title: Code de Kitaev
text: # Code de Kitaev
  
  Le code de Kitaev (aussi appelé le « code torique ») est un code de correction d'erreurs quantiques topologique, qui peut être défini par le formalisme des codes stabilisateurs sur un réseau carré $2D^,$
  
  Ce code fait partie de la famille des codes de surfaces et il possède des conditions aux bords périodiques, ce qui forme donc un tore.
  
  ## Détails
  
  Pour le code de Kitaev, il existe 2 types de stabilisateurs, les stabilisateurs de plaquettes et de sites. On peut interpréter ce code comme étant un ensemble de spin-1/2 (qubits physiques) placés sur chaque arête d'un réseau carré 2D. Il est donc possible de définir les stabilisateurs et un hamiltonien pour ce système.
  
  ### Stabilisateurs
  
  Il existe deux types de stabilisateurs pour ce code. Les stabilisateurs de sommets $A_{s}$ et les stabilisateurs de plaquettes $B_{p}$. En terme des opérateurs de Pauli, on exprime ces stabilisateurs comme:
  
  $A_{s}=\prod _{i\in V(s)}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in V(p)}\sigma _{i}^{z}.$
  
  avec $V(s)$ correspondant à l'ensemble des arêtes sortant du sommet $s$ et $V(p)$ l'ensemble des arêtes autour des plaquettes $p$.
  
  Connaissant le nombre de qubits physiques et de stabilisateurs indépendants (générateurs), on peut montrer que ce code permet d'encoder 2 qubits logiques.
  
  ### Hamiltonien
  
  L'Hamiltonien de ce système est donné par
  
  $H=-\left(\sum _{s}A_{s}+\sum _{p}B_{p}\right)$
  
  De plus, on note les relations de commutations suivantes :
  
  $[A_{s},A_{s}']=0$ ; $[B_{p},B_{p}']=0$ ; $[A_{s},B_{p}]=0$
  
  et l'état fondamental de l'Hamiltonien $|\psi \rangle$ correspond aussi à l'état code tel que
  
  $A_{s}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p,$
  
  