Espacio ultrabarrilado
# Espacio ultrabarrilado

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio ultrabarrilado es un espacio vectorial topológico (EVT) para el que cada conjunto ultrabarrilado es un entorno del origen.

## Definición

Un subconjunto $B_{0}$ de un EVT $X$ se denomina 'ultrabarrilado si es un subconjunto cerrado y equilibrado de $X$ y si existe una secuencia $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ de subconjuntos cerrados equilibrados y absorbentes de $X$ tal que $B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}$ para todos los $i=0,1,\ldots .$

En este caso, $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ se denomina secuencia definitoria de $B_{0}.$ Un EVT $X$ se llama ultrabarrilado si cada conjunto ultrabarrilado en $X$ es un entorno del origen.

## Propiedades

Un espacio ultrabarrilado localmente convexo es un espacio barrilado. Cada espacio ultrabarrilado es un espacio cuasi ultrabarrilado.

## Ejemplos y condiciones suficientes

Los EVT completos y metrizables son ultrabarrilados. Si $X$ es un EVT completo localmente acotado y no localmente convexo; y si $B_{0}$ es una entorno acotado del origen equilibrado y cerrado, entonces $B_{0}$ es un conjunto ultrabarrilado que no es convexo y tiene una secuencia definitoria que consta de conjuntos no convexos.

### Contraejemplos

Existen espacios barrilados que no tienen conjuntos ultrabarrilados. Existen EVTs que son completos y metrizables (y, por lo tanto, ultrabarrilados), pero no son barrilados.

