Modelado geométrico
# Modelado geométrico

El modelado geométrico (también conocido en inglés como Computer-Aided Geometric Design (CAGD)), se refiere a la descripción asistida por computadora de la forma de objetos geométricos. Se trata de la descripción de curvas bidimensionales así como de superficies tridimensionales y objetos. El modelado geométrico se realiza en gráficos por computador, en diseño asistido por computadora (CAD), en el método de los elementos finitos y en otros campos científicos y de ingeniería.

## Curvas y superficies de forma libre

Las curvas y superficies de forma libre se pueden describir utilizando Spline, es decir, funciones polinomioiales por partes. El principio se puede ampliar desde curvas bidimensionales hasta superficies tridimensionales.

### Curvas de Hermite

Las curvas interpolantes de Hermite están compuestas por polinómios hermíticos de tercer grado. Cada polinomio está determinado por un punto inicial y final, así como por la tangente correspondiente. Cuando los polinomios hermitianos se juntan para formar un spline, las tangentes de dos polígonos adyacentes se igualan. Hay varias opciones para elegir las tangentes. La más sencilla es igualar una tangente a la línea recta que conecta los puntos de control más cercanos, pero se han desarrollado otros métodos:

* Para Interpolador cúbico de Hermites, las tangentes están determinadas por un parámetro c entre 0 y 1, que especifica el "voltaje" en el punto de control.
* Interpolador cúbico de Hermite son un caso especial de splines cardinales, donde c=0. A menudo se utilizan en Animación por computadora como curvas de animación porque pasan exactamente por los puntos de control y su Ableitung es stetig.
* Los Interpolador cúbico de Hermite, también llamados splines TCB, proporcionan una parametrización adicional de las curvas de Hermite con los tres parámetros Tensión, Continuidad y Sesgo.

### Curvas de Bézier

Un Curva de Bézier de nésimo grado es un parametrische Kurve definido por n+1 puntos de control. El polígono que conecta los puntos de control se llama polígono de control. Mientras que una curva de Bézier lineal, es decir, una curva de Bézier de primer grado, es un segmento simple entre los dos puntos de control, una curva de Bézier cuadrática describe un Parabelteil. Muchos programas de gráficos utilizan curvas cúbicas de Bézier.

Una curva de Bézier interpola entre puntos de control individuales utilizando Polinomio de Bernstein, que indican la influencia de los puntos de control según el parámetro de la curva. Excepto por los puntos inicial y final, la curva generalmente no pasa por los puntos de control sino que está incluida en su konvexer Hülle. Para dibujar una curva de Bézier, se puede utilizar Algoritmo de De Casteljau, que se aproxima a una curva de Bézier mediante un polígono.

Las curvas de Bézier son invariantes bajo affinen Abbildungen. Esto significa que un mapeo afín de los puntos de control da como resultado la misma curva que un mapeo afín de la curva original. Un problema con las curvas de Bézier es que los puntos de contacto o dobles son posibles si los puntos de control están en una posición determinada. Los cambios locales en los puntos de control tienen un efecto indeseable en toda la curva, pero solo son importantes localmente.

### Curvas B-spline y NURBS

B-Spline-Kurven ofrece localidad y controlabilidad mejoradas en comparación con las curvas de Bézier: los cambios solo tienen un efecto local y solo es necesario recalcular parte de la curva. De manera similar a las curvas de Hermite, las curvas B-spline se componen por partes de polinomios individuales. Las costuras se llaman "puntos nodales". Esto evita oscilaciones no deseadas (Interpolación polinómica) con un gran número de nodos. Las curvas B-spline son una combinación ponderada linealmente de funciones base, llamadas B-splines. Las funciones base son polinomios por partes con un Träger pequeño. Los cambios fuera de la viga no afectan la curva B-spline.

Las funciones de base uniforme son copias desplazadas entre sí, cada una centrada en un nodo. Las funciones de base lineal uniforme son Dreieckfunktion que están centradas en un nodo específico y tienen un soporte que se extiende sobre tres nodos. Las funciones de base cuadrática y cúbica se componen de polinomios correspondientemente superiores, pero siempre están centradas sobre un nodo. Por el contrario, las funciones de base no uniformes tienen diferentes formas. Las curvas B-spline se pueden convertir en un polígono usando De-Boor-Algorithmus.

Una extensión son las "curvas B-spline racionales" o generalmente NURBS (NURBS), cuya representación de parámetros es una fracción matemática. Las NURBS son lo suficientemente generales como para describir todas las curvas y superficies comunes. Algunas herramientas de modelado más nuevas lo utilizan como único método de representación interna.

## Esquemas de visualización

Se han desarrollado varios métodos para representar cuerpos (esquemas de representación), que difieren en sus requisitos de memoria, numerische precisión, complejidad y capacidad de conversión a otros esquemas de representación. Otra propiedad de un esquema de representación es la capacidad de comprobar si un modelo es correcto, es decir, si define un objeto "real" físicamente posible.

Se distingue entre esquemas de representación directos, que describen el volumen mismo, y esquemas indirectos, en los que la descripción se realiza a través de bordes y superficies. También son concebibles esquemas híbridos que combinen ambos métodos.

### Esquemas de representación directa del

**Esquema de enumeración de celdas de norma**

El esquema de enumeración de celdas estándar divide el espacio en una cuadrícula de celdas espaciadas uniformemente (Vóxel). Un cuerpo está representado por un conjunto de células. Cuanto más pequeños sean los vóxeles, mejor se aproximará el cuerpo. El esquema de enumeración consume mucha memoria.

**Geometría constructiva de sólidos**

En Geometría constructiva de sólidos (GCS), los objetos se modelan utilizando cuerpos básicos como esferas, cuboides o cilindros, así como operadores como intersección, unión o diferencia. Un cuerpo CSG se puede describir mediante una fórmula que aplica los operadores a cuerpos básicos y se ilustra como un árbol.

CSG es particularmente común en el área CAD. Un estudio concluyó que el 63% de todos los componentes mecánicos se pueden modelar con un sistema CSG que solo utiliza cuboide y gerade Kreiszylinder. Si se permiten más cuerpos base, el 90% de todos los componentes del Ingeniería mecánica clásico (principalmente Perforación, Fresado, Drehen de los componentes o sus moldes) se pueden describir de forma natural mediante CSG.

Una ventaja importante de CSG sobre otros esquemas de representación es que su exactitud está garantizada siempre que solo se permitan determinadas primitivas. Por ejemplo, si se utiliza R-Sets como cuerpo base, sus propiedades garantizan que el árbol CSG correspondiente sea correcto. Además, las carrocerías CSG son muy compactas y fáciles de crear. Sin embargo, muchos métodos de renderizado no pueden manejar CSG directamente y requieren que los cuerpos de CSG se conviertan primero a B-reps, lo cual es una tarea comparativamente difícil.

Hasta la década de 1980, la mayoría de las herramientas de modelado se basaban en Boundary Representations o CSG.

**Modelado generativo**

? Ver también: Diseño generativo

Un modelo generativo es una forma creada mediante una transformación continua de una forma, llamada generador. La dimensión del modelo no juega ningún papel. El modelado se realiza a un alto nivel y es ampliable. Con la ayuda de un Lenguaje de programación como el Generative Modelling Language, el usuario puede crear fácilmente una biblioteca de formas útiles.

Las geometrías de desplazamiento, también llamadas Sweeps, son un caso especial de modelos generativos. Se crean guiando una curva o un volumen en una curva.

Un caso especial de barridos es el Superficie de revoluciónn, que se crea girando una cantidad específica alrededor de un eje arbitrario.

El software Point-E de OpenAI, introducido en 2022, permite la generación de modelos 3D basados en la entrada de texto.

**Cuadrícula de vóxeles**

Las cuadrículas vóxel son valores dispuestos espacialmente y en forma de cuadrícula que describen la "densidad" de un objeto y se pueden representar utilizando los medios Volume rendering. Las cuadrículas de vóxeles permiten "cortar" partes de objetos y ver su interior. Las operaciones CSG también son fáciles de implementar. Sin embargo, las cuadrículas de vóxeles requieren mucho espacio de almacenamiento y son propensas a efectos Seudonimización (informática) no deseados. En algunos casos de uso, el mayor requisito de memoria se puede reducir mediante el uso de Árbol octal. El modelado mediante cuadrículas de vóxeles se utiliza principalmente en medicina, Fluiddynamik y en la representación de objetos naturales como las nubes.

### Esquemas de representación indirecta del

**Modelo de estructura alámbrica**

Un Modelo de estructura alámbrica define un cuerpo exclusivamente por sus aristas. Este modelo ofrece ventajas de velocidad porque la representación es muy eficiente. Un problema de este esquema es su ambigüedad. Un modelo de estructura alámbrica puede representar varios cuerpos diferentes porque no está claro dónde están las superficies. Por lo tanto, no es posible un Verdeckungsberechnung como ocurre con las superficies, aunque se puede utilizar el Haloed-Line-Algorithmus.

**Representación de superficie**

Una representación de superficie, también llamada Boundary Representation o B-rep, es la descripción de un cuerpo en función de su superficie; Entonces los representantes B son "vacíos". Los B-reps son probablemente el esquema de representación más utilizado en gráficos por computadora. Malla poligonale en particular se utilizan comúnmente.

Las B-reps son buenas para renderizar superficies generales de manera eficiente y le permiten realizar cambios locales en el modelo. Las desventajas de los B-reps son sus altos requisitos de memoria y la dificultad para comprobar la corrección.

Para ello se utilizan esquemas de representación basados ??en las llamadas operaciones de Euler, para garantizar al menos parcialmente la corrección al modelar cuerpos como B-rep. La idea es permitir solo las llamadas operaciones que mantienen la característica de Euler o la cambian de cierta manera.

## Técnicas de modelado

### Poligonización

Muchos algoritmos en gráficos por computadora, incluidos algunos métodos de renderizado, funcionan exclusivamente con mallas poligonales. Método de los elementos finitosn también se basan en esta forma de representación. Se han desarrollado numerosos algoritmos de poligonización que producen resultados de calidad variable. En general, un método de poligonización debe lograr una buena aproximación de la forma del objeto original, producir polígonos con una forma equilibrada que no sea demasiado estrecha y respetar la topología local del objeto original, es decir, no crear espacios ni roturas. Ejemplos de algoritmos de poligonización son

* el algoritmo cortar cubo de M. Schmidt y
* el algoritmo de seguimiento de E. Hartmann. Ver

### Modelado físico

Los métodos de modelado que tienen en cuenta las propiedades dinámicas de los objetos además de las estáticas se denominan de base física. Los objetos pueden ser no solo rígidos, sino también flexibles. Un ejemplo es un trozo de tela que se coloca sobre otros objetos y la caída se calcula automáticamente.

