demostración
* Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa
* $cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}$
* sea $d_{ij}$ = c $a_{ij},$ con esta notación se tiene c A = $(d_{ij})_{ij},$ por trasposición queda
* $(cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}$∎
* Para el producto usual de las matrices $A$ y $B$,

    $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,$
* Demostración
* Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = $(a_{ij})_{ij},$ B = $(b_{ij})_{ij}$ y A B = $(c_{ij})_{ij}$ entonces por definición
* $c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}$
* por trasposición queda
* $c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}$
* que coincide con la definición de producto para $B^t$ $A^t∎$
* Si $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

    $A^{t}A\,$

es semidefinida positiva.

* Demostración
* Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con $\scriptstyle \|\cdot \|$ denotando la norma euclídea.
* $x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}$
* de las propiedades de la norma se deduce $x^t$ $A^t$ A x ≥ 0 para todo x, luego $A^t$ A es semidefinida positiva. ∎

## Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica si coincide con su traspuesta:

    $A^{t}=A\,$

Una matriz cuadrada $A$ es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

    $A^{t}=-A\,$

Si los elementos de la matriz $A$ son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

    $A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }$

y antihermítica si

    $A^{t}=-{\bar {A}}$

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

