Matriz invertible
# Matriz invertible

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden $n$, llamada matriz inversa de $A$ y denotada por $A^{-1}$ si $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}$, donde $I_{n}$ es la matriz identidad de orden $n$ y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular $A$ se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna $X$ es igual a cero para algún $X$ no nulo. El conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker$A$ (de kernel, núcleo en inglés), para una matriz invertible ker$A$ es el vector nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

## Ejemplos

### Matriz de dos filas (matriz adjunta)

Dada una matriz $A$ de tamaño $2\times 2$ con determinante no nulo entonces

    $A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

y esta está definida siempre y cuando $ad-bc\neq 0$ con $a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Así por ejemplo la inversa de la matriz

    ${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},$

ya que

    ${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

### Matriz de tres filas

Dada una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ con determinante no nulo:

    $A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

donde se definen

    ${\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}$

## Propiedades de la Matriz Inversa

Sea $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ una matriz de rango máximo

* La matriz inversa de $A$ es única.
* Si $B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ y $C\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ entonces la matriz inversa del producto $BC$ es

    $\left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}$
* Si la matriz $A$ es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir

    $\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$
* Y, evidentemente:

    $\left((A^{-1})^{-1}\right)=A$
* Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

    ${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\$

donde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ es el determinante de $A$ y $\operatorname {adj} {(A)}\$ es la matriz de adjuntos de $A$, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto en el artículo matriz de adjuntos).

* El conjunto de matrices de $n\times n$ con componentes sobre el cuerpo $\mathbf {K}$ que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal ${\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$ de orden $n$. En este grupo la operación de inversa es un automorfismo $(\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$.

### Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que $B$ y $C$ son inversas de $A$

   $AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I$

Multiplicando ambas relaciones por $C$

   $(BA)C=IC=C,\quad {\text{y}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B$

De modo que $B=C$ y se prueba que la inversa es única.

### Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

**Suficiencia $(\Rightarrow )$**

Supongamos que existe $B$ tal que $AB=BA=I$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

    $\det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).$

Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que $\det(I)=1$ tenemos que

    $\det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,$

por lo que deducimos que $\det(A)$ es distinto de cero.

**Necesidad $(\Leftarrow )$**

Supongamos que el determinante de $A$ es distinto de cero. Sea $a_{ij}$ el elemento ij de la matriz $A$ y sea $A_{ij}$ la matriz $A$ sin la fila $i$ y la columna $j$ (comúnmente conocida como $j$-ésimo menor de A). Entonces tenemos que

    $\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).$

Además, si $k\neq j$, entonces podemos deducir que

    $\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,$

pues la parte izquierda de la relación es el determinante de $A$ con la columna $j$ sustituida por la columna $k$ y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener

    $\delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.$

donde $\delta _{jk}$ es la delta de Kronecker.

Por tanto, sabiendo que $(I)_{ij}=\delta _{ij}$ tenemos que

    $\det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,$

es decir, que $A$ tiene inversa por la izquierda

    ${\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.$

Como $\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)$, entonces $A^{T}$ también tiene inversa por la izquierda que es

    ${\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.$

Entonces

    ${\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,$

luego, aplicando la transpuesta

    $A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,$

que es lo que se quería demostrar.

## Métodos de inversión de matrices

### Solución analítica

**Inversión de matrices 2×2**

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:

    $\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

Esto es posible siempre y cuando $ad-bc\neq 0$, es decir, el determinante de la matriz no es cero.

Ejemplo numérico:

    $C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}$

**Inversión de matrices de órdenes superiores**

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

    ${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\$

Donde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ es el determinante de $A$ y $\ \operatorname {adj} {(A)}\$ es la matriz de adjuntos de $A$.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

### Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

## Grupo lineal

El conjunto de todas las matrices $n\times n$ que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como ${\textrm {GL}}(n)$. Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además ${\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}$ es un conjunto abierto (con la topología inducida de $\mathbb {R} ^{n^{2}}$).

