Integral trigonométrica cardinal
# Integral trigonométrica cardinal

En matemáticas, las funciones integrales trigonométricas cardinales son una familia de integrales no elementales que involucran funciones trigonométricas cardinales (aquellas que consisten en dividir una función trigonométrica en una variable, por la propia variable).

## Integral senoidal

Las diferentes definiciones de la integral seno son:

    $\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt$
    $\operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.$

Téngase en cuenta que el integrando ${\frac {\sin(t)}{t}}$ es el seno cardinal, y también la función de Bessel esférica de orden cero. Dado que sinc es una función completa par (función holomorfa en todo el plano complejo), Si es entera, impar y para la integral de su definición se puede tomar cualquier recorrido que conecte los puntos extremos.

Por definición, Si(x) es la primitiva de sin x / x cuyo valor es cero en x= 0, y si(x) es la primitiva cuyo valor es cero en x= ∞. Su diferencia está dada por la integral de Dirichlet,

    $\operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ o }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.$

En procesamiento de señales, las oscilaciones de la integral sinusoidal provocan sobrepasos y artefactos de anillo cuando se usa un filtro Sinc, y el dominio de la frecuencia resuena si se usa un filtro sinc truncado como filtro de paso bajo.

La función está relacionada con el fenómeno de Gibbs: si se considera la integral seno como la convolución de la función sinc con la función escalón de Heaviside, esto corresponde a truncar la serie de Fourier, que es la causa del fenómeno de Gibbs.

## Integral cosenoidal

Las diferentes definiciones de la integral cosenoidal son:

    $\operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,$
    $\operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ para }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,$

donde γ ≈ 0.57721566 ... es el Constante de Euler-Mascheroni. Algunos textos utilizan ci en lugar de Ci.

Ci(x) es la primitiva de cos x / x (que se anula cuando $x\to \infty$). Las dos definiciones están relacionadas por

    $\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.$

Cin es una función completa par. Por esta razón, algunos textos tratan a Cin como la función principal y deducen Ci a partir de Cin.

## Integral seno hiperbólico

La integral seno hiperbólico se define como:

    $\operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.$

Está relacionada con la integral seno ordinaria por

    $\operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).$

## Integral coseno hiperbólico

La integral coseno hiperbólico es:

    $\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ para }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Tiene la siguiente expansión en serie:

    $\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).$

## Funciones auxiliares

Las integrales trigonométricas se pueden entender en términos de las llamadas "funciones auxiliares":

    ${\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}$

Usando estas funciones, las integrales trigonométricas se pueden reexpresar como: (cf. Abramowitz y Stegun, p. 232)

    ${\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ y }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}$

## Espiral de Nielsen

La espiral formado por el gráfico de la expresión paramétrica de si , ci se conoce como espiral de Nielsen:

    $x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)$
    $y(t)=a\times \operatorname {si} (t)$

La espiral está estrechamente relacionada con las integrales de Fresnel y la clotoide. La espiral de Nielsen tiene aplicaciones en el procesamiento de la visión, la construcción de carreteras y vías y otras áreas de la ingeniería.

## Expansión

Se pueden utilizar varias expansiones para la evaluación de integrales trigonométricas, según el rango del argumento.

### Serie asintótica (para argumentos amplios)

    $\operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)$
    $\operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.$

Estas series son asintóticas y divergentes, aunque pueden usarse para estimaciones e incluso evaluaciones precisas en ℜ(x) ≫ 1.

### Serie convergente

    $\operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots$
    $\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots$

Estas series son convergentes en cualquier x complejo, aunque para |x| ≫ 1, la serie convergerá lentamente inicialmente, lo que requerirá muchos términos para obtener una alta precisión.

### Desarrollo en serie

De la expansión de la serie de Maclaurin del seno

    $\sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots$

se obiene:

    ${\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots$

y de aquí se pasa a:

    $\therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots$

## Relación con la integral exponencial del argumento imaginario

La función

    $\operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ para }}~\Re (z)\geq 0$

se llama integral exponencial. Está estrechamente relacionada con Si y Ci,

    $\operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ para }}~x>0~.$

Como cada función respectiva es analítica, excepto el corte en valores negativos del argumento, el área de validez de la relación debe extenderse (fuera de este rango, en la expresión aparecen términos adicionales que son factores enteros de π).

Los casos de argumento imaginario de la función integroexponencial generalizada son

    $\int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,$

que es la parte real de

    $\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.$

Similarmente,

    $\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.$

## Evaluación eficiente

La aproximación de Padé de la serie de Taylor convergente proporciona una forma eficiente de evaluar funciones para argumentos pequeños. Las siguientes fórmulas, dadas por Rowe et al. (2015), tienen una precisión mejor que $10^{−16}$ para 0 ≤ x ≤ 4,

    ${\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}$

Las integrales se pueden evaluar indirectamente mediante las funciones auxiliares $f(x)$ y $g(x)$, que están definidas por:

| :$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)$ | :$\operatorname {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)$ |
| - | - |
| or equivalently |||
| :$f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)$ | :$g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)$ |

Para $x\geq 4$, las funciones racionales de Padé que se proporcionan a continuación son aproximaciones a $f(x)$ y $g(x)$ con un error menor que $10^{−16}:$

    ${\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}$
