Conjetura de Firoozbakht
# Conjetura de Firoozbakht

En teoría de números, la conjetura de Firoozbakht es una proposición sobre la distribución de los números primos. Lleva el nombre del matemático iraní de la Universidad de Isfahán Farideh Firoozbakht, quien la publicó en 1982.

La conjetura establece que $p_{n}^{1/n}$ (donde $p_{n}$ es el n-ésimo número primo) es una función estrictamente decreciente de n, es decir,

    ${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ para todo }}n\geq 1.$

Equivalentemente:

    $p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ para todo }}n\geq 1,$

véase A182134 y A246782.

Usando una tabla de diferencias máximas, Farideh Firoozbakht verificó su conjetura hasta $4.444×10^{12}.$ Ahora, con tablas más extensas de diferencias máximas, la conjetura se ha verificado para todos los números primos por debajo de $2^{64}≈$ $1,84×10^{19}.$

Si la conjetura fuera cierta, entonces la función diferencia entre dos números primos consecutivos $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ cumpliría:

    $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ para todo }}n>4.$

Es más:

    $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ para todo }}n>9,$

véase también A111943. Este es uno de los límites superiores más fuertes conjeturados para las diferencias entre primos consecutivos, incluso algo más fuertes que las conjeturas de Cramér y Shanks. Implica una forma fuerte de la conjetura de Cramér y por lo tanto es inconsistente con las heurísticas de Granville y Pintz y de Maier que sugieren que

    $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},$

ocurre infinitamente a menudo para cualquier $\varepsilon >0,$ donde $\gamma$ denota la constante de Euler-Mascheroni.

Dos conjeturas relacionadas (véanse los comentarios en A182514) son

    $\left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,$

que es más débil y

    $\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ para todo }}n>5,$

que es más fuerte.

