Cono dual y cono polar
# Cono dual y cono polar

El cono dual y el cono polar son conceptos estrechamente relacionados en el análisis de convexidad, una rama de matemáticas.

## Cono dual

### En un espacio vectorial

El cono dual $C^*$ de un subconjunto C en un espacio vectorial X sobre los números reales, como por ejemplo el espacio euclídeo $R^n,$ siendo su espacio dual $X^*$ el conjunto

    $C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

donde $\langle y,x\rangle$ es la dualidad pareada entre X y $X^*,$ es decir, $\langle y,x\rangle =y(x)$.

$C^*$ es siempre un cono convexo, incluso si C no es ni convexo ni un cono.

### En un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico sobre números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en ' 'X:

    $C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{for all }}x\in C\right\}$,

que es el polar del conjunto -C. No importa qué sea "C", $C^{\prime }$ será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces $C^{\prime }=X^{\prime }$.

### En un espacio de Hilbert (cono dual interno)

Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un Espacio de Hilbert real (como $R^n$ equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se llama el cono dual interno.

    $C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Usando esta última definición para $C^*,$ tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades:

* Un vector y distinto de cero está en $C^*$ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
* y es un normal en el origen de un hiperplano que supports C.
* y y C se encuentran en el mismo lado del hiperplano de soporte.
* $C^*$ es closed y convexo.
* $C_{1}\subseteq C_{2}$ implica $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$.
* Si C tiene un interior no vacío, entonces $C^*$ es puntiagudo, es decir, C* no contiene ninguna línea en su totalidad.
* Si C es un cono y el cierre de C es puntiagudo, entonces $C^*$ tiene un interior no vacío.
* $C^{**}$ es el cierre del cono convexo más pequeño que contiene C (una consecuencia de teorema del hiperplano de separación)

## Conos duales

Se dice que un cono C en un espacio vectorial X es autodual si X puede equiparse con un espacio prehilbertiano ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno es igual a C. Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en $R^n$ con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno se puede cambiar para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en $R^n$ es igual a su dual interno.

El ortante no negativo de $R^n$ y el espacio de todos los positive semidefinite matrices son autoduales, al igual que los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). "). También lo son todos los conos en $R^3$ cuya base es la cáscara convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos habitual es el cono de $'R^3$ cuya base es la "casa": el casco convexo de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forman un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.

## Cono polar

Para un conjunto C en X, el cono polar de C es el conjunto

    $C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Se puede ver que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir, Co = $−C^*.$

Para un cono convexo cerrado C en X, el cono polar es equivalente al polar set para C.

