title: Distance entre deux points sur le plan cartésien
text: # Distance entre deux points sur le plan cartésien
  
  Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.
  
  Soient $A$ et $B$ deux points dans le plan cartésien, $(x_{A},y_{A})$ les coordonnées du point $A$ et $(x_{B},y_{B})$ les coordonnées du point $B$. Alors la distance $AB$ sur le plan vaut :
  
  $AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$
  
  ## Démonstration
  
  Soit $C$ le point de coordonnées $(x_{A},y_{B})$.
  
  $x_{A}=x_{C}\Rightarrow AC=|y_{C}-y_{A}|$ et $(AC)$ est verticale ;
  
  $y_{B}=y_{C}\Rightarrow BC=|x_{C}-x_{B}|$ et $(BC)$ est horizontale ;
  
  donc $(AC)\perp (BC)$.
  
  D'après le théorème de Pythagore,
  
      ${\begin{aligned}AB^{2}&=BC^{2}+AC^{2}\\&=|x_{C}-x_{B}|^{2}+|y_{C}-y_{A}|^{2}\\&=|x_{A}-x_{B}|^{2}+|y_{B}-y_{A}|^{2}\\&=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\end{aligned}}$
  
  donc
  
      $AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$
  