title: Complément d'un nœud
text: # Complément d'un nœud
  
  En théorie des nœuds, une branche des mathématiques, le complément d'un nœud est l'espace tridimensionnel qui l'entoure.
  
  ## Définition
  
  Plus précisément, dans une 3-variété M, si K est un nœud et N un voisinage tubulaire de K alors le complément $X_K$ de K est le complémentaire de l'intérieur de N :
  
  $X_{K}=M\setminus {\text{int}}(N).$
  
  La variété M considérée est le plus souvent (parfois même implicitement) la 3-sphère et K est supposé non sauvage (en).
  
  On définit de même le complément d'un entrelacs.
  
  ## Propriétés
  
  * Avec la définition ci-dessus, N est un tore plein, $X_K$ est une 3-variété (compacte si M l'est), et leur frontière commune est un 2-tore.
  * Le théorème de Gordon-Luecke (en) assure que le complément d'un nœud est un invariant de nœuds complet : deux nœuds dont les compléments sont homéomorphes sont transformés l'un de l'autre par un homéomorphisme de $S^3.$ Si cet homéomorphisme préserve l'orientation, alors il est isotope à l'identité donc les deux nœuds sont équivalents.
  * Le groupe fondamental de ce complément, appelé groupe du nœud (en), est donc aussi un invariant, mais non complet.
  