title: Champ aléatoire de Markov
text: # Champ aléatoire de Markov
  
  Un champ aléatoire de Markov est un ensemble de variables aléatoires vérifiant une propriété de Markov relativement à un graphe non orienté. C'est un modèle graphique.
  
  ## Définition
  
  Soit $G=(V,E)$ un graphe non orienté et $X=\{X_{i}\}_{i\in V}$ un ensemble de variables aléatoires indexé par les sommets de $G$. On dit que $X$ est un champ aléatoire de Markov relativement à $G$ si une des trois propriétés suivantes est vérifiée
  
  * $X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{v}\mid X_{V\setminus \{u,v\}},\forall (u,v)\notin E$ , c'est-à-dire que deux variables aléatoires dont les sommets associés ne sont pas voisins dans le graphe $G$ sont indépendantes conditionnellement à toutes les autres variables.
  * $X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{V\setminus cl(u)}\mid X_{V\setminus \partial u}$, avec $\partial u$ l'ensemble des voisins de $u$ et $cl(u)=\{u\}\cup \partial u$. C'est-à-dire qu'une variable est indépendante de toutes les autres conditionnellement à son voisinage.
  * $X_{A}\perp \!\!\!\perp X_{B}\mid X_{S}$, lorsque $S$ sépare $A$ et $B$: c'est-à-dire que tout chemin d'un sommet de $A$ vers un sommet de $B$ passe par un sommet de $S$.
  
  Il existe des conditions sous lesquelles ces trois propriétés sont équivalentes mais ce n'est cependant pas toujours le cas. Par exemple, dans le cas où la loi de $X$ admet une densité continue et strictement positive par rapport à une mesure les trois propriétés ci-dessus sont équivalentes. Dans le cas où les variables aléatoires sont discrètes la stricte positivité de la loi suffit donc.
  
  ## Utilisation
  
  Les champs de Markov sont utilisés, entre autres, pour la classification en fouille de données $spatiales^,,$ l'analyse d'images, la prédiction du trafic automobile, pour la cartographie des risques épidémiologiques.
  
  