title: Catégorie des anneaux
text: # Catégorie des anneaux
  
  En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire.
  
  ## Définition
  
  ### Catégorie des anneaux
  
  La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :
  
  * Les objets sont les anneaux ;
  * Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.
  
  ### Catégorie des anneaux commutatifs
  
  La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une sous-catégorie réflexive (en) : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur
  
      $\mathrm {Ring} \to \mathrm {CRing}$
  
  qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion
  
      $\mathrm {CRing} \hookrightarrow \mathrm {Ring}$
  
  La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).
  
  En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :
  
      $\mathrm {Spec} :\mathrm {Aff} \to \mathrm {CRing}$.
  
  ## Adjonctions
  
  Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli
  
      $A:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Ab}$ (oubli de la structure multiplicative)
      $M:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Mon}$ (oubli de la structure additive)
  
  Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G). Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde $\mathbb {Z} [N]$.
  
  En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli
  
      $U:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Set}$
  
  dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.
  
  ## Propriétés de la catégorie des anneaux
  
  ### Propriétés catégoriques
  
  * Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
  * Ring est une catégorie concrète ;
  * Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
  * Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel $\otimes _{\mathbb {Z} }$ comme produit monoïdal et $\mathbb {Z}$ comme unité ;
  * Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
  * Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le théorème d'Eckmann-Hilton (en) ;
  
  ### Objets
  
  * L'objet initial est l'anneau des entiers relatifs $\mathbb {Z}$ ;
  * L'objet injectif (en) et l'objet terminal est l'anneau trivial 1 ;
  * Ring n'a pas d'objet zéro.
  
  ### Morphismes
  
  * Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
  * Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
  * Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie ;
  * Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes ;
  
  ### Limites
  
  * Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
  * Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
  * Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
  * L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
  * Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/I où I est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
  * La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo $p^{n}$ correspond à l'anneau des nombres p-adiques
  