Complemento de un conjunto
# Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

    $\mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}$
    $C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}$

A su vez, el conjunto P es el complementario de C. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: $P^∁$ = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

## Definición

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

* El complementario de A es otro conjunto $A^∁$ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:
* $x\in A^{\complement }{\text{ si y s}}{\acute {\text{o}}}{\text{lo si }}x\notin A$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:

* $A^{\complement }=U\setminus A$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

* $A\setminus B=A\cap B^{\complement }$

Ejemplo.

* El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
* Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
* El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).

## Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

* $U^{\complement }=\varnothing {\text{ , }}\varnothing ^{\complement }=U$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

* Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:
* $(A^{\complement })^{\complement }=A$
* La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
* $A\cup A^{\complement }=U$
* Un conjunto y su complementario son disjuntos:
* $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
* El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:
* $B\subseteq A\rightarrow A^{\complement }\subseteq B^{\complement }$

En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

* Leyes de De Morgan
* El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
* $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
* El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:
* $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

## Relación Complementaria

Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria ${\bar {R}}$ es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como

    ${\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.$

Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.

Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica

