Primer ordinal no numerable
# Primer ordinal no numerable

En matemáticas, el primer ordinal no numerable, tradicionalmente denotado por $ω_1$ o en ocasiones por Ω, es el ordinal más pequeño que al ser considerado como conjunto, no es numerable. Es el supremo de todos los ordinales numerables. Los elementos de $ω_1$ son los ordinales numerables o finitos, de los cuales, no hay una cantidad numerable. El menor de todos los ordinales numerables, sería el primer ordinal infinito $ω_0$ (también escrito ω).

Como cualquier ordinal, según la definición de Von Neumann, $ω_1$ está bien ordenado, con la pertenencia (∈) como relación de orden. $ω_1$ es un ordinal límite, i.e no hay un ordinal α con $α+1=ω_1.$

La cardinalidad del conjunto $ω_1$ es el primer cardinal no numerable, es decir, alef uno $\aleph _{1}$. De hecho, en la mayoría de las construcciones $ω_1$ y $\aleph _{1}$ son el mismo conjunto.

Cabe señalar que la existencia de $ω_1$ se puede probar sin el axioma de elección (ver número de Hartogs.)

## Propiedades topológicas

Cualquier ordinal puede equiparse de una topología mediante la topología del orden. Cuando se trabaja como espacio topológico, $ω_1$ se denota comúnmente como $[0,ω_1)$ para enfatizar que es el espacio consistente de todos los ordinales menores que $ω_1.$

Toda ω-sucesión creciente de elementos de $[0,ω_1)$ converge a un límite en $[0,ω_1).$ Esto es debido a que la unión (i.e supremo) de todo conjunto contable de ordinales contables, es otro ordinal contable.

El espacio topológico $[0,ω_1)$ es secuencialmente compacto pero no compacto. En términos de axiomas de numerabilidad cumple el primer axioma de numerabilidad pero no es separable ni segundo numerable. Como consecuencia, no es metrizable.

EL espacio [0, $ω_1]$ = $ω_1$ + 1 es compacto pero no cumple el primer axioma de numerabilidad. $ω_1$ se usa para definir la recta larga, un importante contraejemplo en topología.

