title: Base d'Auerbach
text: # Base d'Auerbach
  
  Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.
  
  ## Définition
  
  Soit $X$ un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur $a$ et toute partie $B$ de $X$, la distance de $a$ à $B$ (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de $B$) est :
  
      $d(a,B)=\inf _{b\in B}\|a-b\|.$
  
  La notation $[B]$ désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par $B$.
  
     Une partie $A$ de $X$ est appelée base d'Auerbach de $X$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
     * $[A]=X$, c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par $A$ est dense dans $X$ ;
  
     * pour tout vecteur $a$ de $A$, on a $\|a\|=d(a,[A\setminus \{a\}])$,c'est-à-dire que la norme de $a$ est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de $A$ ;
  
     * le vecteur nul n'appartient pas à $A$.
  
  Une base d'Auerbach $A$ est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de $A$ ont pour norme 1.
  
  ## Propriétés
  
  * Toute base d'Auerbach $A$ est :
     * topologiquement libre c'est-à-dire que pour tout $a$ de $A$, le vecteur $a$ n'appartient pas à $\scriptstyle [A\setminus \{a\}]$, et a fortiori algébriquement libre ;
     * topologiquement génératrice, ou « totale » (c'est ce qu'exprime la condition $[A]=X$), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.
  
  (Si $X$ est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)
  
  * Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.
  
  ## Motivation
  
  Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur $x$ et toute partie $B$ on a :
  
  $\|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B$
  
  (le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.
  
  La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932.
  
  ## Définition équivalente
  
  Dans un espace de Banach $X$, une partie $A$ est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :
  
  * $[A]=X$ ;
  * pour tout vecteur $a$ de $A$, on a la condition de normalisation $\|a\|=1$ ;
  * pour tout vecteur $a$ de $A$, il existe une forme linéaire continue $f$ sur $X$ (donc un élément du dual topologique de $X$) de norme 1, nulle sur $A\setminus \{a\}$ et telle que $f(a)=1$.
  
  En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé $F$ de l'espace de Banach $X$ et tout vecteur $a$ n'appartenant pas à $F$, il existe sur $X$ une forme linéaire $f$ de norme 1, nulle sur $F$, et telle que $f(a)=d(a,F)$.
  
  