Intervalo (matemática)
# Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín intervallum) es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto $I\subset \mathbb {R}$ que satisface que, para cualesquiera $u,w\in I$ y $v\in \mathbb {R}$, si $u\leq v\leq w$, entonces $v\in I$. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.

## Proposición

Un intervalo $I$ es un subconjunto de $\mathbb {R}$ que verifica la siguiente propiedad:

* Si $r$ y $t$ son elementos de $I$ con $r\leq t$, entonces para todo $s$ tal que $r\leq s\leq t$, se cumple que $s\in I$

## Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

### Intervalos abiertos

**Definición**

Dados dos números reales $a$ y $b$, se define el conjunto $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ llamado intervalo abierto de extremo inferior $a$ y extremo superior $b$.

En palabras, el intervalo abierto $(a,b)$ es el conjunto de números reales comprendidos entre $a$ y $b$: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos $a$ y $b$. Es un intervalo de longitud finita.

**Definición**

**Otras notaciones**

* $(a,b)$, $\left]a,b\right[$ o $\langle a,b\rangle$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o $\mathbb {R}$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de $\mathbb {R}$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto $(a,b)$ es igual a su interior, su frontera es el conjunto $\{a,b\}$ y su clausura es el intervalo cerrado $[a,b]$. Su exterior son las semirrectas $(-\infty ,a]$ y $[b,\infty )$. No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.

### Intervalos cerrados

Sí incluye los extremos.

* Que se indica: $I=[a,b]\$

En notación conjuntista:

    $I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$

### Intervalos semiabiertos

Incluye únicamente uno de los extremos.

* Con la notación $(a,b]$ o bien $\left]a,b\right]$ indicamos.

En notación conjuntista:

    $I=(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
* Y con la notación $[a,b)$ o bien $\left[a,b\right[$,

En notación conjuntista:

    $I=[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud $|b-a|$. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es $(a+b)/2$, llamado punto medio, donde los extremos son $a$ y $b$ con $a<b$. En el caso $a=b$, no existe punto medio y el intervalo abierto es $\varnothing$.

### Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

* Con la notación $[a,\infty )$ o $\left[a,\infty \right[$ indicamos.

En notación conjuntista:

    $I=[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\}$

Sin incluir el extremo:

* Y con la notación $(a,\infty )$ o $\left]a,\infty \right[$,

    $I=(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a<x\}$

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

* Con la notación $(-\infty ,a]$ o $\left]-\infty ,a\right]$ indicamos.

En notación conjuntista:

    $I=(-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}$

Sin incluir el extremo:

* Y con la notación $(-\infty ,a)$ o $\left]-\infty ,a\right[$,

En notación conjuntista:

    $I=(-\infty ,a)=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$

Para todo valor real:

* Y con la notación $(-\infty ,\infty )$ o $\left]-\infty ,\infty \right[$,

En notación conjuntista:

    $I=(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$

### Familia de intervalos

* $\left\{(1-{\tfrac {1}{n}},2+{\tfrac {1}{n}}):n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}$ es una familia de intervalos abiertos.
* $\left\{{[1,2+{\tfrac {1}{n}}]}:n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}$ es una familia de intervalos cerrados.

### Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto $A$:

    $A=\{x\in \mathbb {R} :x<4\}=(-\infty ,4)$

Esto se lee: $A$ es el conjunto de todos los números reales $x$ tal que $x$ es menor que cuatro.

Y el conjunto $B$:

    $B=\{x\in \mathbb {R} :9<x\}=(9,\infty )$

$B$ es el conjunto de todos los números reales $x$, tal que $9$ es menor que $x$.

El conjunto unión de $A$ y $B$ sería:

    $A\cup B=(-\infty ,4)\cup (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\lor x>9\}$

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de $A$ y $B$ es el vacío:

    $A\cap B=(-\infty ,4)\cap (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\land 9<x\}$

porque $A$ y $B$ no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: $A\cap B=\varnothing$

Dados los conjuntos A y C:

    $A=\{x\in \mathbb {R} :x<4\}=(-\infty ,4)$
    $C=\{x\in \mathbb {R} :-3<x<15\}=(-3,15)$

El conjunto unión de $A$ y $C$ es:

    $A\cup C=\{x\in \mathbb {R} :x<15\}=(-\infty ,15)$

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.

El conjunto intersección de $A$ y $C$ es:

    $A\cap C=\{x\in \mathbb {R} :-3<x<4\}=(-3,4)$

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

### Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro $a$ y radio $r$ se representa:

* Con la notación $E(a,r)$ indicamos

    $E(a,r)=\{x\in \mathbb {R} :a-r<x<a+r\}=(a-r,a+r)$

### Entorno reducido

Un entorno reducido de centro $a$ y radio $r$ se representa:

* Con la notación $E^{*}(a,r)$ indicamos

    $E^{*}(a,r)=E(a,r)\setminus \{a\}$

Un entorno reducido de un punto $p$ es un entorno de $p$, menos $\{p\}$. Por ejemplo, el intervalo $(-1,1)=\{y\in \mathbb {R} :-1<y<1\}$ es un entorno de $p=0$ en la recta real, entonces el conjunto $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ es un entorno reducido de $0$.

## Nota

* Si $a>b$, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
* $(a,a)$, $[a,a)$ y $(a,a]$ denotan también al conjunto vacío.
* $[a,a]$ denota al conjunto unitario $\{a\}$, también llamado intervalo degenerado.
* Existen dos notaciones comunes para denotar intervalos, una en la que los intervalos abiertos se escriben como $\left]a,b\right[$, y otra en la que los intervalos abiertos se escriben como $(a,b)$.
* La notación $(a,b)$ se utiliza en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
* Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito ($\infty$) para indicar que no hay cota.

## Ejemplos gráficos

* Gráfica de una función en un intervalo.
* Gráfica de una función en un intervalo.
* Transformación lineal de intervalos.
* Transformación lineal de intervalos.
* Transformación lineal de intervalos.
* Transformación lineal de intervalos.
* Recta numérica.
* Recta numérica.

## Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con $a<b$, y $x$ perteneciente al intervalo:

| Notación | Intervalo | Longitud | Descripción |
| - | - | - | - |
| $[a,b]\,$ | $a\leq x\leq b$ | $b-a\,$ | Intervalo cerrado de longitud finita. |
| $[a,b)$ o $[a,b[$ | $a\leq x<b\!$ | $b-a\,$ | Intervalo semiabierto (cerrado en $a$, abierto en $b$). |
| $(a,b]$ o $]a,b]$ | $a<x\leq b$ | $b-a\,$ | Intervalo semiabierto (abierto en $a$, cerrado en $b$). |
| $(a,b)$ o $]a,b[$ | $a<x<b\!$ | $b-a\,$ | Intervalo abierto. |
| $(-\infty ,b)$ o $]-\infty ,b[$ | $x<b\!$ | $\infty$ | Intervalo semiabierto. |
| $(-\infty ,b]$ o $]-\infty ,b]$ | $x\leq b\!$ | $\infty$ | Intervalo semiabierto. |
| $[a,\infty )$ o $[a,\infty [$ | $x\geq a\!$ | $\infty$ | Intervalo semiabierto. |
| $(a,\infty )$ o $]a,\infty [$ | $x>a\!$ | $\infty$ | Intervalo semiabierto. |
| $(-\infty ,\infty )$ o $]-\infty ,\infty [$ | $x\in \mathbb {R} \!$ | $\infty$ | Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de $\mathbb {R}$. |
| $[a,a]=\{a\}\!$ | $x=a\!$ | $0\!$ | Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado). |
| $(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing \!$ | sin elemento | $0\!$ | Conjunto vacío. |

## Caracterización

### Intervalo cerrado

El número real $x$ está en $I=[a,b]\,$ si sólo si $a\leq x\leq b$. Los puntos $a$ y $b$ son elementos del intervalo cerrado $I$; $a$ es el ínfimo y $b$ el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos $a$ y $b$ con $a\leq x\leq b$. El intervalo abierto $(a,b)$ es el interior del intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado $I=[a,b]\,$; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta .

## Propiedades

* La unión de intervalos de $\mathbb {R}$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
* Los conjuntos conexos de $\mathbb {R}$ son exactamente los intervalos.
* Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.
* La imagen por una función continua de un intervalo de $\mathbb {R}$ es un intervalo de $\mathbb {R}$. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
* Según la topología usual de $\mathbb {R}$, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.

## Aritmética de intervalos

Sean $I=[a,b]$ y $J=[c,d]$ con $a\leq x\leq b$, y $c\leq y\leq d$.

Entonces: $a+c\leq x+y\leq b+d$. Lo que justifica que

* $I+J=[a+c,b+d]$.
* $I-J=[a-d,b-c]$. (No confundir con la diferencia $I\setminus J=\{a\in \mathbb {R} :a\in I\;\land \;a\notin J\}$)
* Si se toman $a$, $b$, $c$ y $d$ positivos no nulos, $I\cdot J=[ac,bd]$ e $I/J=[a/d,b/c]$.

## Generalización

Un intervalo $n$-dimensional se define como un subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$, que es el producto cartesiano de $n$ intervalos: $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$, uno en cada eje de coordenadas.

En términos topológicos, en el espacio métrico $\mathbb {R}$ usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro $a$ y radio $\varepsilon$, al conjunto de puntos cuya distancia a $a$ es menor que $\varepsilon$.

    $E(a,\varepsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\varepsilon \right\}$
