R4 exótico
# R4 exótico

En matemáticas, una estructura exótica de $\mathbb {R} ^{4}$ es una estructura de variedad diferenciable que es homeomorfa, pero no difeomorfa al espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{4}.$ Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, al utilizar el contraste entre los teoremas de Freedman sobre las 4-variedades topológicas, y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves. Existe un continuum de estructuras diferencibles no difeomorfas a $\mathbb {R} ^{4},$ como demostró primero Clifford Taubes.

Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras diferenciables no difeomorfas sobre n-esferas, esferas exóticas, aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera seguía abierta (y sigue abierta en la actualidad). Para cualquier número entero positivo n que no sea 4, no existen estructuras diferenciables exóticas en $\mathbb {R} ^{n};$ en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad diferenciable homeomorfa a $\mathbb {R} ^{n}$ es difeomorfa a $\mathbb {R} ^{n}.$

## $R^4$ exóticos pequeños

Un $\mathbb {R} ^{4}$ exótico se llama pequeño si se puede incrustar suavemente como un subconjunto abierto de la estructura ordinaria de $\mathbb {R} ^{4}$. Los $\mathbb {R} ^{4}$ exóticos pequeños pueden construirse partiendo de un h-cobordismo suave y no trivial de 5 dimensiones (que existe por la prueba de Donaldson de que el teorema de que el h-cobordismo falla en esta dimensión) y utilizando el teorema de Freedman de que el teorema del h-cobordismo topológico se cumple en esta dimensión.

## $R^4$ exóticos grandes

Un $R^{4}$ exótico se llama grande si no puede ser encajado de manera suave como un subconjunto abierto del $\mathbb {R} ^{4}$ estándar. Se pueden construir ejemplos de $\mathbb {R} ^{4}$ exóticos grandes utilizando el hecho de que los 4manifolds compactos a menudo pueden dividirse como una suma topológica (por el trabajo de Freedman), pero no pueden dividirse como una suma suave (por el trabajo de Donaldson).

Freedman, Michael Hartley; Taylor, Laurence R. (1986). jdg/1214440258 «Un alisamiento universal del espacio de cuatro». Journal of Differential Geometry 24 (1). pp. 69-78. ISSN 0022-040X. MR 857376. demostró que existe un $\mathbb {R} ^{4},$ exótico máximo en el que todos los demás $\mathbb {R} ^{4}$ pueden ser embebidos suavemente como subconjuntos abiertos.

## Estructuras exóticas relacionadas

Los asideros de Casson son homeomorfos a $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ por el teorema de Freedman (donde $\mathbb {D} ^{2}$ es el disco unitario cerrado) pero se deduce del teorema de Donaldson que no todos son difeomorfos a $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$. En otras palabras, algunos asideros de Casson son exóticos $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.$

No se sabe (a fecha de 2022) si existen o no 4 esferas exóticas; una 4 esfera exótica de este tipo sería un contraejemplo a la conjetura de Poincaré generalizada suave en dimensión 4. Algunos candidatos plausibles vienen dados por Gluck twists.

