title: Codes polaires
text: # Codes polaires
  
  En théorie de l'information, les codes polaires sont une classe de codes de correction d'erreurs découverts en 2009 par Erdal Arıkan.
  
  Ces codes sont les premiers codes pouvant atteindre, de façon prouvée, la capacité du canal pour les canaux sans mémoires symétriques. En plus, ces codes possèdent une faible complexité d'encodage et de décodage, soit de $O(n\log n)$. Ces particularités rendent les codes polaires très attrayants pour la recherche, les applications industrielles et les télécommunications.
  
  ## Polarisation des canaux
  
  Les codes polaires reposent sur le phénomène de polarisation des canaux. C'est ce phénomène qui leur permet d'atteindre la capacité pour les canaux sans mémoires symétriques.
  
  Il s'agit d'effectuer une transformation sur $N$ copies indépendantes d'un canal $W$ de manière à obtenir un ensemble de $N$ canaux (synthétiques) $\{W_{N}^{(i)}:1\leq i\leq N\}$ tel qu'une partie des canaux synthétiques deviennent parfaitement sans bruit, donc n'ayant aucun effet sur l'information et une autre partie rendant les canaux parfaitement bruyants. La fraction des indices $i$ pour lesquels $W_{N}^{(i)}$ sont des canaux sans bruit approche la capacité du canal de départ $W$ lorsque $N$ tend vers l'infini.
  
  ### Théorème de polarisation
  
  Plus formellement, pour tout canal $W$ sans mémoires symétriques et $0<a<b<1$, on a les 3 limites suivantes :
  
  * $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\#\{s^{n}\in \{+,-\}:I(W^{s^{n}})\in [0,a)\}=1-I(W)$
  * $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\#\{s^{n}\in \{+,-\}:I(W^{s^{n}})\in [a,b]\}=0$
  * $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\#\{s^{n}\in \{+,-\}:I(W^{s^{n}})\in (b,1]\}=I(W)$
  
  avec $I(W)$ l'information mutuelle du canal $W$.
  
  ### Décodage
  
  Il s'agit d'un décodage par annulations successives.
  
  ### Utilisations
  
  Les codes polaires sont notamment utilisés sur les canaux de contrôle des réseaux mobiles 5G.
  
  