title: Catégorie des relations
text: # Catégorie des relations
  
  En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des relations, notée Rel, est la catégorie dont les objets sont les ensembles et dont les morphismes sont les relations binaires entre ces ensembles.
  
  La composition de deux relations R ⊆ A × B et S ⊆ B × C est donné par
  
      (a, c) ∈ S o R ⇔ ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ S.
  
  ## Propriétés générales
  
  Rel est isomorphe à $Rel^{op},$ en effet, on peut associer uniquement à toute relation sa relation réciproque.
  
  ## Produit cartésien
  
  Rel est une catégorie cartésienne:
  
  * L'objet terminal est l'ensemble vide.
  * Le produit cartésien pour une famille $(E_{i})_{i\in I}$ est donné par:
  
  $\Pi _{i\in I}E_{i}=\cup _{i\in I}(\{i\}\times E_{i})$
  
  Les projections sont elles données par:
  
  ${\begin{aligned}&\pi _{i}\ :\ \Pi _{i\in I}E_{i}\to E_{i}\\&\pi _{i}=\{((i,e),e)\ |\ e\in E_{i}\}\end{aligned}}$
  
  