ISO 31-11
# ISO 31-11

ISO 31-11:1992 fue la parte del estándar internacional ISO 31 que define signos y símbolos matemáticos para su uso en ciencias físicas y tecnología. Fue reemplazado en 2009 por el ISO 80000-2:2009 y posteriormente revisado en 2019 como ISO-80000-2:2019.

Sus definiciones incluyen las siguientes:

## Lógica matemática

| Signo | Ejemplo | Nombre | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - | - | - |
| ∧ | p ∧ q | signo deconjunción | p y q | |
| ∨ | p ∨ q | signo de disyunción | p o q (o ambos) | |
| ¬ | ¬p | signo de negación | negación de p; no p; excepto p | |
| ⇒ | p ⇒ q | signo de implicación | si p entonces q; p implica q | También se puede escribir como q ⇐ p. A veces se utiliza →. |
| ∀ | ∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x) | cuantificador universal | para cada x perteneciente a A, la proposición p(x) es verdadera | El «∈A» se puede eliminar cuando A queda claro por el contexto. |
| ∃ | ∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x) | cuantificador existencial | existe una x perteneciente a A para la cual la proposición p(x) es verdadera | El «∈A» se puede eliminar cuando A queda claro por el contexto. ∃! se utiliza donde existe exactamente una x para la cual p(x) es verdadera. |

## Conjuntos

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| x ∈ A | x pertenece a A; x es un elemento del conjunto de A | |
| x ∉ A | x no pertenece a A; x no es un elemento del conjunto de A | La barra de negación puede ser vertical. |
| A ∋ x | el conjunto de A contiene x (como elemento) | mismo significado que x ∈ A |
| A ∌ x | el conjunto de A no contiene x (como elemento) | mismo significado que x ∉ A |
| ${x_1,$ $x_2,$ ..., $x_n}$ | conjunto con elementos $x_1,$ $x_2,$ ..., $x_n$ | también ${x_i$ | i ∈ I}, donde I denota un conjunto |
| {x ∈ A | p(x)} | conjunto de los elementos de A para los que la proposición p(x) es verdadera | Ejemplo: {x ∈ $\mathbb {R}$ | x > 5} ∈A se puede eliminar cuando este conjunto queda claro por el contexto. |
| card(A) | número de elementos en A; cardinal de A | |
| A ∖ B | diferencia entre A y B; A menos B | El conjunto de elementos que pertenece a A pero no a B. A ∖ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B } A − B también sería válido. |
| | el conjunto vacío | |
| | el conjunto de números naturales; el conjunto de números positivos y el cero. | $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, ...} La exclusión del cero se muestra con un asterisco:$\mathbb {N}$$^*$ = {1, 2, 3, ...} $\mathbb {N}$$_k$ = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1} |
| | el conjunto de integers | $\mathbb {Z}$ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} $\mathbb {Z}$$^*$ = $\mathbb {Z}$ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} |
| | el conjunto de números racionales | $\mathbb {Q}$$^*$ = $\mathbb {Q}$ ∖ {0} |
| | el conjunto de números reales | $\mathbb {R}$$^*$ = $\mathbb {R}$ ∖ {0} |
| | el conjunto de números complejos | $\mathbb {C}$$^*$ = $\mathbb {C}$ ∖ {0} |
| [a,b] | intervalo cerrado en $\mathbb {R}$ de a (incluido) a b (incluido) | [a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ | a ≤ x ≤ b} |
| ]a,b] (a,b] | mitad izquierda de intervalo abierta en $\mathbb {R}$ de a (excluida) a b (incluida) | ]a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ | a < x ≤ b} |
| [a,b[ [a,b) | mitad izquierda de intervalo abierta en $\mathbb {R}$ de a (incluida) a b (excluida) | [a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ | a ≤ x < b} |
| ]a,b[ (a,b) | intervalo abierto en $\mathbb {R}$ de a (excluida) a b (excluida) | ]a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ | a < x < b} |
| B ⊆ A | B se incluye en A; B es un subconjunto de A | Todo elemento de B pertenece a A. ⊂ también se usa. |
| B ⊂ A | B se incluye en A; B es un subconjunto A | Todo elemento de B pertenece a A, pero B no es igual a A. Si ⊂ se usa para «incluido», entonces ⊊ indicaría «incluido adecuadamente». |
| C ⊈ A | C no se incluye en A; C no es un subconjunto de A | También se usa ⊄. |
| A ⊇ B | A incluye B (como subconjunto) | A contiene cada elemento de B. También se usa ⊃. B ⊆ A es lo mismo que A ⊇ B. |
| A ⊃ B. | A incluye B adecuadamente. | A contiene cada elemento de B, pero A no es igual a B. Si ⊃ se usa para «incluir», ⊋ se usaría para «incluir adecuadamente». |
| A ⊉ C | A no incluye C (como conjunto) | También se usa ⊅. A ⊉ C significa lo mismo que C ⊈ A. |
| A ∪ B | unión de A y B | El conjunto de elementos que pertenece a A o B o ambas A y B. A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } |
| $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ | unión de varios conjuntos | $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$, el conjunto de elementos que pertenece a almenos uno de los conjuntos $A_1,$ ..., $A_n.$ $\bigcup_{i=1}^{n}$ y $\bigcup _{i\in I}$, $\bigcup_{i\in I}$ también se usan, donde «I» indica un conjunto de indicios. |
| A ∩ B | intersección de A y B | Conjunto de elementos que pertenecen a A y B. A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } |
| $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ | intersección de varios conjuntos | $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$, el conjunto de elementos perteneciente a todos los conjuntos $A_1,$ ..., $A_n.$ $\bigcap_{i=1}^{n}$ y $\bigcap _{i\in I}$, $\bigcap_{i\in I}$ también se puede usar, donde «I» denota un conjunto de indicios. |
| $∁_AB$ | complemento del subconjunto B de A | El conjunto de los elementos de A que no pertenecen al subconjunto B. El símbolo A está limitad a veces si el conjunto A está libre de contexto. Además $∁_AB$ = A ∖ B. |
| (a, b) | pareja ordenada a, b; pareja a, b | (a, b) = (c, d) si, y solo si, a = c y b = d. ⟨a, b⟩ también se usa. |
| $(a_1,$ $a_2,$ ..., $a_n)$ | n-tupla ordenada | También se usa $⟨a_1,$ $a_2,$ ..., $a_n⟩.$ |
| A × B | producto cartesiano de A y B | El conjunto de parejas ordenadas (a, b) como a ∈ A y b ∈ B. A × B = { (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A se representa con $A^n,$ donde n es el número de factores del producto. |
| $Δ_A$ | conjunto de parejas (a, a) ∈ A × A donde a ∈ A; diagonal del conjunto A × A | $Δ_A$ = { (a, a) | a ∈ A } $id_A$ también se usa. |

## Signos y símbolos varios

| Signo | Signo | Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - | - | - |
| HTML | TeX | Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| ≝ | ${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$ | a ≝ b | a es por definición igual a b | := también se usa. |
| = | $=$ | a = b | a es igual a b | ≡ se puede usar para enfatizar que una igualdad particular es una identidad. |
| ≠ | $\neq$ | a ≠ b | a no es igual a b | $a\not \equiv b$ se puede usar para enfatizar que a no es igual a b. |
| ≙ | ${\stackrel {\wedge }{=}}$ | a ≙ b | a corresponde con b | En un mapa de escala $1:10^6:$ 1 cm ≙ 10 km. |
| ≈ | $\approx$ | a ≈ b | a es aproximadamente igual a b | El símbolo ≃ se reserva para «es asintomáticamente igual a ». |
| ∼ ∝ | ${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$ | a ∼ b a ∝ b | a es proporcional a b | |
| < | Plantilla:Tmath | a < b | a es menor que b | |
| > | Plantilla:Tmath | a > b | a es mayor que b | |
| ≤ | $\leq$ | a ≤ b | a es menor o igual que b | También se usa el símbolo ≦. |
| ≥ | $\geq$ | a ≥ b | a es mayor o igual que b | También se usa el símbolo ≧. |
| ≪ | $\ll$ | a ≪ b | a es mucho menor que b | |
| ≫ | $\gg$ | a ≫ b | a es mucho mayor que b | |
| ∞ | $\infty$ | | infinito | |
| ⟨⟩ | ${\begin{matrix}\\{}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}$ | ${\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}$ | ac + bc, paréntesis ac + bc, corchetes ac + bc, llaves ac + bc, paréntesis triangulares | En álgebra, la secuencia $,,\{\},\langle \rangle$ no está estandarizada. Los usos especiales de $,,\{\},\langle \rangle$ se dan en campos particulares. |
| ∥ | $\|$ | AB ∥ CD | la línea AB es paralela con CD. | |
| ⊥ | $\perp$ | AB ⊥ CD | la línea AB es perpendicular con CD. | |

## Operaciones

| Signo | Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - | - |
| + | a + b | a más b | |
| − | a - b | a menos b | |
| ± | a ± b | a más o menos b | |
| ∓ | a ∓ b | a menos o más b | −( a ± b ) = −a ∓ b |

## Funciones

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| f : D → C | la función f tiene dominio D y codominio C | Se utiliza para definir explícitamente el dominio y el codominio de una función. |
| f (S) | { f ( x ) | x∈S } | Conjunto de todas las salidas posibles en el codominio cuando se dan entradas de S, un subconjunto del dominio de f . |

## Funciones exponenciales y logarítmicas

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| e | base de logaritmos naturales | e = 2,718·28... |
| $e^x$ | función exponencial en base e de x | |
| $log_ax$ | logaritmo en base a de x | |
| lb x | logaritmo binario (en base 2) de x | lb x = $log_2x$ |
| ln x | logaritmo natural (en base e) de x | ln x = $log_ex$ |
| lg x | logaritmo común (en base 10) de x | lg x = $log_{10}x$ |

## Funciones circulares e hiperbólicas

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| π | relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. | π = 3.141 59... |

## Números complejos

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| i, j | unidad imaginaria; $i^2$ = −1 | En electrotecnología, generalmente se utiliza j. |
| Re z | parte real de z | z = x + iy, donde x = Re z e y = Im z |
| Im z | parte imaginaria de z | z = x + iy, donde x = Re z e y = Im z |
| | z | | valor absoluto de z; módulo de z | También se utiliza «mod z». |
| arg z | argumento de z; fase de z | z = $re^{iφ},$ donde r = | z | y φ = arg z, es decir, Re z = r cos φ y Im z = r sin φ |
| z * | (complejo) conjugado de z | a veces se usa una barra encima de z en lugar de z $^*$ |
| sgn z | función signo z | sgn z = z / | z | = exp(i arg z) para z ≠ 0, sgn 0 = 0 |

## Matrices

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| A | matriz A | |

## Sistemas coordinados

| Coordenadas | Vector de posición y su diferencial | Nombre del sistema de coordenadas | Observaciones |
| - | - | - | - |
| x, y, z | [x y z ]; [dx dy dz] | cartesiano | También se utilizan $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ para las coordenadas y $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ para los vectores base. Esta notación se generaliza fácilmente al espacio n-dimensional. $e_x,$ $e_y,$ $e_z$ forman un sistema ortonormal diestro. Para los vectores base, también se utilizan i, j, k. |
| ρ, φ, z | [x, y, z] = [ρ cos(φ), ρ sin(φ), z] | cilíndrico | $e_ρ$ (φ), $e_φ$ (φ), $e_z$ forman un sistema ortonormal diestro. Si z = 0, entonces ρ y φ son las coordenadas polares. |
| r, θ, φ | [x, y, z] = r[sin(θ)cos(φ), sin(θ)sin(φ), cos(θ)] | esférico | $e_r$ (θ, φ), $e_θ$ (θ, φ), $e_φ$ (φ) forman un sistema ortonormal diestro. |

## Vectores y tensores

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| a ${\vec {a}}$ | vector a | En lugar de negrita y cursiva, los vectores también se pueden indicar mediante una flecha encima del símbolo de la letra. Cualquier vector a puede multiplicarse por un escalar k, es decir k a. |

## Funciones especiales

| Ejemplo | Significado y equivalente verbal | Observaciones |
| - | - | - |
| $J_l(x)$ | Funciones cilíndricas de Bessel (del primer tipo) | ... |
