title: Domaine effectif
text: # Domaine effectif
  
  En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée ${\bar {\mathbb {R} }}$ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$.
  
  ## Définition
  
  Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$, définie sur un ensemble $\mathbb {E}$, est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ (elle peut y prendre la valeur $-\infty$ cependant). On le note le plus souvent
  
  $\operatorname {dom} \,f:=\{x\in \mathbb {E} :f(x)<+\infty \}.$
  
  On accepte que $f$ prenne la valeur $-\infty$ sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque $f$ est convexe.
  
  ## Propriété
  
  Domaine d'une fonction convexe — Soient $\mathbb {E}$ un espace vectoriel et $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction convexe. Alors le domaine de $f$ est convexe.
  
  On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière
  
  $\operatorname {l\!b} :x\in \mathbb {R} \mapsto \operatorname {l\!b} (x)=\left\{{\begin{array}{ll}-\log x&{\mbox{si}}~x>0\\+\infty &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.$
  
  est convexe fermée, mais son domaine effectif $\mathbb {R} _{++}$ n'est pas fermé dans $\mathbb {R}$.
  
  