title: Effet Ferranti
text: # Effet Ferranti
  
  L’effet Ferranti désigne l'apparition d'une surtension lorsqu'une longue ligne électrique est alimentée à une extrémité et sans charge à l'autre extrémité. Il tire son nom de l'inventeur Sebastian Ziani de Ferranti.
  
  ## Expression mathématique et ordre de grandeur
  
  En négligeant les pertes, cette surtension est donnée par :
  
      ${\frac {Us}{Ue}}={\frac {1}{cos({\sqrt {LC}}\omega )}}$.
  
  Pour des longueurs courtes de ligne (quelques centaines de km à 50 Hz), on peut aussi approximer par :
  
      ${\frac {Us}{Ue}}={\frac {1}{1-{\frac {LC\omega ^{2}}{2}}}}$.
  
  Avec L l'inductance totale de la ligne, C sa capacité totale, Us et Ue les tensions à l'extrémité ouverte et à l'entrée de la ligne et $\omega$ la pulsation de la tension d'entrée, à savoir $2\pi$ fois la fréquence f.
  
  Effet Ferranti sur une ligne à 380 kV à 50 Hz (avec L = 1,01 mH/km et C = 11,48 nF/km) :
  
  | Longueur | Surtension |
  | - | - |
  | 100 km | 0,6 % |
  | 200 km | 2,3 % |
  | 300 km | 5,4 % |
  | 400 km | 9,9 % |
  
  Ce phénomène peut sembler paradoxal : les lignes électriques sont habituellement connues pour leur « chute de tension » lorsqu'elles sont parcourues par un courant — mais lorsqu'elles ne sont parcourues par aucun courant, le phénomène est inversé : l'extrémité ouverte de la ligne est à un potentiel plus élevé que celle connectée au réseau.
  
  Ce phénomène est potentiellement très destructeur pour les équipements des réseaux. On utilise des réactances shunt pour s'en prémunir.
  
  ## Cas de la ligne quart d'onde
  
  En reprenant l'expression non approximée ci-dessus, on s'aperçoit que $Us/Ue$ peut prendre une valeur infinie si $\omega ={\frac {\pi }{2{\sqrt {LC}}}}$ ou encore $f={\frac {1}{4{\sqrt {LC}}}}$.
  
  Si on note $L'$ l'inductance par kilomètre de la ligne, $C'$ sa capacité par kilomètre de la ligne, et $l$ sa longueur, on s'aperçoit que $Us/Ue$ est infini si $l={\frac {1}{4f{\sqrt {L'C'}}}}$.
  
  On peut montrer que ${\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}$ est la vitesse de propagation de l'onde électrique sur une ligne et que cette vitesse est proche de la vitesse de la lumière c.
  
  On peut aussi écrire que ${\frac {1}{f{\sqrt {L'C'}}}}$ correspond à la longueur d'onde de la propagation de l'onde électrique à la fréquence f. On obtient donc que l'effet Ferranti est infini si la longueur de la ligne est le quart de la longueur d'onde à la fréquence donnée, d'où l'expression de ligne quart d'onde.
  
  Une application numérique en supposant que ${\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}=c=$ 300 000 km/s nous montre qu'une ligne dont la longueur serait de 1 500 km aurait un effet Ferranti infini à 50 Hz. En pratique un tel phénomène est fortement atténué par les pertes. Il n'en reste pas moins qu'une ligne d'une telle longueur nécessite l'utilisation de réactances shunt pour limiter les surtensions à un niveau raisonnable, typiquement $Us/Ue<1,05$.
  
  