title: Courbe cycloïdale
text: # Courbe cycloïdale
  
  Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.
  
  ## Classification
  
  Les différents cas particuliers de courbes cycloïdales sont liés à la forme de la directrice. Ainsi, on utilise les termes suivants :
  
  * lorsque la directrice est un cercle, on parle de cycloïde à centre :
     * lorsque le cercle roulant est à l'extérieur du cercle directeur, c'est une épicycloïde (dont la cardioïde et la néphroïde sont des cas particuliers) ;
     * lorsque le cercle roulant est à l'intérieur du cercle directeur, c'est une hypocycloïde (dont la droite de La Hire, la deltoïde et l'astroïde sont des cas particuliers) ;
  * lorsque la directrice est une droite, on parle de cycloïde droite ou tout simplement de cycloïde.
  
  ## Définition mathématique
  
  Une courbe cycloïdale peut être définie par deux équations intrinsèques:
  
  * $\left[1\right]\quad R_{c}^{2}+\omega ^{2}s^{2}=\omega ^{2}A^{2}$
  * $\left[2\right]\quad s=A\sin(\omega \phi )\,$
  
  où $R_{c}\,$ représente le rayon de courbure et $s\,$ l'abscisse curviligne On retrouve alors les cas particuliers évoqués ci-dessus :
  
     * $\omega =1\,$ : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant)
     * $0<\omega <1\,$ : épicycloïde ($\omega ={\frac {a}{a+2b}},A={\frac {4b(a+b)}{a}}\,$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant)
     * $\omega >1\,$ : hypocycloïde ($\omega ={\frac {a}{a-2b}},A={\frac {4b(a-b)}{a}}\,$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).
  