Distribución log-normal
# Distribución log-normal

En probabilidad y estadística, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si $X$ es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces $\operatorname {exp} (X)$ tiene una distribución log-normal, es decir $e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal o distribución de Tinaut.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

## Definición

### Función de Densidad

Una variable aleatoria positiva $X$ tiene una distribución lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma$ y escribimos $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, si el logaritmo natural de $X$ sigue una distribución normal con media $\mu$ y varianza $\sigma ^{2}$, esto es

    $\ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

Sean $\Phi$ y $\phi$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar $N(0,1)$, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:

    ${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [X\leq x]={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [\ln(X)\leq \ln(x)]={\frac {d}{dx}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\&=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\&={\frac {1}{\sigma x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

### Función de Distribución

La función de distribución acumulada es

    $F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)$

donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar $N(0,1)$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

    ${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

### Log-normal Multivariada

Si${\boldsymbol {X}}\sim N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ es una distribución normal multivariada entonces ${\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

    $\operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}$

y matriz de covarianza

    $\operatorname {Var} ({\boldsymbol {Y}})_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right)$

## Propiedades

Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces la variable aleatoria $X$ cumple algunas propiedades.

La media de $X$ es

    $\mathrm {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$

La varianza de $X$ es

    $\operatorname {Var} (X)=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$.

## Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a $\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica es igual a $\exp(\sigma )$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

| Límite de intervalo de confianza | log | geométrica |
| - | - | - |
| 3σ límite inferior | $\mu -3\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$ |
| 2σ límite inferior | $\mu -2\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$ |
| 1σ límite inferior | $\mu -\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$ |
| 1σ límite superior | $\mu +\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$ |
| 2σ límite superior | $\mu +2\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$ |
| 3σ límite superior | $\mu +3\sigma$ | $\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$ |

Donde la media geométrica $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

## Momentos

Los primeros momentos son:

    $\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
    $\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$
    $\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$
    $\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

o de forma general:

    $\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

## Inferencia Estadística

### Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma ^{2}$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

    $L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})$

donde $\varphi$ denota la función de densidad de la distribución normal $N(\mu ,\sigma ^{2})$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

    ${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )=-\sum _{i}\ln x_{i}+{\mathcal {L}}_{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )$

Dado que el primer término es constante respecto a $\mu$ y $\sigma$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, ${\mathcal {L}}$ y ${\mathcal {L}}_{N}$, obtienen su máximo con el mismo $\mu$ y $\sigma$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}$

    ${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma ^{2}}}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

Para una $n$ finita, estos estimadores son in sesgados.

## Aplicación

* En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y además para describir épocas de sequía.

       La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

## Distribución relacionada

* Si $X\sim \ N(\mu ,\sigma ^{2})$ es una distribución normal entonces $e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$.
* Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces $\ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$.
* Si $X_{m}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y $Y=\prod _{m=1}^{N}X_{m}$, entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: $Y\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)$.
* Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces $X^{\alpha }\sim \operatorname {Lognormal} (\alpha \mu ,\alpha ^{2}\sigma ^{2})$ para $\alpha \neq 0$.
