Apaciguador (matemáticas)
# Apaciguador (matemáticas)

En matemáticas, una función calmante (nombre en inglés: mollifier), también conocida como aproximación a la identidad, son funciones suaves con propiedades especiales, que se utilizan, por ejemplo, en la teoría de distribuciones para crear sucesiones de funciones suaves que se aproximan a funciones (generalizadas) no suaves, mediante convolución. Intuitivamente, dada una función que sea bastante irregular, puede "apaciguarse" al convolucionarla con un calmante, es decir, se obtiene una función con los rasgos angulosos suavizados, pero sin dejar de permanecer cerca de la función (generalizada) original no suave.

También se las conoce como apaciguadores de Friedrichs en referencia a Kurt Otto Friedrichs, quien ideó este tipo de funciones.

## Notas históricas

Kurt Otto Friedrichs introdujo los apaciguadores en su artículo (Friedrichs, 1944, pp. 136–139), que se considera un hito en la teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales. El nombre de este objeto matemático tuvo una génesis curiosa, y Peter Lax cuenta toda la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en la "Selecta" de Friedrichs. Según él, en aquella época, el matemático Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs: como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió consejo a Flanders sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba utilizando. Flanders era un puritano, apodado por sus amigos Moll en honor a Moll Flanders en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático "apaciguador" como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo to mollify, que significa 'suavizar' en sentido figurado.

Anteriormente, Serguéi Sóbolev usó apaciguadores en su artículo de época de 1938,, que contiene la prueba del teorema de embebido de Sobolev: el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre los apaciguadores, afirmando que: - "Estos apaciguadores fueron introducidos por Sobolev y el autor..." .

Cabe señalar que el término apaciguador ha pasado a ser una deriva lingüística desde la época de estos trabajos fundacionales: Friedrichs definió como "apaciguador" al operador integral cuyo núcleo es una de las funciones hoy llamadas apaciguadores. Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el núcleo mismo heredó el nombre de apaciguador como resultado de su uso común.

## Definición

### Definición moderna (basada en la teoría de la distribución)

Definition 1. Si $\varphi$ es una función suave en $ℝ^n,$ n ≥ 1, que satisface los siguientes tres requisitos

    (1) es compactamente soportada
    (2) $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1$
    (3) $\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)$

donde $\delta (x)$ es la delta de Dirac y el límite debe entenderse en el espacio de distribuciones de Schwartz, entonces $\varphi$ es un apaciguador. La función $\varphi$ también podría satisfacer otras condiciones: por ejemplo, si satisface

    (4) $\varphi$$(x)$ ≥ 0 para todo x ∈ $ℝ^n,$ entonces se llama apaciguador positivo
    (5) $\varphi$$(x)$=$\mu$$(|x|)$ para algunas funciones suaves $\mu$ : $ℝ^+$ → ℝ, entonces se llama apaciguador simétrico

### Notas sobre la definición de Friedrichs

Nota 1. Cuando la teoría de distribuciones todavía no era ampliamente conocida ni utilizada, la propiedad anterior de (3) se formuló diciendo que la convolución de la función $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$ con una función dada perteneciente a un espacio de Hilbert propio o a un espacio de Banach converge como ε → 0 a esa función: esto es exactamente lo que hizo Friedrichs. Esto también aclara por qué los apaciguadores están relacionados con las identidades aproximadas.

Nota 2. Como se señaló brevemente en la sección de "Notas históricas" de esta entrada, originalmente, el término "apaciguador" identificaba el siguiente convolution operator:

    $\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

donde $\varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ y $\varphi$ es un función infinitamente diferenciable que satisface las tres primeras condiciones indicadas anteriormente y una o más condiciones suplementarias como positividad y simetría.

## Ejemplo concreto

Considere el función bulto $\varphi$$(x)$ de un variable en $ℝ^n$ definido por

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}$

donde la constante numérica $I_{n}$ asegura la normalización. Esta función es infinitely differentiable, non analytic y derivada desaparece para |x| = 1. Por lo tanto, $\varphi$ puede utilizarse como apaciguador como se describe anteriormente: se puede ver que $\varphi$$(x)$ define un apaciguador positivo y simétrico.

## Propiedades

Todas las propiedades de un apaciguador están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de convolución: enumeramos las siguientes, cuyas pruebas se pueden encontrar en cada texto sobre distribution theory.

### Propiedad de suavizado

Para cualquier distribución $T$, la siguiente familia de convoluciones indexadas por número real $\epsilon$

    $T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }$

donde $\ast$ denota convolución, es una familia de función infinitamente diferenciable.

### Aproximación de identidad

Para cualquier distribución $T$, la siguiente familia de convoluciones indexadas por número real $\epsilon$ converge a $T$

    $\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$

### Soporte de convolución

Para cualquier distribución $T$,

    $\operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }$,

donde $\operatorname {supp}$ indica support en el sentido de distribuciones y $+$ indica su Suma de Minkowski.

## Aplicaciones

La aplicación básica de los apaciguadores es demostrar que las propiedades válidas para función infinitamente diferenciable también lo son en situaciones no fluidas:

### Producto de distribuciones

En algunas teorías de generalized function, se utilizan apaciguadores para definir el multiplication of distributions: precisamente, dadas dos distribuciones $S$ y $T$, el límite del product de un función infinitamente diferenciable y un distribution

    $\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T$

define (si existe) su producto en varias funciones generalizadas.

### Teoremas "débil = fuerte"

De manera muy informal, los apaciguadores se utilizan para demostrar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y el weak extension. El artículo (Friedrichs, 1944) ilustra bastante bien este concepto: sin embargo, la gran cantidad de detalles técnicos necesarios para mostrar lo que esto realmente significa impiden que se detallen formalmente en esta breve descripción.

### Funciones de corte suaves

Por convolución del characteristic function del 1-esfera $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ con el función infinitamente diferenciable $\varphi _{1/2}$ (definido como en (3) con $\epsilon =1/2$), se obtiene la función

    $\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})$

que es un función infinitamente diferenciable igual a $1$ en $B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}$, con soporte contenido en $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$. Esto se puede ver fácilmente observando que si $|x|$ ≤ $1/2$ y $|y|$ ≤ $1/2$ entonces $|x-y|$ ≤ $1$. Por tanto, para $|x|$ ≤ $1/2$,

    $\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1$.

Se puede ver cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a uno en un neighbourhood de un espacio compacto dado, e igual a cero en cada punto cuyo distancia de este conjunto sea mayor que un $\epsilon$ dado. Esta función se llama función de corte (suave): esas functions se utilizan para eliminar singularidades de un (generalized) function dado por multiplicación. Dejan sin cambios el valor del (generalized) function y lo multiplican solo sobre un set dado, modificando así su support: también las funciones de corte son las partes básicas de smooth partitions of unity.

