title: Conducteur en équilibre électrostatique
text: # Conducteur en équilibre électrostatique
  
  Un conducteur électrique en équilibre électrostatique est un conducteur qui n'est parcouru par aucun courant.
  
  Cela signifie que toutes les charges électriques libres internes au conducteur sont « immobiles ». Dans n'importe quel conducteur, les charges électriques se déplacent à une certaine vitesse. Il y a deux raisons à cela :
  
  * l'agitation thermique,qui va faire bouger les charges à une certaine vitesse. Néanmoins, puisque ces charges vont toutes se déplacer dans des directions aléatoires, la résultante de la vitesse sera nulle. Ce qui veut dire qu'en moyenne, les charges se déplaceront autour d'un point d'équilibre fixe : tout se passe comme s'il n'y avait pas courant dans le matériau.
  * la présence d'un champ électrique, qui va accélérer les charges électriques présentes dans le conducteur et ainsi générer un courant.
  
  Pour qu'il n'y ait pas de courant dans un conducteur, celui-ci ne doit pas être soumis à un champ électrique. Le champ ${\vec {E}}$ est donc nul à l'intérieur du conducteur.
  
  Supposons ce conducteur ohmique i.e. qu'il vérifie la loi d'Ohm locale. On a donc la loi suivante : ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}_{int}$.
  
  ${\vec {j}}={\vec {0}}$
  
  ${\vec {E}}_{int}={\vec {0}}$
  
  ## Conséquences
  
  Un conducteur en équilibre électrostatique est chargé surfaciquement : il n'y a aucune charge à l'intérieur du conducteur. Toutes les charges se répartissent à la surface du matériau.
  
  On suppose connue l'équation de Poisson. Cette équation relie le potentiel électrique $V({\vec {r}})$ en un point et la densité de charge $\rho _{\text{e}}({\vec {r}})$ en ce point, par la formule suivante :
  
  $\Delta V({\vec {r}})+{\frac {\rho _{\text{e}}({\vec {r}})}{\varepsilon _{\text{d}}}}=0$
  
  On a montré précédemment que le champ ${\vec {E}}$ est nul dans le conducteur. On peut donc en déduire que le potentiel est constant dans tout le conducteur, puisque ${\vec {E}}=-{\vec {\mathrm {grad} }}\ V$. Le terme $\Delta V({\vec {r}})$ est donc nul dans l'équation de Poisson.
  
  ${\frac {\rho _{\text{e}}({\vec {r}})}{\varepsilon _{\text{d}}}}=0$
  
  $\rho _{\text{e}}({\vec {r}})=0$
  
  