title: Densité sur une variété
text: # Densité sur une variété
  
  En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.
  
  ## Densité sur un espace vectoriel
  
  Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel $V$ de dimension $n$ est une application $f:\otimes ^{n}V\to \mathbb {R}$ telle que :
  
      $f(Av_{1},...,Av_{n})=|\det(A)|f(v_{1},...,v_{n}),\quad \forall A\in \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} ),\;\forall v_{1},...,v_{n}\in V$
  
  Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir.
  
  ## Densité sur une variété
  
  Considérons une variété différentielle $M$ de dimension $n$ et soit $\pi :\mathrm {Fr} (M)\to M$ son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :
  
      $\rho :\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )\to (\mathbb {R} _{+},\cdot )\;;\;\lambda \mapsto |\det(\lambda )|^{-1}$
  
  De cette représentation $\rho$ on peut définir sur la variété $M$ le $\mathbb {R}$-fibré vectoriel associé suivant :
  
      $E:=\mathrm {Fr} (M)\times _{\rho }\mathbb {R}$
  
  Définition : Une densité sur une variété $M$ est une section du fibré $E$.
  
  Remarque : Point par point, une densité sur une variété $M$ est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent $TM$.
  
  ## Exemples
  
  Exemple 1 : Soit $\Omega$ une forme volume sur $M$. Alors, la valeur absolue $|\Omega |$ définie en tout point $x\in M$ par :
  
      $|\Omega |(v_{1},...,v_{n}):=|\Omega (v_{1},...,v_{n})|,\quad \forall v_{1},...,v_{n}\in T_{x}M$
  
  est une densité sur $M$.
  
  Exemple 2 : Soit $(M,\omega )$ une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville $\Omega =\omega ^{n}/n!$ est la densité de Liouville $|\Omega |$.
  
  ## Applications
  
  Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :
  
  * intégration sur une variété différentielle non orientable ;
  * intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :
  
      $\mu (U)=\int _{U}|\Omega |$
  
  Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.
  
  