Descomposición en valores singulares
# Descomposición en valores singulares

En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (o DVS) de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas.

## Definiciones previas

Dada una matriz real $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} )$, los autovalores de la matriz cuadrada, simétrica y semidefinida positiva $A^{t}A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ son siempre reales y mayores o iguales a cero. Teniendo en cuenta el producto interno canónico vemos que:

$(A^{t}A)^{t}=A^{t}(A^{t})^{t}=A^{t}A$. O sea que es simétrica

$\langle x,A^{t}Ax\rangle =x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}\geq 0$, es decir $A^{t}A$ es semidefinida positiva, es decir, todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.

Si $\lambda _{i}$ es el i-ésimo autovalor asociado al i-ésimo autovector, entonces $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$. Esto es una propiedad de las matrices simétricas. Ver demostración.

### Definición

Sean $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}\geq 0$ los autovalores de la matriz $A^{t}A$ ordenados de mayor a menor. Entonces $\sigma _{i}={\sqrt {\lambda _{i}}}$ es el $i$-ésimo valor singular de la matriz $A$.

**Teorema**

Sea $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} )$ y $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{r}>\lambda _{r+1}=\cdots =\lambda _{n}=0$ los autovalores de $A^{t}A$. Es decir los primeros $r$autovalores no nulos, ordenados de manera decreciente y los $n-r$ autovalores nulos.

Sea $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{n}\,$ formada por autovectores de $A^{t}A$. Entonces:

* $\{Av_{1},\ldots ,Av_{r}\}$ es un conjunto ortogonal y $\|Av_{i}\|={\sqrt {\lambda _{i}}}=\sigma _{i}$
* $\left\{{\frac {Av_{1}}{\sigma _{1}}},\ldots ,{\frac {Av_{r}}{\sigma _{r}}}\right\}$ es una base ortonormal del subespacio fundamental $\operatorname {Col} (A)$.
* $\{v_{r+1},\ldots ,v_{n}\}$ es una base ortonormal del subespacio fundamental $\operatorname {Nul} (A)$.
* $\operatorname {rg} (A)=r$ es decir, el rango de la matriz $A\,$ coincide con la cantidad de valores singulares no nulos.

**Demostración**

* $\langle Av_{i},Av_{j}\rangle =v_{i}^{t}A^{t}Av_{j}=\lambda _{j}\cdot v_{i}^{t}v_{j}={\begin{cases}\lambda _{j}&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}$. Teniendo en cuenta este resultado $\|Av_{i}\|={\sqrt {\langle Av_{i},Av_{i}\rangle }}={\sqrt {\lambda _{i}}}=\sigma _{i}$
* Como el conjunto de los vectores $v_{i}$, $1\leq i\leq r$, es ortonormal (por lo tanto linealmente independiente), se ve que hacer el producto $Av_{i}$ es ni más ni menos que una combinación lineal de las columnas de la matriz; por lo que el espacio generado por estos productos y las columnas de la matriz es el mismo. Por lo tanto, teniendo en cuenta lo demostrado en el punto anterior, $\left\{{\frac {Av_{1}}{\sigma _{1}}},\cdots ,{\frac {Av_{r}}{\sigma _{r}}}\right\}$ es una base ortonormal de $\operatorname {Col} (A)$
* Es claro que si los vectores $v_{i}$, $r+1\leq i\leq n$, están asociados a autovalores nulos, teniendo en cuenta lo visto en el punto 1 y también sabiendo que $\operatorname {Nul} (A)=\operatorname {Nul} (A^{t}A)$ (demostración en el último punto de esta lista de propiedades) se ve que $\{v_{r+1},\ldots ,v_{n}\}$ es una base ortonormal del $\operatorname {Nul} (A)$
* Mirando la dimensión del subespacio hallado en el punto 2 de esta demostración, es claro que $\operatorname {rg} (A)=r$

## Descomposición en valores singulares de una matriz

Una DVS de $A\,$ es una factorización del tipo $A=U\Sigma V^{t}$ con $U\in M_{m}(\mathbb {R} )$, $V\in M_{n}(\mathbb {R} )$ ortogonales y $\Sigma \in M_{m,n}(\mathbb {R} )$ una matriz formada con los valores singulares de $A\,$ en su diagonal principal ordenados de mayor a menor.

**Teorema**

Toda matriz $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} )$ admite una DVS.

### Demostración

Sean $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{r}>\lambda _{r+1}=\cdots =\lambda _{n}=0$ los autovalores de $A^{t}A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ ordenados de esta manera. Sea $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{n}$ formada por autovectores de $A^{t}A$, cada uno asociados (en orden) a un autovalor.

Recordemos que el conjunto $\{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}$ es ortogonal, con $Av_{r+1}=\cdots =Av_{m}=0_{\mathbb {R} ^{m}}$. Si llamamos $u_{1}={\frac {Av_{1}}{\sigma _{1}}},\cdots ,u_{r}={\frac {Av_{r}}{\sigma _{r}}}$, vemos que:

* $\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ es un conjunto ortonormal. Entonces, si $r<m\,$ podemos completar con $\{u_{r+1},\ldots ,u_{m}\}$ hasta formar una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{m}$
* $\left\{{\begin{array}{c}Av_{1}=\sigma _{1}u_{1}\\\vdots \\Av_{r}=\sigma _{r}u_{r}\\Av_{r+1}=0_{\mathbb {R} ^{m}}\\\vdots \\Av_{n}=0_{\mathbb {R} ^{m}}\end{array}}\right.$
* Reescribiendo este último sistema de ecuaciones de manera matricial con las matrices $V={\begin{pmatrix}|&&|\\v_{1}&\cdots &v_{n}\\|&&|\end{pmatrix}}\in M_{n}(\mathbb {R} )$ ortogonal y

$U\Sigma =\underbrace {\begin{pmatrix}|&&|\\u_{1}&\cdots &u_{n}\\|&&|\end{pmatrix}} _{U\in M_{m}(\mathbb {R} ){\text{ ortogonal}}}\underbrace {\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&\sigma _{2}&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\sigma _{r}&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}} _{\Sigma \in M_{m,n}(\mathbb {R} )}={\begin{pmatrix}|&&|&|&&|\\\sigma _{1}u_{1}&\cdots &\sigma _{r}u_{r}&0&\cdots &0\\|&&|&|&&|\end{pmatrix}}$

Claramente $AV=U\Sigma \,$ y, finalmente, como $V\,$ es una matriz ortogonal $A=U\Sigma V^{t}$. Esta es la ecuación de una DVS de $A\,$.

Viendo esta descomposición, es claro que la matriz $A\,$ puede escribirse como combinación lineal de matrices de rango 1 tal que:

$A=\sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{t}$

## Descomposición en valores singulares reducida (DVS reducida)

Este tipo de descomposición resulta de quedarse sólo con los $r$ autovectores unitarios asociados a los $r$ valores singulares no nulos. Las matrices $U$, $V$ y $\Sigma$ entonces son:

$U_{r}={\begin{pmatrix}|&&|\\u_{1}&\cdots &u_{r}\\|&&|\end{pmatrix}}^{t}$

$V_{r}={\begin{pmatrix}|&&|\\v_{1}&\cdots &v_{r}\\|&&|\end{pmatrix}}^{t}$

$\Sigma _{r}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r})^{t}$

$A=U_{r}\Sigma _{r}V_{r}^{t}$

Observación: $\Sigma _{r}$ es una matriz diagonal de dimensión $r\times r$.

## Propiedades

Las matrices a continuación denotadas con la letra $P$, son de proyección sobre el subespacio indicado. Las matrices denotadas con la letra $I\,$ son las identidades del orden denotado.

* $P_{\operatorname {Col} (A)}=U_{r}U_{r}^{t}$
* $P_{\operatorname {Nul} (A^{t})}=I_{m}-U_{r}U_{r}^{t}=U_{m-r}U_{m-r}^{t}$
* $P_{\operatorname {Fil} (A)}=V_{r}V_{r}^{t}$
* $P_{\operatorname {Nul} (A)}=I_{n}-V_{r}V_{r}^{t}=V_{n-r}V_{n-r}^{t}$
* $U_{r}^{t}U_{r}=U_{m-r}^{t}U_{m-r}=I_{m}$
* $V_{r}^{t}V_{r}=V_{n-r}^{t}V_{n-r}=I_{n}$
* $\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ es una base ortonormal de $\operatorname {Col} (A)$
* $\{u_{r+1},\ldots ,u_{m}\}$ es una base ortonormal de $\operatorname {Nul} (A^{t})$
* $\{v_{1},\ldots ,v_{r}\}$ es una base ortonormal de $\operatorname {Fil} (A)$
* $\{v_{r+1},\ldots ,v_{n}\}$ es una base ortonormal de $\operatorname {Nul} (A)$
* $A=U\Sigma V^{t}\Longrightarrow A^{t}=(U\Sigma V^{t})^{t}=V\Sigma ^{t}U^{t}$
* $A^{t}A=V\Sigma ^{t}U^{t}U\Sigma V^{t}\Longleftrightarrow A^{t}A=V\Sigma ^{t}\Sigma V^{t}\Longleftrightarrow A^{t}A=V_{r}\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})V_{r}^{t}$ (Una diagonalización ortogonal de $A^{t}A$.)
* Las matrices simétricas $A^{t}A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ y $AA^{t}\in M_{m}(\mathbb {R} )$ tienen los mismos autovalores no nulos y, por lo tanto, los valores singulares no nulos de la matriz $A\,$ pueden calcularse usando cualquiera de estas 2. Además, todos los vectores del conjunto $\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ son autovectores de $AA^{t}\in M_{m}(\mathbb {R} )$ y también, como ya se mencionó, $\operatorname {Nul} (A^{t})=\langle u_{r+1},\cdots ,u_{m}\rangle$. Esto es fácil de ver, teniendo en cuenta que:

$\forall 1\leq i\leq r,\quad Av_{i}=\sigma _{i}u_{i}\Longleftrightarrow A\underbrace {A^{t}Av_{i}} _{\lambda _{i}\cdot v_{i}}=\sigma _{i}\cdot AA^{t}u_{i}\Longleftrightarrow \lambda _{i}\cdot Av_{i}=\sigma _{i}^{2}\cdot \underbrace {Av_{i}} _{\sigma _{i}u_{i}}=\sigma _{i}\cdot AA^{t}u_{i}\Longleftrightarrow AA^{t}u_{i}=\sigma _{i}^{2}\cdot u_{i}=\lambda _{i}\cdot u_{i}$

Este resultado es útil para facilitar el cálculo de valores singulares. Por ejemplo, dada $A\in \mathbb {R} _{2,8}(\mathbb {R} )$, entonces $A^{t}A\in M_{8}(\mathbb {R} )$ tiene un polinomio característico de grado 8 y $AA^{t}\in M_{2}(\mathbb {R} )$ tiene un polinomio característico de grado 2. Como los autovalores no nulos de ambas matrices coinciden, el cálculo de valores singulares de $A$ se hace más sencillo.

## Aplicaciones

### Pseudoinversa

Para una matriz no cuadrada $A$ descompuesta en valores singulares $A=U\Sigma V^{t}$, su pseudoinversa es

$A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{t}$

donde $\Sigma ^{+}$ es la pseudoinversa de $\Sigma$, que siendo una matriz diagonal se computa reemplazando todos los valores no ceros de la diagonal por sus recíprocos, y luego trasponiendo.

La pseudoinversa es un camino para resolver cuadrados mínimos lineales.

### Solución de norma mínima

La pseudoinversa obtenida mediante la DVS permite hallar $x$ que minimiza la norma $\|Ax-b\|$. La solución esː

$x_{\text{min}}=A^{+}b=V\Sigma ^{+}U^{t}b$

Se aplica para aproximar la solución del sistema de ecuaciones indeterminado $\|Ax-b\|$.

### Solución de ecuaciones lineales homogéneas

Un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas se puede escribir $Ax=0$ para una matriz $A$ y un vector $x$. Una situación típica consiste hallar $x$ no cero, conociendo $A$. Las soluciones son todos los vectores singulares cuyo valor singular es cero, y toda combinación lineal entre ellos. Si $A$ no tiene ningún valor singular cero, entonces no hay solución aparte de $x=0$.

### Minimización de cuadrados mínimos totales

El problema de minimización por cuadrados mínimos totales consiste en hallar $x$ que minimiza la norma $\|Ax\|$ bajo la condición $\|x\|=1$.

$\min _{x}\|Ax\|$ para $\|x\|=1$

La solución es el vector singular correspondiente al mínimo valor singular no cero.

## Ejemplos de cálculo de DVS

### Ejemplo 1

Si $A={\begin{pmatrix}0&0\\0&9\\3&0\end{pmatrix}}$, entonces $A^{t}A={\begin{pmatrix}9&0\\0&81\end{pmatrix}}$, cuyos autovalores son $\lambda _{1}=81$ y $\lambda _{2}=9$ asociados a los autovectores $v_{1}=(0,1)^{t}$ y $v_{2}=(1,0)^{t}$. Ya que la matriz es simétrica, estos vectores son ortogonales (ver diagonalización de matrices Hermíticas).

Entonces, los valores singulares de $A\,$ son $\sigma _{1}={\sqrt {81}}=9$ y $\sigma _{2}={\sqrt {9}}=3$. Observamos que, efectivamente, la cantidad de valores singulares no nulos coincide con el rango de la matriz.

Ahora buscamos los vectores $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ con $u_{i}\in \mathbb {R} ^{3}$, que deberán cumplir

$\left\{{\begin{array}{c}Av_{1}=\sigma _{1}u_{1}\\Av_{2}=\sigma _{2}u_{2}\\Av_{3}=0_{\mathbb {R} ^{3}}\end{array}}\right.$

Esto es $u_{1}={\frac {Av_{1}}{\sigma _{1}}}={\frac {1}{9}}(0,9,0)^{t}=(0,1,0)^{t}$ y $u_{2}={\frac {Av_{2}}{\sigma _{2}}}={\frac {1}{3}}(0,0,3)^{t}=(0,0,1)^{t}$.

Entonces completamos una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{3}\,$ con $\{(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)\}$.

Nuestras matrices ortogonales son:

$U={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$ y $V={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Y la matriz compuesta por los valores singulares ordenados:

$\Sigma ={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\\0&0\end{pmatrix}}$

Por lo tanto la DVS de $A\,$ es:

$A={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&0\\0&3\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=9{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&9\\3&0\end{pmatrix}}$.

Y la DVS reducida es

$A={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Observación: No siempre ocurre que $V=V^{t}$ como en este caso.

### Ejemplo 2

Sea $B={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$. Entonces, para hacer más sencillo el proceso, calculamos $BB^{t}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ que tiene un polinomio característico de grado 2. Los autovalores son $\lambda _{1}=2$ y $\lambda _{2}=0$ asociados a los autovectores de norma unitaria $u_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1)^{t}$ y $u_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(-1,1)^{t}$. Nuestro único valor singular no nulo es $\sigma _{1}={\sqrt {2}}$.

Observaciones:

* Es claro que $\operatorname {rg} (B)=1$ coincide con la cantidad de valores singulares no nulos de la matriz y además $\operatorname {Col} (B)=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1)\right\rangle$
* Sabemos que $B^{t}B\in M_{3}(\mathbb {R} )$ tiene un polinomio característico de grado 3. Entonces, sus raíces son $\lambda _{1}=2$, $\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$. Veámoslo:

$B^{t}B={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}}\Longrightarrow p_{B^{t}B}(x)=\det(xI_{3}-B^{t}B)=x^{3}-2x^{2}$

Ahora, sabemos que $Bv_{i}=\sigma _{i}u_{i}\Longleftrightarrow B^{t}Bv_{i}=\sigma _{i}^{2}v_{i}=\sigma _{i}\cdot B^{t}u_{i}$, es decir $B^{t}u_{i}=\sigma _{i}v_{i}\Longleftrightarrow v_{i}={\frac {B^{t}u_{i}}{\sigma _{i}}}$. Entonces, resulta del único Valor singular no nulo: $v_{1}={\frac {1}{2}}(0,0,2)^{t}=(0,0,1)^{t}$.

Ahora, completamos una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{3}\,$ con $\{(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)\}$. En este ejemplo, nuestras matrices ortogonales son:

$U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$ y $V={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$

$\Sigma ={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

Y la DVS resulta entonces:

$B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Nota: la DVS reducida se muestra en la segunda igualdad de la ecuación anterior.

