title: Anneau nul
text: # Anneau nul
  
  En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton $\{0_{A}\}$. On a :
  
  $0_{A}+0_{A}=0_{A}\qquad 0_{A}\times 0_{A}=0_{A}$
  
  Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement $1_A$ dans un anneau quelconque, est ici égal à $0_A,$ l'élément neutre pour l'addition.
  
  Réciproquement, le seul anneau A vérifiant $1_A$ = $0_A$ est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément $r$ de A, on a :
  
  $r=r\times 1_{A}=r\times 0_{A}=0_{A}$
  
  L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau $\mathbb {Z}$ des entiers.
  
  