Leyes de Faxén
# Leyes de Faxén

En fluidodinámica, las leyes de Faxén relacionan la velocidad de una esfera con una velocidad angular, con las fuerzas, el par, la tensión y el flujo que experimenta en condiciones de bajo número de Reynolds o flujo de arrastre.

## Primera ley

La primera ley de Faxen fue introducida en 1922 por el físico sueco Hilding Faxén, que en ese momento estaba activo en la Universidad de Uppsala, y está dada por la siguiente ecuación:

$\mathbf {F} =6\pi \mu \ a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right]$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $\mathbf {F}$ | Fuerza que ejerce el fluido sobre la esfera |
| $\mu$ | Viscosidad newtoniana del medio en el que se coloca la esfera |
| $a$ | Radio de la esfera |
| $\mathbf {U}$ | Velocidad de traslación de la esfera |
| $\mathbf {u} '$ | Velocidad de perturbación causada por las otras esferas en suspensión, no por el flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera |
| $\mathbf {u} ^{\infty }$ | Flujo de fondo evaluado en el centro de la esfera establecido como cero en algunas referencias |

También se puede escribir la fórmula anterior de la siguiente forma:

$\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} '$ :

| Símbolo | Nombre | Fórmula |
| - | - | - |
| $b_{0}$ | Movilidad | $b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}$ |

En el caso de que el gradiente de presión sea pequeño en comparación con la escala de longitud del diámetro de la esfera, y cuando no hay una fuerza externa, los dos últimos términos de esta forma pueden ser despreciables. En este caso, el flujo de fluido externo simplemente no afecta a la esfera.

## Segunda ley

La segunda ley de Faxén está dada por la siguiente ecuación:

$\mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $\mathbf {T}$ | Par que ejerce el fluido sobre la esfera |
| $\mathbf {\Omega }$ | Velocidad angular de la esfera |
| $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ | Velocidad angular del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera que puede suponerse nula en algunas interpretaciones |

## Tercera ley

Batchelor y Green derivaron una ecuación para el elemento estresante, dada por:

${\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],$ :

| Símbolo | Nombre | Fórmula |
| - | - | - |
| ${\boldsymbol {\mathsf {S}}}$ | Tensión (parte simétrica del primer momento de fuerza) ejercida por el fluido en la esfera | |
| ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '$ | Tensor del gradiente de velocidad | |
| $\mathrm {T}$ | Transposición | |
| | Velocidad de deformación, o deformación, tensor | ${\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]$ |
| ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }$ | Velocidad de deformación del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera, supuesta cero en algunos casos | ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]$ |

Debe tenerse en cuenta que no hay una tasa de tensión en la esfera (no ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}$) ya que se asume que las esferas son rígidas.

La ley de Faxén es una corrección a la ley de Stokes para la fricción en objetos esféricos en un fluido viscoso, válido cuando el objeto se mueve cerca de una pared del contenedor.

