Sustitución en integración
# Sustitución en integración

En cálculo, integración por sustitución, también conocido como cambio de variable, es un método para evaluar integrales y antiderivadas. Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciación.

## Sustitución para una variable

### Introducción

Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.

Calcular $\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx$

Sea $u=2x^{3}+1$. Esto significa $\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}$ o en forma diferencial $du=6x^{2}\,dx$. Ahora

    ,${\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\end{aligned}}$

donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria de integración.

Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

    ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}$

Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.

### Integrales definidas

Sea $\varphi :[a,b]\to I$ una función continuamente diferenciable donde $I\subseteq \mathbb {R}$ es un intervalo. Supóngase que $f:I\to \mathbb {R}$ es una función continua entonces

    $\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.$

La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.

### Demostración

La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.

Sean $f$ y $\varphi$ funciones tales que $f$ es continua en $I$ y $\varphi$ tiene derivada $\varphi '$ tal que es integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces la función $f\left(\varphi (x)\right)\varphi '(x)$ también es integrable en $[a,b]$. Por lo que las integrales

    $\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx$

y

    $\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du$

existen y queda demostrar que son iguales.

Dado que $f$ es continua, tiene una antiderivada $F$. La función compuesta $F\circ \varphi$ está definida, como $\varphi$ es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos

    $(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos

    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$

### Ejemplos

**Ejemplo 1**

Considere la integral

    $\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.$

Haga la sustitución $u=x^{2}+1$ para obtener $du=2xdx$, esto es $\textstyle xdx={\frac {1}{2}}du$ Por lo que

    ${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&={\frac {\operatorname {sen}(u)}{2}}{\bigg |}_{1}^{5}\\&={\frac {\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dado que el límite inferior $x=0$ fue reemplazado por $u=1$ y el límite superior $x=2$ con $2^{2}+1=5$, regresar a la variable original $x$, fue innecesario.

### Antiderivadas

La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre $x$ y $u$, determina la relación correspondiente entre $dx$ y $du$ mediante diferenciación y realiza las sustituciones.

Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:

    ${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} u+C\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen}(x^{2}+1)+C\end{aligned}}$

donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria de integración.

Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original $u=x^{2}+1$ es necesario.

La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:

    $\int \tan x\,dx=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx$

Utilizando la sustitución $u=\cos x$ obtenemos $du=-\sin x\,dx$ y

    ${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}$

## Sustitución para múltiples variables

Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables. Aquí la función de sustitución $(v_{1},\dots ,v_{n})=\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})$ necesita ser inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como

    $dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},$

donde $\det(D\varphi )(u_{1},\dots ,u_{n})$denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de $\varphi$ en el punto $(u_{1},\dots ,u_{n})$.

De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema

Teorema. Sean $U$ un subconjunto abierto en $\mathbb {R} ^{n}$ y $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ una función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real $f$ con soporte contenido en $\varphi (U)$

    $\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$

Para funciones Lebesgue medibles, el teorema puede enunciarse de la siguiente forma:

Teorema. Sean $U$ un subconjunto medible en $\mathbb {R} ^{n}$ y $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ una función inyectiva, suponga que para cada $x\in U$ existe $\varphi '(x)\in \mathbb {R} ^{n,n}$ tal que $\varphi (y)=\varphi (x)+\varphi '(x)(y-x)+o(||y-x||)$ cuando $y\to x$ entonces $\varphi (U)$ es medible y para cualquier función real $f$ definida en $\varphi (U)$

    $\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du$

## Aplicación en probabilidad

La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria $X$ con función de densidad $p_{X}$ y otra variable aleatoria $Y$ tal que $Y=\phi (X)$, ¿cuál es función de densidad para $Y$?

Es muy fácil responder esta pregunta respondiendo primero: ¿cuál es la probabilidad de que $Y$ tome un valor en algún subconjunto particular $S$? Denote esta probabilidad $P(Y\in S)$, si $Y$ tiene función de densidad $p_{Y}$ entonces la respuesta es

    $P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$

pero esto realmente no es útil pues no sabemos quién es $p_{Y}$; que es lo que estamos intentando encontrar. Podemos progresar si consideramos el problema en la variable $X$. $Y$ toma un valor en $S$ siempre que $X$ toma un valor en $\phi ^{-1}(S)$, por lo que

    $P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$

cambiando de variable $x$ a $y$ obtenemos

    $P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$

combinando esto con la primera ecuación tendremos

    $\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$

por lo que

    $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

En el caso en el que $X$ y $Y$ dependan de varias variables no correlacionadas, es decir, $p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y $y=\phi (x)$, $p_{Y}$ puede ser hallada por sustitución en varias variables como se mencionó anteriormente, este resultado es

    $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$
