title: Congruence d'Ankeny-Artin-Chowla
text: # Congruence d'Ankeny-Artin-Chowla
  
  En théorie des nombres, la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla est un résultat publié en 1951 par Nesmith Ankeny (en), Emil Artin et Sarvadaman Chowla. Elle concerne le nombre de classes h de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel de discriminant d > 0. Si l'unité fondamentale du corps est
  
  ${\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}})\,$
  
  avec t et u entiers, elle exprime sous une autre forme la classe de congruence modulo p de
  
  ${\frac {ht}{u}}$
  
  pour tout nombre premier p > 2 qui divise d. Dans le cas p > 3, elle établit :
  
  $-2{mht \over u}\equiv \sum _{0<k<d}{\chi (k) \over k}\lfloor {k/p}\rfloor \mod p$
  
  où $m={\frac {d}{p}}$ et $\chi$ est le caractère de Dirichlet pour le corps quadratique. Pour p = 3, il existe un facteur (1 + m) multipliant le côté gauche de l'équation. Ici,
  
  $\lfloor x\rfloor$
  
  représente la fonction partie entière de x.
  
  Un résultat relié est le suivant :
  
  ${\text{si}}\quad d=p\equiv 1\mod 4\quad {\text{alors}}\quad {u \over t}h\equiv B_{\frac {p-1}{2}}\mod p,$
  
  où $B_n$ est le n-ième nombre de Bernoulli.
  
  Il existe certaines généralisations de ces résultats de base dans les articles des auteurs.
  
  