title: Fonction univalente
text: # Fonction univalente
  
  En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.
  
  ## Exemples
  
  Toute transformation de Möbius $\phi _{a}$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, $\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}},$ où $|a|\leq 1,$ est univalente.
  
  ## Propriétés
  
  On peut démontrer que si $G$ et $\Omega$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et
  
      $f:G\to \Omega$
  
  est une fonction univalente tel que $f(G)=\Omega$ (c'est-à-dire que $f$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de $f$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,
  
      $(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}$
  
  pour tous $z$ dans $G$
  
  ## Comparaison avec les fonctions réelles
  
  Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction
  
      $f:(-1,1)\to (-1,1)\,$
  
  donnée par ƒ(x) = $x^3,$ cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).
  
  