title: Cube de Hilbert
text: # Cube de Hilbert
  
  En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit $K=\left[0,1\right]^{\mathbb {N} }$ muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.
  
  Il est homéomorphe au sous-espace suivant de $ℓ^2,$ pour tous $b,c\in \ell ^{2}$ :
  
  $\{x\in \ell ^{2}\mid \forall n\quad b_{n}\leq x_{n}\leq c_{n}\}$
  
  Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable et possède la propriété suivante :
  
     Tout espace métrisable et séparable est homéomorphe à un sous-espace de K.
  
  Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
  
  