title: Deuxième théorème de Minkowski
text: # Deuxième théorème de Minkowski
  
  Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.
  
  ## Minima successifs
  
  Dans $ℝ^n,$ soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs $λ_1$ ≤ $λ_2$ ≤ … ≤ $λ_n$ de Γ relativement à K sont définis par : $λ_j$ est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.
  
  ### Exemples
  
      Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est $ℤ^n.$ Alors, $vol(ℝ^n/Γ)$ = 1 et :
     * pour K = [–1, $1]^n$ (boule unité pour la norme $ℓ^∞),$ $λ_1$ = … = $λ_n$ = 1 et vol(K) = $2^n$ ;
  
     * pour K = {x ∈ $ℝ^n$ | $∑|x_i|$ ≤ 1} (boule unité pour la norme $ℓ^1),$ $λ_1$ = … = $λ_n$ = 1 et vol(K) = $2^n/n!.$
  
  ## Énoncé du théorème
  
  ${\frac {2^{n}}{n!}}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{n}\mathrm {vol} (K)\leq 2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$
  
  La preuve de la première inégalité est « presque triviale ». Certains auteurs ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel $λ_1^n$ vol(K) ≤ $2^n$ $vol(ℝ^n/Γ).$
  
  ## Démonstration
  
  La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896, « a longtemps été considérée comme assez obscure », et de nombreuses preuves alternatives ont été $publiées^,^,^,^,^,^,,$ jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002, en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était « parfaitement correcte et élégante ».
  
  