title: Distance du peigne
text: # Distance du peigne
  
  En mathématiques et plus particulièrement en topologie, la distance du peigne est une distance définie sur le plan complexe.
  
  ## Définition
  
  Considérons le plan complexe $\mathbb {C}$. La distance du peigne est alors définie de la manière suivante :
  
  $d(z,w)=\left\{{\begin{array}{l}|z-w|&{\text{si }}{\mathfrak {Re}}(z)={\mathfrak {Re}}(w)\\|{\mathfrak {Im}}(z)|+|{\mathfrak {Im}}(w)|+|{\mathfrak {Re}}(z)-{\mathfrak {Re}}(w)|&{\text{sinon}}\end{array}}\right.~~~\forall z,w\in \mathbb {C} .$
  
  ## Propriétés
  
  Le plan complexe muni de la distance peigne est un espace géodésique, ce qui signifie que deux complexes z et w peuvent toujours être reliés par un chemin de longueur d(z,w).
  
  