title: Fonction zêta de Weierstrass
text: # Fonction zêta de Weierstrass
  
  En mathématiques, les fonctions de Weierstrass sont des fonctions spéciales d'une variable complexe qui sont reliées à la fonction elliptique de Weierstrass $\wp (z)$.
  
  ## Fonction sigma de Weierstrass
  
  La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel $\Lambda \subset \mathbb {C}$ est définie comme le produit infini
  
      $\sigma (z:\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda \setminus \lbrace 0\rbrace }\left(1-{\frac {z}{w}}\right){\rm {e}}^{z/w+{\frac {1}{2}}{(z/w)}^{2}}$
  
  ## Fonction zêta de Weierstrass
  
  La fonction zêta de Weierstrass est définie par
  
      $\zeta (z:\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)$
  
  La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :
  
      $\zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$
  
  où ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.
  
  La dérivée de la fonction zêta est $-\wp (z)$
  
  ## Fonction êta de Weierstrass
  
  La fonction êta de Weierstrass est définie par
  
      $\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ pour tout }}z\in \mathbb {C}$ et tout w dans le réseau $\Lambda$
  
  Cette fonction est bien définie, i.e. $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ne dépend que du vecteur w.
  
  La fonction êta de Weierstrass ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dedekind.
  
  ## Fonction ℘ de Weierstrass
  
  La fonction ℘ de Weierstrass est liée à la fonction zêta par :
  
      $\operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},\forall z\in \mathbb {C}$
  
  C'est une fonction elliptique paire d'ordre N=2 avec un pôle double en chaque point du réseau et aucun pôle ailleurs.
  
  