title: Ennéacontagone
text: # Ennéacontagone
  
  Un ennéacontagone est un polygone à 90 sommets, donc 90 côtés et 3 915 diagonales.
  
  La somme des angles internes d'un ennéacontagone non croisé vaut 15 840 degrés.
  
  ## Ennéacontagones réguliers
  
  Un ennéacontagone régulier est un ennéacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {90/k} pour k impair de 7 à 43 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {90}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéacontagone régulier ».
  
  Les douze ennéacontagones réguliers. :
  
  | Représentation | | | | | | |
  | - | - | - | - | - | - | - |
  | Symbole de Schläfli | {90} | {90/7} | {90/11} | {90/13} | {90/17} | {90/19} |
  | Angle interne | 176° | 152° | 136° | 128° | 112° | 104° |
  | Représentation | | | | | | |
  | Symbole de Schläfli | {90/23} | {90/29} | {90/31} | {90/37} | {90/41} | {90/43} |
  | Angle interne | 88° | 64° | 56° | 32° | 16° | 8° |
  
  ## Caractéristiques de l'ennéacontagone régulier
  
  Chacun des 90 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{90}}=4^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {15\,840^{\circ }}{90}}=176^{\circ }$.
  
  Si a est la longueur d'une arête :
  
  * le périmètre vaut $P=90\,a$ ;
  * l'aire vaut $A={\frac {90}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)$ ;
  * l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)$ ;
  * le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}$.
  