Figura isotoxal
# Figura isotoxal

En geometría, un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro), o un teselado, es isotoxal o transitivo de aristas si sus simetrías actúan transitivamente en sus aristas. Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de arista en el objeto: dadas dos aristas, existe una traslación, rotación y/o reflexión que permitirá mover una arista a la posición inicial de la otra, mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.

El término isotoxal se deriva del griego τοξον que significa arco.

## Polígonos isotoxales

Un polígono isotoxal es un polígono equilátero, pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de los polígonos isotoxales son figuras isogonales.

En general, un 2n-gono isotoxal tendrá $D_n$ (*nn) simetría diedral. Un rombo es un polígono isotoxal con simetría $D_2$ (*22).

Todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, etc.) son isotoxales, tienen el doble del orden de simetría mínimo: un n-gono regular tiene una simetría diedral $D_n$ (*nn). Un 2n-gono regular es un polígono isotoxal y puede marcarse con vértices coloreados alternativamente, eliminando la línea de reflexión a través de los puntos medios.

Ejemplos de polígonos isotoxales :

| $D_2$ (*22) | $D_3$ (*33) | $D_3$ (*33) | $D_3$ (*33) | $D_4$ (*44) | $D_4$ (*44) | $D_5$ (*55) | $D_5$ (*55) | $D_5$ (*55) |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Rombo | Triángulo equilátero | Hexágono cóncavo | Hexágono autointersecante | Octógono convexo | Octógono convexo | Pentágono regular | Pentagrama (regular) autointersecante | Decagrama autointersecante |

## Poliedros y teselados isotoxales

Los poliedros regulares son isohédricos (con caras transitivas), isogonales (con vértices transitivos) e isotoxales. Los poliedros cuasirregulares, como el cuboctaedro o el icosidodecaedro, son isogonales e isotoxales, pero no son isoédricos; sus duales, incluyendo el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico, son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.

Ejemplos :

| Poliedro cuasirregular | Poliedro cuasirregular dual | Poliedro cuasirregular estrellado | Poliedro cuasirregular estrellado dual | Teselado cuasirregular | Teselado cuasirregular dual |
| - | - | - | - | - | - |
| El cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal | El rombododecaedro es un poliedro isoedral e isotoxal | El gran icosidodecaedro es un poliedro estrellado isogonal e isotoxal | El gran triacontaedro rómbico es un poliedro estrellado isoedral e isotoxal | El teselado trihexagonal es isogonal e isotoxal | El teselado rómbico es isoedral e isotoxal, con simetría p6m (*632) |

No todos los poliedros o teselados bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el familiar balón de fútbol) tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva cada arista hexágono-hexágono hacia una arista hexágono-pentágono.

Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedral para todas sus aristas.

Hay 9 poliedros convexos isotoxales coincidentes con los sólidos platónicos; otros 8 integrados por los sólidos de Kepler–Poinsot; y 6 más que forman parte de los poliedros estrellados cuasirregulares (3|pq) y sus duales.

Hay al menos 5 teselados poligonales del plano euclidiano que son isotoxales, e innumerables teselados isotoxales poligonales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de los grupos de teselados hiperbólicos regulares {p,q} y (p q r) no rectos.

