title: Fractale de Rauzy
text: # Fractale de Rauzy
  
  La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy, dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).
  
  ## Définitions
  
  Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :
  
  * $t_{0}=1$
  * $t_{1}=12$
  * $t_{2}=1213$
  * $t_{3}=1213121$
  * $t_{4}=1213121121312$
  
  On montre que, pour $n>2$, $t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}$, d'où le nom "Tribonacci".
  
  Considérons, maintenant, l'espace $R^{3}$ muni d'un référentiel orthonormé.
  
  La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:
  
  1) Interpréter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).
  
  2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :
  
  * $1\Rightarrow (1,0,0)$
  * $2\Rightarrow (1,1,0)$
  * $1\Rightarrow (2,1,0)$
  * $3\Rightarrow (2,1,1)$
  * $1\Rightarrow (3,1,1)$
  
  etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.
  
  3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.
  
  ## Propriétés
  
  * Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : $k$, $k^{2}$ et $k^{3}$ avec $k$ solution de $k^{3}+k^{2}+k-1=0$: $\scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}$.
  * Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
  * Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
  * Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
  * La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique $x^{3}-x^{2}-x-1$, ses valeurs propres étant un réel $\beta =1,8392$, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués $\alpha$ et ${\bar {\alpha }}$ avec $\alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta$ .
  * Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$).
  
  ## Variantes et généralisation
  
  Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.
  
  * s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
  * s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
  * s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
  * s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132
  
  ## Références et bibliographie
  
  * ↑ G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions, Bulletin de la Société Mathématique de France, 110:147-178, 1982
  * ↑ A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arithmetica, 2000
  