title: Coefficient constant
text: # Coefficient constant
  
  $P(X)=6X^{3}-4X+7\,$
  
  En mathématiques, le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Autrement dit, en notant un polynôme sous sa forme développée et ordonnée par puissances croissantes :
  
      $P(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots +a_{n}X^{n}$
  
  alors son coefficient constant est l'élément $a_{0}$, éventuellement nul.
  
  Ce coefficient correspond à la valeur en 0 de la fonction polynomiale associée. En analyse réelle, il est donc aussi l'ordonnée à l'origine de sa courbe représentative.
  
  ## Propriétés
  
  Si les coefficients du polynôme sont pris dans un anneau $A$, le coefficient constant est l'image du polynôme par le morphisme d'évaluation
  
      $\mathrm {ev} _{0}\colon A[X]\to A$
  
  défini comme l'unique morphisme de $A$-algèbre vérifiant l'égalité :
  
      $\mathrm {ev} _{0}(X)=0\ .$
  
  Par conséquent :
  
  * le coefficient constant d'un produit de polynômes est le produit de leurs coefficients constants ;
  * le coefficient constant d'une somme de polynômes est la somme de leurs coefficients constants ;
  
  Ce morphisme se factorise par l'évaluation en zéro de l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans $A$. Il en découle que deux polynômes définissant la même fonction ont nécessairement le même coefficient constant.
  
  ## Cas particuliers
  
  * Le coefficient constant du polynôme caractéristique d'une matrice est son déterminant (au signe près)
  * Le coefficient constant et le coefficient dominant d'un polynôme à coefficients entiers permettent de construire un ensemble fini qui contient toutes ses racines rationnelles.
  