title: Catégorie monoïdale tressée
text: # Catégorie monoïdale tressée
  
  En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.
  
  ## Définition formelle
  
  Soit $({\mathcal {C}},\otimes ,\alpha ,\lambda ,\rho )$ une catégorie monoïdale. On note $\otimes ^{op}$ le produit tensoriel opposé à $\otimes$, c'est-à-dire le bifoncteur défini par $A\otimes ^{op}B=B\otimes A$. On appelle tressage sur ${\mathcal {C}}$ un isomorphisme naturel $\beta$ de $-\otimes -$ vers $-\otimes ^{op}-$. Autrement dit, pour tous objets $A,B$ de ${\mathcal {C}}$, $\beta$ induit un isomorphisme
  
  $\beta _{A,B}:A\otimes B\longrightarrow B\otimes A$
  
  ## Représentation des groupes de tresses
  
  Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, $\beta _{B,A}^{-1}=\beta _{A,B}$.
  
  Si $V$ est un objet de ${\mathcal {C}}$, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet $V^{\otimes n}=V_{1}\otimes V_{2}\otimes \dots \otimes V_{n}$. Puisque les $V_{i}$ sont tous égaux à $V$, on a en particulier
  
  $V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}=V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}$
  
  où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, $\beta$ induit un isomorphisme
  
  $\beta _{i}:V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}$
  
  Ainsi, les applications $\beta _{i}$ pour $i=1\dots n-1$ peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de $V^{\otimes n}$. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes
  
  $B_{n}\longrightarrow \mathrm {Aut} (V^{\otimes n})$
  
  qui envoie $\sigma _{i}$ sur $\beta _{i}$.
  
  ## Article connexe
  
  Produit tensoriel de deux modules
  
  