Teorema de Anderson-Kadec
# Teorema de Anderson-Kadec

En matemáticas, en las áreas de la topología y del análisis funcional, el teorema de Anderson-Kadec establece que, dos espacios de Banach separables de dimensión infinita cualesquiera, más generalmente, espacios de Fréchet, son homeomórficos como espacios topológicos. El teorema fue demostrado por Mikhail Kadec (1966) y Richard Davis Anderson.

## Enunciado

Todo espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita es homeomorfo a $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, el Producto cartesiano de muchas copias numerables de la recta real $\mathbb {R}$.

## Proposiciones preliminares

Norma de Kadec: Una norma $\|\,\cdot \,\|$ sobre un espacio lineal normado $X$ se denomina norma de Kadec con respecto a un subconjunto total $A\subseteq X^{*}$ del espacio dual $X^{*}$ si para cada secuencia $x_{n}\in X$ se cumple la siguiente condición:

* Si $\lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})$ para $x^{*}\in A$ y $\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,$ entonces $\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.$

Teorema de Eidelheit: Un espacio de Fréchet $E$ es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Teorema de renormación de Kadec: Todo espacio de Banach separable $X$ admite una norma de Kadec con respecto a un subconjunto total contable $A\subseteq X^{*}$ de $X^{*}.$ La nueva norma es equivalente a la norma original $\|\,\cdot \,\|$ de $X$. El conjunto $A$ puede tomarse como cualquier subconjunto contable denso en estrella débil de la bola unitaria de $X^{*}$

## Esquema de la demostración

En el argumento siguiente, $E$ denota un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita y $\simeq$ la relación de equivalencia topológica (existencia de homeomorfismo).

Un punto de partida de la prueba del teorema de Anderson-Kadec es la prueba de Kadec de que cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es homeomorfo a $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$.

A partir del teorema de Eidelheit, basta considerar espacios de Fréchet que no sean isomorfos a un espacio de Banach. En ese caso, tienen un cociente que es isomorfo a $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$. Un resultado de Bartle-Graves-Michael demuestra que entonces:

    $E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$

para algún espacio de Fréchet $Y$.

Por otro lado, $E$ es un subespacio cerrado de un producto infinito contable de espacios de Banach separables $X=∏_{n=1}^∞X_i{\textstyle$ X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}} de espacios de Banach separables. El mismo resultado de Bartle-Graves-Michael aplicado a $X$ da un homeomorfismo

    $X\simeq E\times Z$

para algún espacio de Fréchet $Z.$ Según el resultado de Kadec, el producto numerable de espacios de Banach separables de dimensión infinita $X$ es homeomorfo a $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$.

La demostración del teorema de Anderson-Kadec consiste en la secuencia de equivalencias

    ${\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}$
