Orden monomial
# Orden monomial

En Álgebra, un orden monomial u orden admisible es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.

## Definición

Sea $R$ un anillo conmutativo y $S:=\{x_{1},...,x_{n}\}$ un conjunto de indeterminadas. Sea ${\mathcal {M}}$ el conjunto de monomios sobre $S$ (como es habitual, denotamos por $X$ al monomio $x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}$, y dado el multiíndice $\alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$, denotarmos por $X^{\alpha }$ al monomio $x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}$; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:

* < es un orden total en ${\mathcal {M}}$.
* Dados $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {N} ^{n}$ de manera que $X^{\alpha }<X^{\beta }$, entonces se cumle que $X^{\alpha }X^{\gamma }<X^{\beta }X^{\gamma }$.

En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en ${\mathcal {M}}$. Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de órdenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.

### Orden monomial global

Un orden monomial < sobre ${\mathcal {M}}$ se dice que:

* es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);
* es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, $1<x_{i}$ cualquiera que sea el $i\in \{1,...,n\}$;
* refina el orden parcial definido por la división si se cumple que $X^{\alpha }<X^{\beta }$ si $X^{\alpha }$ divide a $X^{\beta }$.

El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.

### Orden monomial local

Un orden monomial < sobre ${\mathcal {M}}$ se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si $x_{i}<1$ cualquiera que sea el $i\in \{1,...,n\}$.

