Medida sigma-finita
# Medida sigma-finita

En teoría de la medida, una medida sigma-finita ($\sigma$-finita) es una medida, que a diferencia de una medida finita, esta hace referencia a que un espacio puede ser descompuesto como unión numerable de conjuntos medibles, los cuales tienen medida finita, teniendo que el espacio entero no necesariamente tenga medida finita. Al trabajar sobre espacios medibles equipados con una medida $\sigma$-finita es muy interesante, pues hay muchos resultados que trabajan sobre ellos, trayendo consigo consecuencias importantes, como por ejemplo, el Teorema de Fubini, el cual requiere que se trabaje sobre espacios de medida $\sigma$-finitos.

## Definición

Sea $\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ un espacio de medida. Se dice que $\mu$ es una medida $\sigma$-finita (o simplemente diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita) si

$X=⋃_{n=1}^∞A_n,$ donde ${A_n}_{n=1}^∞⊆A$ con $μ(A_n)<∞,$ ∀n≥1{\textstyle \displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\;, \, {\text{donde }}\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {A}}{\text{ con }}\mu \left(A_{n}\right)<\infty \;, \forall n\geq 1}

Así, si $\mu$ es $\sigma$-finita, diremos que el espacio $\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ es un espacio de medida $\sigma$-finito.

## Ejemplos

* El espacio $\left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)$ es un espacio $\sigma$-finito, donde ${\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right)$ es la $\sigma$-álgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{d}$, y $\lambda$ es la medida de Lebesgue sobre $\mathbb {R} ^{d}$. En efecto, denotemos a la bola abierta centrada en $x\in \mathbb {R}$ y radio $r>0$ por $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb {R} \colon ||x-y||<r\right\}$, donde $||\cdot ||$ denota la norma euclidiana sobre $\mathbb {R} ^{d}$. Como sobre $\left(\mathbb {R} ^{d},\tau _{\mathbb {R} ^{d}}\right)$ se tiene que una base para la topología $\tau _{\mathbb {R} ^{d}}$ es la familia formada por bolas abiertas, tenemos que, existe $r>0$ tal que $\mathbb {R} ^{d}=\bigcup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}B(x,r)$, teniendo que $\lambda \left(B(x,r)\right)<\infty$. Por tanto, $\left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)$ es un espacio $\sigma$-finito.
