title: Algèbre nilpotente
text: # Algèbre nilpotente
  
  En mathématiques, une algèbre nilpotente est une algèbre associative sans unité pour laquelle tous les produits sont nuls à partir d’un certain nombre de facteurs. Cette propriété se traduit par l’identité polynomiale $x_1x_2…x_n$ = 0 et implique en particulier que tous les éléments de l’algèbre sont nilpotents, mais la réciproque est fausse. La plus petite valeur de n pour laquelle l’identité est satisfaite est l’ordre de nilpotence de l’algèbre.
  
  La définition s’étend au cas des algèbres non associatives par l’annulation de tous les produits de n termes quel que soit le parenthésage.
  
  En particulier, tout idéal d’une algèbre constitue une algèbre nilpotente. Si R est un anneau commutatif, l’ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de ${\mathcal {M}}_{n}(R)$ forme une algèbre nilpotente d’ordre n.
  
  