Teoremas de Mertens
# Teoremas de Mertens

En matemáticas, los teoremas de Mertens (por el matemático alemán Franz Mertens (1840-1927), que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otros resultados en análisis matemático.

## Teoría de números

### Primer teorema de Mertens

* $\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{cuando}}\ n\to \infty ,$

### Segundo teorema de Mertens

* $\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)=0,2614972128\ldots ,$

Ese número es la constante de Meissel-Mertens.

### Tercer teorema de Mertens

* $\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$
* donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

## Teorema de Mertens en análisis

* Si una serie infinita real o compleja
* $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
* converge a $A$ y otra
* $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$
* converge absolutamente a $B$, entonces su producto de Cauchy converge a $AB$.
* Datos: Q1196729
