title: Forme antisymétrique
text: # Forme antisymétrique
  
  En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature.
  
  ## Définition
  
  Soit $\phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)$ une forme $n$-linéaire avec $E$ un $K$-espace vectoriel. $\phi$ est antisymétrique ssi
  
      $\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$
  
  Où ${\mathfrak {S}}_{n}$ est le groupe symétrique de $\{1,\dots ,n\}$. En particulier puisque pour tout 2-cycle $\tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1$,
  
      $\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$
  
  Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.
  
  ## Exemples
  
  * Une forme bilinéaire $f$ sur $E$ est dite antisymétrique si :
  
      $\forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)$.
  * Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
  * Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.
  