Regla del producto (cálculo)
# Regla del producto (cálculo)

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

    $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,$

o usando la notación de Leibniz:

    ${d \over dx}(u\cdot v)=u\;{dv \over dx}+v\;{du \over dx}$

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

## Demostración

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

    $f(x)=g(x)h(x)\,$

con $g$ y $h$ continuas y diferenciables en la variable $x$ entonces

    ${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g\cdot h)(x+\Delta x)-(g\cdot h)(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}\end{aligned}}$

Como

    $g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x),$

se tiene

    ${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}$

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

    $f'(x)=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]$

Como $h$ es continua en $x$ se tiene

    $\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)$

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de $h$ y $g$ en $x$ se tiene también que

    $h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\qquad \qquad {\text{y}}\qquad \qquad g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

Por lo tanto

    $f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,$

## Ejemplo

Suponiendo que se quiere derivar:

    $f(x)=x^{2}\operatorname {sen}(x)$

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

    $f'(x)=2x\operatorname {sen}(x)+x^{2}\cos(x)$

## Generalizaciones

### Producto de dos o más factores

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

    ${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}$

Para una colección de funciones $f_{1},\dots ,f_{k}$ tenemos

    ${\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x){\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)=\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}$

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

### Derivadas de orden superior

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la $n$-ésima derivada del producto de dos factores.

Sean $f$ y $g$ funciones $n$ veces diferenciables. La $n$-ésima derivada del producto $f\cdot g$ viene dada por:

    $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

donde

    ${n \choose k}$

es llamado coeficiente binomial.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la $n$-ésima derivada de un número arbitrario de factores

    $\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{\binom {n}{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}$

### Espacio de Banach

Supóngase que $X$, $Y$ y $Z$ son espacios de Banach y $B:X\times Y\to Z$ es un operador bi lineal continuo, entonces $B$ es diferenciable y su derivada en el punto $(x,y)$ en $X\times Y$ es el mapeo lineal $D_{(x,y)}B:X\times Y\to Z$ dado por

    $\left(D_{(x,y)}B\right)(u,v)=B(u,y)+B(x,v)\quad \forall \;(u,v)\in X\times Y$

### En cálculo vectorial

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar: $(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$

Para producto vectorial: $(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '$

