title: Critère de Nagumo
text: # Critère de Nagumo
  
  Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.
  
  ## Énoncé
  
  Soit f une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = $[t_0$ – c, $t_0$ + c] × $B(u_0,$ r) de ℝ × E.
  
  Si f vérifie sur S la condition
  
  $|t-t_{0}|~\|f(t,u)-f(t,v)\|\leq \|u-v\|,$
  
  alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy
  
  $u'=f(t,u),\,\,\,u(t_{0})=u_{0}$
  
  coïncident sur tout sous-intervalle de $[t_0$ – c, $t_0$ + c] où elles sont définies toutes deux.
  
  ## Démonstration
  
  Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle $[t_0,$ $t_1]$ avec $t_1$ > $t_0,$ montrons que u = v.
  
  La fonction g définie sur cet intervalle par
  
  $g(t)=\|u(t)-v(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,u(s))-f(s,v(s))\mathrm {d} s\right\|$
  
  est nulle en $t_0,$ mais aussi de dérivée (à droite) nulle en $t_0,$ puisque quand t → $t_0^+,$
  
  ${g(t) \over t-t_{0}}=\left\|{u(t)-u_{0} \over t-t_{0}}-{v(t)-u_{0} \over t-t_{0}}\right\|\longrightarrow \|u'(t_{0})-v'(t_{0})\|=\|f(t_{0},u(t_{0}))-f(t_{0},v(t_{0}))\|=0.$
  
  Ces deux propriétés de g permettent de définir sur $[t_0,$ $t_1]$ une fonction h par
  
  $h(t)=\int _{t_{0}}^{t}{g(s) \over s-t_{0}}\mathrm {d} s,$
  
  qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.
  
  On obtient ainsi
  
  $h'(t)={g(t) \over t-t_{0}}\leq {h(t) \over t-t_{0}},$
  
  autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – $t_0)$ est décroissante sur $]t_0,$ $t_1].$ Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en $t_0,$ elle est constamment nulle, donc g aussi.
  
  ## Exemple
  
  Soit l'application $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par
  
      $f(t,u)={\sqrt {t^{2}+|u|}}$
  
  et soit le problème de Cauchy
  
      $u'=f(t,u),\quad u(0)=0$
  
  L'application $f$ n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que $f(0,u)={\sqrt {|u|}}$ n'est pas lipschitzienne à l'origine.
  
  Cependant, pour tout $t\neq 0$, on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre $t^{2}+|u|$ et $t^{2}+|v|$ tel que
  
      ${\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}={|u|-|v| \over 2{\sqrt {c}}}$
  
  par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque
  
      $\left|{\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}\right|\leq {|u-v| \over 2|t|}$
  
  pour tout $u,v\in \mathbb {R}$ et pour tout $t\neq 0$. On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.
  
  