Espacio estrictamente convexo
# Espacio estrictamente convexo

En matemáticas, un espacio estrictamente convexo es un espacio vectorial normado (X, || ||) para el cual la bola unitaria cerrada es estrictamente convexa. Dicho de otra manera, un espacio estrictamente convexo es aquel para el cual, dados dos puntos distintos x e y en la 1-esfera ∂B (es decir, en la frontera de la bola unitaria B de X), el segmento que une x e y se encuentra con ∂B sólo en x e y. La convexidad estricta está en algún lugar entre un espacio prehilbertiano (todos los espacios de producto internos son estrictamente convexos) y un espacio vectorial normado general en términos de estructura. También garantiza la unicidad de una mejor aproximación a un elemento en X (estrictamente convexo) a partir de un subespacio convexo Y, siempre que exista dicha aproximación.

Si el espacio normado X es completo y satisface la propiedad ligeramente más fuerte de ser uniformemente convexo (lo que implica convexidad estricta), entonces también es reflexivo según el teorema de Milman-Pettis.

## Propiedades

Las siguientes propiedades son equivalentes a la convexidad estricta.

* Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y || x' ' || = || y || = 1 juntos implican que || x + y' ' || < 2.
* Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y ||&nbsp ;x || = || y || = 1 juntos implican que || αx +&nbsp.(1 − α)y || < 1 para todos los 0 < α < 1.
* Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ 0 e y≠ 0 y || x + y || = || x ||&nbsp ;+ || y || juntos implican que x = cy para alguna constante c > 0.
* Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si el módulo de convexidad δ para (X, || ||) satisface que δ(2)=1.
