title: Catégorie des groupes abéliens
text: # Catégorie des groupes abéliens
  
  En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.
  
  ## Définition
  
  ### Catégorie des groupes abéliens
  
  La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :
  
  * Les objets sont les groupes abéliens ;
  * Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes.
  
  C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.
  
  La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur $\mathbb {Z}$ :
  
      $\mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod}$.
  
  ### Catégories enrichies sur Ab
  
  La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).
  
  ## Adjonctions
  
  On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe $U:\mathrm {Ab} \to \mathrm {Set}$. Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre $F:\mathrm {Set} \to \mathrm {Ab}$ qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.
  
  ## Propriétés de la catégorie des groupes abéliens
  
  ### Propriétés catégoriques
  
  * Ab est concrète ;
  * Ab est une catégorie complète et cocomplète ;
  * Ab est préadditive et additive ;
  * Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ;
  * Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur $\mathbb {Z}$ comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ;
  * Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ;
  * Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ;
  * Ab est une catégorie de Grothendieck (en) ;
  
  ### Objets
  
  * L'objet initial, final et zéro de Ab est le groupe trivial 1 ;
  * Les objets injectifs (en) de Ab sont les groupes divisibles ;
  * Les objets projectifs sont les groupes abéliens libres ;
  * Ab n'a pas d'objet exponentiel ;
  * Le générateur projectif de Ab est $\mathbb {Z}$ ;
  * Le cogénérateur injectif de Ab est $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ;
  
  ### Morphismes
  
  * Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
  * Les épimorphismes sont les morphismes de groupes surjectifs ;
  * Les isomorphismes sont les morphismes de groupes bijectifs ;
  
  ### Limites
  
  * Le produit dans Ab est le produit direct de groupes ;
  * Le coproduit dans Ab correspond à la somme directe de groupes ;
  * Le noyau correspond au noyau au sens algébrique ;
  * Le conoyau d'un morphisme f : A → B est le groupe quotient B/f(A).
  
  ## Note et référence
  
  ### Note
  
  * ↑ C'est le critère de Baer sur les modules injectifs.
  
  ### Référence
  
  (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
  
  