title: Correspondance de Jacquet-Langlands
text: # Correspondance de Jacquet-Langlands
  
  En mathématiques, la correspondance de Jacquet-Langlands est une correspondance entre les formes automorphes du $GL_2$ et ses formes elliptiques, prouvée par Hervé Jacquet et Robert Langlands notamment grâce à la Formule des traces de Selberg. Ce fut l'un des premiers exemples de la philosophie de Langlands qui conjecture que les applications entre L-groupes induisent des applications entre représentations automorphes. Il existe des versions généralisées de cette première correspondance de Jacquet-Langlands qui relie les représentations automorphes de $GL_r(D)$ et $GL_{dr}(F),$ où D est une algèbre à division de degrée $d^2$ sur le corps local ou global F.
  
  Soit G une forme intérieure du groupe algébrique $GL_2,$ i.e. le groupe multiplicatif d'une algèbre de quaternions. La correspondance de Jacquet-Langlands est une bijection entre
  
  * les formes automorphes de G de dimension supérieure à 1
  * les représentations automorphes cuspidales de $GL_2$ qui sont de carré intégrable (modulo le centre) en chaque place de ramification de G
  
  De plus, les représentations correspondantes ont mêmes caractères, et mêmes composantes locales à chaque place de ramification.
  
  Rogawski en 1983 et Deligne-Kazhdan-Vignéras en 1984 ont étendu la correspondance de Jacquet-Langlands au cas des algèbres à division de dimensions supérieures.
  
  