Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot
# Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot

El método de Mandelbrot : este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado por Benoît Mandelbrot en la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada punto c del plano complejo, una sucesión de números complejos $z_n.$ Partiendo del punto $z_0$ = 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmula $z_{n+1}=F(z_n)+c,$ donde F es una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al punto c del plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al punto c un color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.

El fractal derivado por este método cuando se toma la función $F(z)=z^2$ se llama conjunto de Mandelbrot.

En lo que sigue, en lugar de $z_{n+1}=F(z_n)+c$ se utilizará la notación Z=F(Z)+C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.

## Z = $Z^m$ + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = $Z^m$ + C, según el método de Mandelbrot.

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = $Z^m$ + C

* Z = $Z^2$ + CConjunto de Mandelbrot
* Z = $Z^3$ + C
* Z = $Z^4$ + C
* Z = $Z^5$ + C
* Z = $Z^6$ + C
* Z = $Z^7$ + C
* Z = $Z^8$ + C
* Z = $Z^9$ + C
* Z = $Z^{10}$ + C
* Z = $Z^{11}$ + C
* Z = $Z^{12}$ + C
* Z = $Z^{12}$ + C x 8
* Z = $Z^{20}$ + C
* Z = $Z^{20}$ + C x 10
* Z = $Z^{48}$ + C
* Z = $Z^{48}$ + C x 20
* Z = $Z^{96}$ + C
* Z = $Z^{96}$ + C x 40

Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos es L = m - 1

### Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = $Z^2$ + C

A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando el microscopio de altísima resolución que nos proporciona el cálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.

**Ampliación zona 1**

Centro de coordenadas : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686

* x 1
* x 732

**Ampliación zona 2**

Centro de coordenadas : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704

* x 1
* x 3855

**Ampliación zona 3**

Centro de coordenadas : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125

* x 1
* x 180

**Ampliación zona 4**

Centro de coordenadas : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007

A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !

* x 1
* x 2,369,369

**Ampliación zona XX**

Centro de coordenadas : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330

Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...

* x 5,598

## Z = $Z^{-m}$ + C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.

* Z = Z $^{-2}$ + C
* Z = Z $^{-3}$ + C
* Z = Z $^{-4}$ + C
* Z = Z $^{-5}$ + C

## Z = $Z^p$ / (1 + $Z^q)$ + C

* Z = $Z^2$ / (1 + Z) + C
* Z = $Z^3$ / (1 + $Z^2)$ + C
* Z = $Z^3$ / (1 + Z) + C
* Z = $Z^3$ / (1 + Z + $Z^2)$ + C
* Z = [(1 + Z) / $Z^2]$ + C

## Z = $Z^m$ + $C^p$

Pero, ¿ qué pasa cuando hacemos Z = $Z^m$ + $C^p$ ?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos es L = (m - 1) * p

* Z = $Z^2$ + $C^2$ L = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = $Z^2$ + $C^3$ L = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = $Z^2+C^6$ - 1 L = (2 - 1)* 6 = 6
* Z = $Z^3$ + $C^2$ L = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = $Z^3$ + $C^3$ L = (3 - 1)* 3 = 6
* Z = $Z^4$ + $C^4$ L = (4 - 1)* 4 = 12

## Z = $Z^m$ + Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = $Z^m$ + Z + C, según el método de Mandelbrot.

* Z = $Z^2$ + Z + C
* Z = $Z^3$ + Z + C
* Z = $Z^4$ + Z + C
* Z = $Z^9$ + Z + C

## Z = $Z^m$ - Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = $Z^m$ - Z + C, según el método de Mandelbrot.

* Z = $Z^3$ - Z + C
* Z = $Z^4$ - Z + C
* Z = $Z^5$ - Z + C
* Z = $Z^9$ - Z + C

## Z = $Z^m$ + 1 / $C^p$

También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuación Z = $Z^m$ + F(C) . Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = $Z^m$ + 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z. Zo = (0,0i). El número de vértices es V = (m - 1)

* Z = $Z^2$ + 1/C
* Z = $Z^3$ + 1/C
* Z = $Z^4$ + 1/C
* Z = $Z^5$ + 1/C
* Z = $Z^6$ + 1/C
* Z = $Z^7$ + 1/C

Pero, qué pasa cuándo Z = $Z^m$ + (1 / $C^2)$ ?. Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices es V = (m - 1) * p

* Z = $Z^2$ + 1 / $C^2$ V = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = $Z^3$ + 1 / $C^2$ V = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = $Z^4$ + 1 / $C^2$ V = (4 - 1)* 2 = 6
* Z = $Z^5$ + 1 / $C^2$ V = (5 - 1)* 2 = 8
* Z = $Z^6$ + 1 / $C^2$ V = (6 - 1)* 2 = 10
* Z = $Z^7$ + 1 / $C^2$ V = (7 - 1)* 2 = 12
* Z = $Z^2$ + 1 / $C^3$ V = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = $Z^2$ + 1 / $(C^3+1)$ V = (2 - 1)* 3 = 3

### Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = $Z^m$ + C i Z = $Z^m$ + 1/C

La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.

* Z = $Z^2$ + 1 / C Z = $Z^2$ + C
* Z = $Z^2$ + 1 / C Z = $Z^3$ + C
* Z = $Z^3$ + 1 / C Z = $Z^2$ + C
* Z = $Z^3$ + 1 / C Z = $Z^3$ + C
* Z = $Z^4$ + 1 / C Z = $Z^4$ + C
* Z = $Z^4$ + 1 / C Z = $Z^3$ + C

## Z = ( $Z^m$ / $C^m$ ) + C

* Z = $(Z^4$ / $C^4)$ + C
* Z = $(Z^8$ / $C^8)$ + C

## Z = $Z^m$ + C + $C^p$ + 1/ C + 1/ $C^q$

También podemos añadir más sumandos a la función $Z^m,$ combinando C, $C^p,$ 1/C y $1/C^q$ en grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos $C^2,$ 1/C y $1/C^2$ de 2,3 o 4 formas ..:

* Z = $Z^2$ + C + $C^2$
* Z = $Z^2$ + C + 1/C
* Z = $Z^2$ + C + $1/C^2$
* Z = $Z^2$ + $C^2+$ 1/C
* Z = $Z^2$ + $C^2$ + $1/C^2$
* Z = $Z^2$ + 1/C + 1/ $C^2$
* Z = $Z^2$ + C + $C^2$ + 1/C
* Z = $Z^2$ + C + $C^2$ + $1/C^2$
* Z = $Z^2$ + C + 1/C + $1/C^2$
* Z = $Z^2$ + $C^2$ + 1/C + $1/C^2$
* Z = $Z^2$ + C + $C^2$ + 1/C + $1/C^2$

A continuación más combinaciones con otros exponentes:

* Z = $Z^2$ + C + 1/ $C^3$

## Z = $Z^m$ + polinomios de C

Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a $Z^m$ , veamos qué sucede:

* $Z=Z^2$ + C $/(C^2+1)$ + C Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + C $/(C^2-1)$ Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + $C^2$ $/(C^4$ + 0.1) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + $C^2$ / $(C^4$ - 0.25) Zo = (0,0i)

### El caso de la función: $Z=Z^2$ + 1 $/(C^m-1)$

* $Z=Z^2$ + 1 $/(C^2-1)$ Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1 $/(C^3-1)$ Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1 $/(C^4-1)$ Zo = (0,0i)

## Z = $Z^m$ + polinomios mixtos de C i Z

Podemos sumar a $Z^m$ polinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:

### Z = $Z^2$ + C/ $(Z^2$ + k)

* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2-$ 0.001) Zo = (0,0i) x 1000
* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2-$ 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2-$ 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2+$ 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2+$ 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* $Z=Z^2$ + C / $(Z^2+$ 0.001) Zo = (0,0i) x 24,900

### Z = $Z^m$ + $C^p/Z^q$ + C

* $Z=Z^2$ + $(C^2$ $/Z^2)$ + C Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
* $Z=Z^2$ + $(C^4$ $/Z^2)$ + C Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
* $Z=Z^2$ + $(C^4$ $/Z^4)$ + C Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
* $Z=Z^2$ + $(C^6$ $/Z^6)$ + C Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
* $Z=Z^4$ + $(C^2$ $/Z^4)$ + C Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

### Z= $[(Z^m+C-1)$ / $(m*Z^{m-1}+C-$ $m)]^2$

* Z= $[(Z^2+C-1)$ / $(2*Z+C-2)]^2$ Zo = (0,0i) MAGNET
* Z= $[(Z^2+C^2-1)$ / $(2*Z+C^2$ $-2)]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= $[(Z^2+C^3-1)$ / $(2*Z+C^3$ $-2)]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= $[(Z^3+C-1)$ / $(3*Z^2+C-3)]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= $[(Z^4+C-1)$ / $(4*Z^3+C-4)]^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + $C^m-1)$ / $C^m]^2$

* Z= [(Z + C -1) / $C]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^2-1)$ / $C^2]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^3-1)$ / $C^3]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^4-1)$ / $C^4]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^5-1)$ / $C^5]^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + $C^m-1)$ / $C^m]^3$

* Z= [(Z + C-1) / $C]^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^2-1)$ / $C^2]^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^3-1)$ / $C^3]^3$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + $C^m+1)$ / $(C^m$ - $1)]^2$

* Z= [(Z + C +1) / (C $-1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^2$ +1) / $(C^2$ $-1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^3$ +1) / $(C^3$ $-1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^4$ +1) / $(C^4$ $-1)]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^5$ +1) / $(C^5$ $-1)]^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + $C^m-1)$ / $(C^m$ + $1)]^2$

* Z= [(Z + C -1) / (C $+1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^2$ -1) / $(C^2$ $+1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^3$ -1) / $(C^3$ $+1]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^4$ -1) / $(C^4$ $+1)]^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + $C^5$ -1) / $(C^5$ $+1)]^2$ Zo = (0,0i)

### Otras combinaciones de Z y C

* $Z=Z^2$ + $C^2$ $/(Z^2+C)$ + C Zo = (0,0i)

## Más funciones de variable compleja

Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de los números complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.

Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:

Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]

Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]

Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]

SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]

CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]

LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y) , Atn(y / x)i ]

SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]

ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2) i]

### Z = $Z^m$ + F(C)

A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración de $Z^2,$ pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:

* $Z=Z^2$ + Sin(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1/Sin(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Cos(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1/Cos(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1/SinH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + CosH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + 1/CosH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Tan(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + CoTan(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + TanH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + CoTanH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Sin(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + CosH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Cos(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + SinH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Sin(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + SinH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + Cos(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* $Z=Z^2$ + CosH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z= $Z^2$ + ATan(C) Zo = (0,0i)
* Z= $-0.5*Z^2$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)
* Z= $-0.5*Z^3$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de Exp(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]

Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z * Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)

### Como función transformadora de C

* Z = $Z^2$ + Exp(C) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

* Z = $Exp(C^3/Z^3)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Exp[(Z^2-1.00001*Z)/Sqr(C^3)]$ Zo = (0,0i)
* Z = $Exp[(Z^2-$ $1.00001*Z)/C^3]$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función Z = $Exp[(Z^2$ + k * Z) / $F(C^m)]**$

Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:

* Z = $Exp[(Z^2+$ k*Z)/ $Sqr(C^3)]$ Zo = (1,1i) k = 1
* Z = $Exp[(Z^2+$ k*Z)/ $Sqr(C^3)]$ Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = $Exp[(Z^2+$ k*Z)/ $Sqr(C^7)]$ Zo = (1,1i) k = 0.0
* Z = $Exp[(Z^2+$ k*Z)/ $Sqr(C^7)]$ Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = $Exp[(Z^2+$ k*Z)/ $LN(C^9)]$ Zo = (1,1i) k = 3.0

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Exp(Z_n$ / C $^m)**$

* Z = Exp(Z /C) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^2)$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^3)$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^4)$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^5)$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^6)$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Exp(Z_n$ / C $^m)$ + C $^p**$

* Z = Exp(Z $/C^6)$ + C $^3$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^8)$ + C $^4$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z $/C^8)$ + C $^2$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Exp(Z_n^p$ / C $^p)**$

* Z = $Exp(Z^3/C^3)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Exp(Z^4/C^4)$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Z_n^q$ * $Exp(Z_n$ / C $^p)$ + C**

* Z = $Z^2$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = $Z^3$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = $Z^4$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = $Z^5$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = Exp[ $Z_n^2$ / (C $^m$ + C $^p)$ ]**

Aparece un número de lóbulos centrales = m, y un número de aristas exteriores = p, siendo m<p.

* Z = $Exp[Z^2$ / ( $C^5$ + C )] Zo = (0,0i)
* Z = $Exp[Z^2$ / ( $C^6$ + $C^3$ )] Zo = (0,0i)
* Z = $Exp[Z^2$ / ( $C^8$ + $C^4$ )] Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Z_n^m$ * Exp[ $Cos(Z_n)]$ + 1/C**

Aparecen un número de aristas = m.

* Z = $Z^2*$ Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $Z^3*$ Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $Z^4*$ Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractales per iteración de Sin(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]

Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:

### Como función transformadora de C

* Z = $Z^2+Sin(C)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^3+Sin(C)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^4+Sin(C)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^5+Sin(C)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^6+Sin(C)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^2+Sin(C^2)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^3+Sin(C^2)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Z^4+Sin(C^2)$ Zo = (0,0i)

### Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

* Z = $Sin(CosH(Z)*C^3)$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Sin(Z_n$ * C $^m)**$

* Z = $Sin(Z*C^{0.5})$ Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C) Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z*C^2)$ Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z*C^3)$ Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z*C^{10})$ Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z^{0.5}*C^3)$ Zo = (1,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Sin(Z_n$ / C $^m)**$

* Z = $Sin(Z/C^{0.5})$ Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C) Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z/C^2)$ Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z/C^3)$ Zo = (1,0i)
* Z = $Sin(Z/C^{10})$ Zo = (1,0i)

## Fractales por iteración de Cos(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]

Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente

### Como función iterativa

* Z = Cos(Z)+ 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z)+ LN(C) Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z^3)+$ 1/C Zo = (0.2,0.3i)

### Como función transformadora de C

* Z = $Z^2$ + Cos( C) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

* Z = Cos(Z) + Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(C/Z) Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Cos(Z_n$ * C $^m)**$

* Z = $Cos(Z*C^{0.5})$ Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C) Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z*C^2)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z*C^3)$ Zo = (0,0i)

**El caso de la función $Z_{n+1}$ = $Cos(Z_n/C$ $^m)**$

* Z = $Cos(Z/C^{0.5})$ Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C) Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z/C^2)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z/C^3)$ Zo = (0,0i)
* Z = $Cos(Z/C^4)$ Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de SinH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]

Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.91, -0.08i)
* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.90, -0.05i)
* Z = SinH(Z) + $1/C^2$ Zo = (1, 0.1i)
* Z = $SinH(Z^2)$ + 1/C Zo = (1, -1i)

### Como función transformadora de C

* Z = $Z^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z = $Z^2$ + SinH(1/ $C^3)$ Zo = (0,0i)

### Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

* Z = SinH(Z / C ) Zo = (0,1i)
* Z = SinH(Z)/ C Zo = (1,0i)

## Fractales por iteración de CosH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]

Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = CosH(Z) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $CosH(Z^2)$ + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $CosH(Z^3)$ + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $CosH(Z^4)$ + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = $CosH(Z^5)$ + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de combinaciones de diferentes funciones de Z

* Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C Zo = (0,0i)
* Z = $CosH[Exp(Z^2)]+$ C Zo = (0,0i)
* Z = $Exp(Z/C^5)+$ Ln(Z) + Z Zo = (0,0i)

## Más fractales según el método de Mandelbrot

Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia. Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)

