title: Conjecture de Bieberbach
text: # Conjecture de Bieberbach
  
  La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique, c'est maintenant un théorème que l'on peut formuler comme suit: toute fonction entière f injective sur le disque unité et s'écrivant :
  
  $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}$
  
  a des coefficients satisfaisant l'inégalité :
  
  $|a_{n}|\leq n|a_{1}|.$
  
  ## Démonstration
  
  Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.
  
  On définit habituellement la classe S des fonctions f injectives sur le disque unité telles que $a_{0}=0$ et $a_{1}=1$. Ces fonctions sont dites schlicht. La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme $|a_{n}|\leq n$.
  
  Le cas particulier n = 2 a été démontré par Ludwig Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème du quart de Koebe : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.
  
  Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood
  
  $|a_{n}|\leq {\rm {e}}n|a_{1}|.$
  
  Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach : celle de Milin (en) (1971), qui l'impliquait.
  
  