title: Attracteur d'Ikeda
text: # Attracteur d'Ikeda
  
  L'attracteur d'Ikeda est un système dynamique à temps discret, caractérisé par la relation de récurrence :
  
      $z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}$.
  
  Il a été proposé en 1979 par le physicien japonais Kensuke Ikeda pour décrire la propagation de la lumière à travers une cavité optique non linéaire.
  
  La relation de récurrence est souvent utilisée sous la forme :
  
      ${\begin{cases}x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos \theta _{n}-y_{n}\sin \theta _{n})\\y_{n+1}=u(x_{n}\sin \theta _{n}+y_{n}\cos \theta _{n})\end{cases}}$
  
  où $u\in \mathbb {R}$ est un paramètre et $\theta _{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$.
  
  Lorsque $u\geqslant 0.6$, le système a un comportement chaotique.
  
  ## Trajectoires
  
  Les graphes ci-dessous représentent la trajectoire de 200 points, pour différentes valeurs du paramètre $u$. Le graphe de gauche permet de visualiser l'attracteur et le point fixe, tandis que celui de droite est un zoom dans la région de l'attracteur et du point fixe.
  
  | u = 0.1 | u = 0.5 | u = 0.65 |
  | - | - | - |
  | u = 0.7 | u = 0.8 | u = 0.85 |
  | u = 0.9 | u = 0.908 | u = 0.92 |
  