Acción (matemática)
# Acción (matemática)

En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo $(G,*)$ sobre un conjunto $X$ es una aplicación $\phi :G\times X\to X$ que cumple las dos condiciones siguientes:

* $\forall x\in X:\ \phi (e,x)=x$, donde $e$ es el elemento neutro del grupo.
* $\forall x\in X:\,g,h\in G,\ \phi (g*h,x)=\phi (g,\phi (h,x))$.

En tal caso se dice que el grupo $G$ actúa sobre $X$, y que el conjunto $X$ es un $G$-conjunto.

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento $g$ de $G$, la aplicación $\phi _{g}=\phi (g,\cdot ):X\to X$ es una función biyectiva definida sobre $X$. En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo $G$ y el grupo $S_{X}$

    $\theta :G\to S_{X}\ :g\mapsto \phi _{g}$.

donde $S_{X}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de $X$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de $X$. Se dice que el homomorfismo $\theta$ es una representación del grupo $G$ por permutación.

## Notación alternativa

Otra notación utilizada para las acciones es $(g,x)\mapsto g\cdot x$. Así los axiomas de acción se reescriben:

* $e\cdot x=x$.
* $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$.

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto $X$, para no causar confusión con los elementos del grupo $G$.

## Ejemplos

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier $g\in G$ y $x\in X$, $\phi (g,x)=x$. Cuando la acción es trivial, cada biyección $\phi _{g}$ es la aplicación identidad del conjunto $X$, que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$ actúa sobre el plano complejo $\mathbb {C}$ de la siguiente manera:

* $\phi (0,z)=z$.
* $\phi (1,z)=wz$.
* $\phi (2,z)=w^{2}z$.

donde $w$ es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz $w=1$ la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que $X$ es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

## El núcleo de la acción y los puntos fijos

Se define el núcleo de una acción $\phi :G\times X\to X$ como el conjunto de todos los elementos del grupo $G$ que actúan trivialmente sobre todo punto de $X$:

       $ker\ \phi =\{g\in G\ |\ g\cdot x=x,\ \forall x\in X\}$.

Para cada elemento $g$ del núcleo, la biyección asociada $\phi _{g}$ es la identidad de $X$. Es por tanto el núcleo del homomorfismo $\theta :G\to S(X)$, y como tal es un subgrupo normal del $G$.

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de $X$ sobre los que todos los elemento de $G$ actúan trivialmente, es decir:

       $x\in X$ es un punto fijo si $g\cdot x=x$ para todo $g\in G$.

## Estabilizador y órbita de un punto

Para cada elemento $x$ de un conjunto $X$ sobre el que actúa un grupo $G$, podemos definir dos subconjuntos de interés.

### Subgrupos estabilizadores

El estabilizador de un punto $x\in X$ se compone de todos los elementos de $G$ que actúan trivialmente sobre $x$

       $G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\subset G$.

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo $x$. En consecuencia, cuando $x$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: $G_{x}=G$. El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de $X$:

       $ker\ \phi =\cap _{x\in X}\ G_{x}$.

$G_{x}$ es un subgrupo de $G$, no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de $x$.

### Órbitas de la acción

La órbita de $x$ se compone de todos los elementos de $X$ que son imagen de $x$ por la acción de algún elemento de $G$:

       $O_{x}=\{y\in X\ |\ \exists g\in G:\ g\cdot x=y\}\subset X$.

La órbita de $x$ contiene a los elementos del conjunto $X$ que se alcanzan desde $x$ por la acción de $G$. Cuando $x$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio $x$, esto es: $O_{x}=\{x\}$, y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de $G$ forman una partición del conjunto $X$, lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

### Relación entre órbitas y estabilizadores

Dado un punto arbitrario $x\in X$, existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en $G$ de su estabilizador $G_{x}$, es decir

       $O_{x}\leftrightarrow G/G_{x}$.

En particular, si $G_{x}$ es un subgrupo de índice finito en $G$, la órbita de $x$ es un conjunto finito y su cardinalidad es

       $|O_{x}|=[G:G_{x}]$.

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

       Si $y\in O_{x}$ entonces $G_{y}=gG_{x}g^{-1}\,$, donde $\ g\cdot x=y$.

Lo anterior se deriva de que si $h$ es un elemento que deja fijo el punto $x$, entonces

       $ghg^{-1}\cdot y=gh\cdot x=g\cdot x=y$.

## Tipos de acciones

* Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto $X$, si dados dos elementos $x$ e $y$ cualesquiera de $X$, existe un elemento $g$ del grupo que aplica $x$ en $y$, es decir:

       $\forall x,y\in X\ \implies \ \exists g\in G:\phi (g,x)=y$.
    Cuando la acción de un grupo $G$ es transitiva sobre un espacio topológico $X$ decimos que éste es un espacio homogéneo para el grupo $G$.
* Una acción se llama n-transitiva si dadas dos $n$-tuplas de elementos del conjunto $X$, $\langle x_{1},...,x_{n}\rangle$ e $\langle y_{1},...,y_{n}\rangle$ diferentes dos a dos (esto es, $x_{i}\neq x_{j}$ e $y_{i}\neq y_{j}$ para todo $i\neq j$), existe un elemento $g$ del grupo que aplica $x_{i}$ en $y_{i}$ para cada $i=1,...,n$. Las acciones 2-transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas triplemente transitivas, etc.
* Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto $x\in X$, el estabilizador $G_{x}$ actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre $X\setminus \{x\}$).
* Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento identidad de $G$ es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de $X$. Esta condición es equivalente a que el homomorfismo $\theta :G\to S_{X}$ sea inyectivo, y por tanto cada biyección $\phi _{g}$ sea distinta.
* Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de $G$ con puntos fijos es la identidad, es decir

       $\exists x\in X:g\cdot x=x\implies g=1_{G}$ (donde $1_{G}$ denota la identidad de $G$).

## Acción de un grupo sobre sí mismo

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo $G$ es el propio grupo, es decir $X=G$, decimos que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

### Acción por multiplicación

Todo grupo $G$ actúa sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por

       $\varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto gh$ (respectivamente $(g,h)\mapsto hg$).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo $G$. Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo $G$ es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

       $\theta :G\to S_{G}$

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si $G$ es finito de orden $n$, entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, $S_{n}$. Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.

### Acción por conjugación

Por otro lado, todo grupo $G$ actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por

       $\varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto ghg^{-1}$.

El estabilizador de cada punto $g$ está formado por los elementos de $G$ que conmutan con $g$, es decir, el centralizador de $g$:

       $G_{x}=C_{G}(x)$

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

       $\forall g,\ h\in G:\ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h$.

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por $Z(G)$) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento $g$ solo contiene a ese elemento entonces $g$ pertenece al centro de $G$, esto es:

       $x\in Z(G)\iff O_{x}=\{x\}$.

### Ecuación de clases

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

          $G=\bigcup _{i\in I}{\mathcal {K}}_{i}$

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación ${\mathcal {K}}_{i}$. En consecuencia

          $|G|=\sum _{i\in I}|{\mathcal {K}}_{i}|$

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

* De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
* Para el resto de clases de conjugación, si $g_{i}$ es un representante de la clase ${\mathcal {K}}_{i}$ se tiene que

       ${\mathcal {K}}_{i}=O_{g_{i}}\implies |{\mathcal {K}}_{i}|=[G:G_{g_{i}}]=[G:C_{G}(g_{i})]$.

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de $G$:

          $|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}[G:C_{G}(g_{i})]$

donde $g_{1},...,g_{r}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de $G$. La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

