Prueba de Shapiro-Wilk
# Prueba de Shapiro-Wilk

En estadística, la prueba de Shapiro–Wilk se usa para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hipótesis nula que una muestra $x_{1},\dots ,x_{n}$ proviene de una población normalmente distribuida. Fue publicado en 1965 por Samuel Shapiro y Martin Wilk. Se considera uno de las pruebas más potentes para el contraste de normalidad.

El estadístico de la prueba es:

    $W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

donde

* $x_{(i)}$ (con el subíndice $i$ entre paréntesis) es el número que ocupa la $i$-ésima posición en la muestra (con la muestra ordenada de menor a mayor);
* ${\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$ es la media muestral;
* las variables $a_{i}$ se calculan

       $(a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$
    donde
       $m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }\,$
    siendo $m_{1},\dots ,m_{n}$ los valores medios del estadístico ordenado, de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, muestreadas de distribuciones normales y $V$ denota la matriz de covarianzas de ese estadístico de orden.

La hipótesis nula se rechazará si $W$ es demasiado pequeño. El valor de $W$ puede oscilar entre 0 y 1.

Interpretación: Siendo la hipótesis nula que la población está distribuida normalmente, si el p-valor es menor a alfa (nivel de significancia) entonces la hipótesis nula es rechazada (se concluye que los datos no vienen de una distribución normal). Si el p-valor es mayor a alfa, se concluye que no se puede rechazar dicha hipótesis.

La normalidad se verifica confrontando dos estimadores alternativos de la varianza σ²:

* un estimador no paramétrico al numerador, y
* un estimador paramétrico (varianza muestral), al denominador.
