title: Clone (mathématiques)
text: # Clone (mathématiques)
  
  ## Définition
  
  Soit A un ensemble, et F(A) l'ensemble de toutes les constantes de A et de toutes les fonctions finitaires sur A. Un clone sur A est un sous-ensemble X de F(A) tel que
  
  * X est clos par composition ;
  * X contient toutes les projections ;
  * si une constante c est dans X, toutes les fonctions finitaires à valeur constante c sont dans X
  * si une fonction finitaire à valeur constante c est dans X et X contient au moins une constante, alors la valeur constante c est dans X.
  
  Tout sous-ensemble X de F (A) est contenu dans un plus petit clone sur A, que l'on appelle le clone engendré par X.
  
  Le clone engendré par les opérations fondamentales d'une algèbre A est appelé le clone de A.
  
  ## Exemple
  
  Considérons l'ensemble à 2 éléments 0,1. Le clone engendré par les constantes 0,1 et les opérations binaires min et max est celui des fonctions croissantes, c’est-à-dire telles que $f(x_{1},...x_{k-1},0,x_{k+1},...x_{n})\leq f(x_{1},...x_{k-1},1,x_{k+1},...x_{n})$
  
  Emil Post a publié en 1921 une étude exhaustive et passionnante des clones sur les algèbres à deux éléments.
  
  