Integral de línea
# Integral de línea

En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.

La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.

Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:

* El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
* El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

## Integral de línea de un campo escalar

### Definición

Sea $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, si $f:C\rightarrow \mathbb {R}$ es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar $f$ sobre $C$ (también llamada integral de trayectoria), está definida como

    $\int _{C}f\;ds=\int _{a}^{b}{f(\mathbf {r} (t))}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt$

La función $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de $C$ donde $\mathbf {r} (a)$ y $\mathbf {r} (b)$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando $f=1$, entonces obtenemos la longitud de la curva $C$, esto es

    $L(C)=\int _{C}ds=\int _{a}^{b}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt$

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de $C$ porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de $C$, esto es, si $C$ es una curva simple orientada y $-C$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

    $\int _{C}f\;ds=\int _{-C}f\;ds$

### Interpretación

Geométricamente, cuando el campo escalar $f$ está definida sobre el plano $(n=2)$, su gráfica es una superficie $z=f(x,y)$ en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de $C$ y la gráfica de $f$.

### Deducción

Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann $S_{N}$.

Comencemos subdividiendo el intervalo $[a,b]$ por medio de la partición

    $a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=b$

lo anterior conduce a una descomposición de $\mathbf {r}$ en trayectorias $\mathbf {r} _{i}$ definidas en el intervalo $[t_{i},t_{i+1}]$ para $i=0,1,\dots ,N-1$, si denotamos la longitud de arco de $\mathbf {r} _{i}$ por $\Delta s_{i}$ entonces

    $\Delta s_{i}=\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}||\mathbf {r} '(t)||dt$

Cuando $N\to \infty$, es decir, $N$ es grande, la longitud de arco $\Delta s_{i}$ es pequeña y $f$ es aproximadamente constante para puntos en $\mathbf {r} _{i}$. Consideremos las sumas

    $S_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\Delta s_{i}$

donde $\mathbf {r} (t)$ está definida para $t\in [t_{i},t_{i+1}]$.

Por el teorema del valor medio, $\Delta s_{i}=||\mathbf {r} '(\varphi _{i})||\Delta t_{i}$ donde $t_{i}\leq \varphi _{i}\leq t_{i+1}$ y $\Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}$. A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que

    ${\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=0}^{N-1}f\left(\mathbf {r} (t)\right)||\mathbf {r} '(\varphi _{i})||\Delta t_{i}\\&=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))||\mathbf {r} '(t)||dt\\&=\int _{C}fds\end{aligned}}$

### Ejemplo 1

Se desea evaluar la integral de línea

    $\int _{C}(x^{2}+y^{2}+z^{2})ds$

sobre la hélice $\mathbf {r} :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}$, $t\mapsto (\cos t,\operatorname {sen} t,t)$.

En primer lugar notemos que

    $\mathbf {r} '(t)=(-\operatorname {sen} t,\cos t,1)$

por lo que

    ${\begin{aligned}||\mathbf {r} '(t)||&={\sqrt {(-\operatorname {sen} t)^{2}+\cos ^{2}t+1^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {sen} ^{2}t+\cos ^{2}t+1}}\\&={\sqrt {2}}\end{aligned}}$

Y como

    ${\begin{aligned}f(\mathbf {r} (t))&=\cos ^{2}t+\operatorname {sen} ^{2}t+t^{2}\\&=1+t^{2}\end{aligned}}$

Entonces

    ${\begin{aligned}\int _{C}(x^{2}+y^{2}+z^{2})ds&=\int _{0}^{2\pi }(1+t^{2}){\sqrt {2}}dt\\&={\sqrt {2}}\left(t+{\frac {t^{3}}{3}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }\\&={\frac {2{\sqrt {2}}\pi (3+4\pi ^{2})}{3}}\end{aligned}}$

### Ejemplo 2

Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio $r$ es $2\pi r$, es decir, buscamos hallar

    $\oint _{C}ds$

siendo $C$ la longitud de una circunferencia de radio $r$.

Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio $r$ centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es

    $\mathbf {r} (t)=(r\cos t,r\operatorname {sen} t)\qquad 0\leq t\leq 2\pi$

Dado que

    ${\begin{aligned}\mathbf {r} '(t)&=(-r\operatorname {sen} t,r\cos t)\\||\mathbf {r} '(t)||&={\sqrt {r^{2}\operatorname {sen} ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\\&={\sqrt {r^{2}\left(\operatorname {sen} ^{2}t+\cos ^{2}t\right)}}\\&=r\end{aligned}}$

Por lo tanto

    ${\begin{aligned}L(C)&=\oint _{C}ds\\&=\int _{0}^{2\pi }rdt\\&=2\pi r\end{aligned}}$

## Integral de línea de un campo vectorial

### Definición

Sean $\mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ un campo vectorial continuo en una región $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ y $C\subset U$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, la integral de línea del campo vectorial $\mathbf {F}$ sobre $C$ en la dirección de $\mathbf {r}$, está definida como

    $\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

donde $\cdot$ es el producto escalar y la función $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de $C$ donde $r(a)$ y $r(b)$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de $C$, no son independientes de la orientación de $C$, para este tipo de integrales, si $C$ es una curva simple orientada y $-C$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{-C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

### Relación con las integrales de línea de campos escalares

Para trayectorias $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ que satisfagan $\mathbf {r'} (t)\neq \mathbf {0} ,\;\forall \;t\in [a,b]$ si

    $\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}$

denota un vector tangente unitario a $C$ entonces

    ${\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {r'} (t)\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot {\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {T} (t)\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds\\&=\int _{C}f\;ds\end{aligned}}$

donde $f=\mathbf {F} \cdot \mathbf {T}$, por lo tanto

    $\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds$

### Forma diferencial

Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que $\mathbf {F}$ es un campo vectorial en $\mathbb {R} ^{2}$ de la forma $\mathbf {F} (x,y)=\left(M,N\right)$ y $C$ es una curva parametrizada por $\mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right),\;a\leq t\leq b$ entonces

    ${\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{C}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\;dt\\&=\int _{a}^{b}(M,N)\cdot \left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{a}^{b}\left(M\;{\frac {dx}{dt}}+N\;{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{C}M\;dx+N\;dy\end{aligned}}$

Decimos que la expresión $M\;dx+N\;dy$ es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en $\mathbb {R} ^{3}$.

### Integrales de línea sobre curvas cerradas

Si $C$ es una curva cerrada simple entonces es común la notación

    $\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

y para la forma diferencial

    $\oint _{C}M\;dx+N\;dy$

## Teorema fundamental de las integrales de línea

### Campo vectorial conservativo

Sea $\mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ una función continua en la región $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, decimos que $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo en $U$ si existe $f:U\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $\mathbf {F} =\nabla f$, en este caso decimos que $f$ es un campo potencial de $\mathbf {F}$.

### Teorema

Si $\mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es un campo vectorial conservativo en $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ y $C\subset U$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ entonces

    $\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {r} (b))-f(\mathbf {r} (a))$

En particular, si $C$ es una curva orientada cerrada y simple

    $\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\oint _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =0$

Lo anterior dice que cuando $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización $\mathbf {r}$. En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo.

## Integrales de línea en el plano complejo

En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que $U\subset \mathbb {C}$ es una región abierta en el plano complejo, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ es una función y $L\subset U$ es una curva de longitud finita parametrizada por

    $\gamma :[a,b]\rightarrow L$

donde

    $\gamma (t)=x(t)+iy(t)$

Si la parametrización $\gamma$ es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:

    $\int _{L}f(z)dz=\int _{a}^{b}f\left(\gamma (t)\right)\gamma '(t)dt$

Cuando $f$ es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

