title: Conjecture de Cramér
text: # Conjecture de Cramér
  
  En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936, pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers :
  
      $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}=O((\ln p_{n})^{2}),$
  
  où $g_n$ est le n-ième écart, $p_n$ est le n-ième nombre premier et $O$ désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.
  
  ## Énoncés liés
  
  Cramér avait auparavant, en 1920, démontré un énoncé plus faible :
  
      $p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})$
  
  sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).
  
  Andrew Granville a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante
  
      $2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots .$
  
  comme limite supérieure de la suite
  
      ${\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}$.
  
  Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible.
  
  Dans l'autre direction, on sait que
  
      $\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty$.
  