Curva de Viviani
# Curva de Viviani

La curva de Viviani o ventana de Viviani es la curva algebraica cerrada (definida en el espacio tridimensional) generada a partir de la intersección entre la esfera centrada en el origen y de radio R y el cilindro de eje $x=R,y=0$ y de radio $R/2$. Es un caso particular de curva clelia.

## Origen histórico

Vincenzo Viviani propuso en 1692 el problema de arquitectura siguiente:

John Wallis, Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli estudiaron de forma natural el caso simple de ventanas circulares, y tuvieron que estudiar la curva intersección del cilindro y del hemisferio, dando a esta curva el nombre de «ventana de Viviani».

## Ecuaciones de la curva de Viviani

Se tienen las representaciones siguientes (para una esfera de radio R):

    Sistema de coordenadas cartesianas:
       $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$
       $(x-R/2)^{2}+y^{2}=(R/2)^{2}$
    Parametrización cartesiana:
       $x=R\cos ^{2}u$
       $y=R\cos u\sin u$
       $z=R\sin u$
    también equivalente a: (con $u=t/2$)
       $x=(R/2)(1+\cos t)$
       $y=(R/2)\sin t$
       $z=R\sin(t/2)$

Su longitud coincide con la de una elipse de semiejes $(R)$ y $(R{\sqrt {2}})$ ; calculable mediante una integral elíptica.

El valor aproximado es de $L\approx 7,64R$

## Aplicaciones

El arquitecto Paul Andreu diseñó la cúpula del Museo marítimo de Osaka, disponiendo las nervaduras según una red de curvas de Viviani paralelas.

