Teorema de Weierstrass
# Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.

También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos.

## Teorema de Weierstrass

* Teorema de Weierstrass
* Si una función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ tales que $f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ para cualquier $x\in [a,b]$.
* Demostración del Teorema de Weierstrass
* Como $f([a,b])$ está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto $d_n$ en [a,b] tal que M – 1/n < $f(d_n).$ Esto genera una sucesión ${d_n}$ según vamos dando valores naturales a n. Como M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < $f(d_n)$ ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que ${f(d_n)}$ converge a M.
* Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {$d_{n_{k}}$}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Como f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f($d_{n_{k}}$)} converge a f(d). Pero ${f(d_{nk})}$ es una subsucesión de ${f(d_n)}$ que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.
* La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a esta. ∎

## Generalizaciones del teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass se puede generalizar a aplicaciones continuas entre espacio topológicos.

* Teorema de Weierstrass (generalización)
* Sean $(X,{\mathcal {T}}),(Y,{\mathcal {T}}')$ espacios topológicos y $f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {T}}')$ una aplicación continua.
* Si $(X,{\mathcal {T}})$ es compacto, entonces $f(X)\subseteq Y$ también es compacto.

Gracias al Teorema de Heine-Borel, se puede formular el teorema anterior para funciones continuas entre un espacio topológico y un espacio normado:

    Sea $(X,{\mathcal {T}})$ un espacio topológico, $K\subseteq X$ un conjunto compacto y $(V,||\cdot ||)$ un espacio vectorial normado.
    Si $f:K\to V$ es una aplicación continua, entonces existen $x_{1},x_{2}\in K$ tales que $||f(x_{1})||\leq ||f(x)||\leq ||f(x_{2})||$ para cualquier $x\in K$.

En concreto, si $V=\mathbb {R}$:

    Sea $(X,{\mathcal {T}})$ un espacio topológico y $K\subseteq X$ un conjunto compacto.
    Si $f:K\to \mathbb {R}$ es una función continua, entonces existen $x_{1},x_{2}\in K$ tales que $f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ para cualquier $x\in K$.
