title: Force centrale en 1/r⁵
text: # Force centrale en 1/r⁵
  
  En physique, en mécanique classique, la force centrale en 1/r⁵ est un résultat établi par Isaac Newton, en corollaire de son exégèse des Principia Naturalis.
  
  ## Énoncé
  
  Soit un point matériel P de masse m décrivant une trajectoire circulaire de rayon a et de centre C. On le soumet à l'attraction gravitationnelle d'un point O situé sur la circonférence de cette trajectoire circulaire.
  
  On peut alors montrer que la loi de force centrale est en 1/OP⁵.
  
  ## Démonstration historique
  
  On note Q la position de P à t + dt. On note R l'intersection de la tangente en P et de la parallèle à OP passant par Q. D'après la seconde loi de Kepler, l'aire balayée pendant cet intervalle dt est constante, et égale ici à l'aire du triangle OPQ.
  
  On calcule la limite du rapport 2RQ/(aire de OPQ)², selon l'expression fondamentale des Principia.
  
      $RP^{2}=RQ.RQ\propto RQ.OP$.
  
  D'autre part l'aire s'évalue par la podaire p comme : A(OPQ) = p.RP / 2, donc A(OPQ)² = p².RP ² / 4. On a alors $F\propto 1/(p^{2}.OP)$. Or p = OP.sin(θ) et OP = 2a.sin(θ).
  
  Donc p.2a = OP², on obtient enfin $F\propto 1/r^{5}$.
  
  On peut également, avec les formules de Binet, obtenir le même résultat. Cette méthode était cependant inconnue du temps de Newton.
  
  