title: 56-graphe de Klein
text: # 56-graphe de Klein
  
  Le 56-graphe de Klein ou graphe cubique de Klein est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 56 sommets et 84 arêtes.
  
  ## Propriétés
  
  ### Propriétés générales
  
  Le diamètre du 56-graphe de Klein, l'excentricité maximale de ses sommets, est 6, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 7. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
  
  Il peut être plongé dans une surface orientable de genre 3 qui peut être représentée comme la quartique de Klein, où il forme la « carte de Klein » à 24 faces heptagonales, de symbole de Schläfli ${7,3}_8.$
  
  Selon le Foster Census, le 56-graphe de Klein, référencé sous le numéro F056B, est le seul graphe cubique symétrique à 56 sommets qui ne soit pas biparti.
  
  Il peut être dérivé du graphe de Coxeter à 28 sommets.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique du 56-graphe de Klein est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
  
  L'indice chromatique du 56-graphe de Klein est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le 56-graphe de Klein est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Son groupe d'automorphisme est d'ordre 336.
  
  