title: Capacité thermique isochore
text: # Capacité thermique isochore
  
  La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent $C_{V}~$, se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :
  
  * $C_{V}\ =\ \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$
  
  Comme l'énergie interne, c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en joules par kelvin. Elle dépend en général de la température T et du volume V.
  
  ## Exemple
  
  Pour n moles d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :
  
  * $U(T)\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R\ T$
  
  où R est la constante des gaz parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore est dans ce cas particulier égale à une constante :
  
  * $C_{V}\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R$
  
  ## Propriété
  
  L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique isochore s'introduit naturellement dans la forme différentielle :
  
  * $dU\ =\ C_{V}\ dT\ +\ (l-p)\ dV$
  
  où l est un coefficient calorimétrique.
  
  ### Variation avec le volume
  
  L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :
  
  * $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ \left({\frac {\partial (l-p)}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \left({\frac {\partial l}{\partial T}}\right)_{V}\ -\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$
  
  La thermodynamique permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :
  
  * $l\ =\ T\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$
  
  On en déduit la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :
  
  * $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ T\ \left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{V}$
  
  Si l'on connait l'équation d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.
  
  ### Variation avec la température
  
  La thermodynamique ne permet pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :
  
  * $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \mathrm {?}$
  
  Cette variation doit donc être mesurée expérimentalement pour chaque système.
  
  