title: Centre d'un groupe
text: # Centre d'un groupe
  
  En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.
  
  ## Définition
  
  Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre $Z_G$ est
  
  $Z_{G}=\left\{z\in G\mid \forall g\in G\quad gz=zg\right\}$
  
  ## Propriétés
  
  * Dans G, $Z_G$ est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique.
  * Tout sous-groupe de $Z_G$ est sous-groupe normal de G.
  * $Z_G$ est abélien.
  
  ## Exemples
  
  * Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : $Z_G$ = G.
  * Le centre du groupe alterné $A_n$ est trivial pour n ≥ 4.
  * Le centre du groupe linéaire $GL_n(R)$ est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.
  
  ## Application
  
  L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G $\iota :G\to Aut(G),\,g\mapsto \iota _{g},$
  
  où $ι_g$ est l'automorphisme intérieur défini par $\iota _{g}:G\to G,h\mapsto ghg^{-1}.$
  
  Son noyau et son image sont
  
  $\ker(\iota )=Z_{G}\quad {\text{ et }}{\mbox{im}}(\iota )={\mbox{Int}}(G).$
  
  Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.
  
  On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :
  
  $G/Z_{G}\simeq {\mbox{Int}}(G).$
  
  