title: Erreur circulaire probable
text: # Erreur circulaire probable
  
  L'erreur circulaire probable (Circular Error Probability, CEP) à x % est le rayon du cercle à l'intérieur duquel se trouvent x % des valeurs d'un échantillon de mesure bidimensionnelle. On note ce pourcentage en indice (par exemple, CEP à 20 %: ${CEP}_{20}$). C'est un indicateur couramment utilisé pour spécifier la précision des tirs balistiques militaires, ou pour le positionnement par GPS.
  
  Lorsque la probabilité n'est pas spécifiée, c'est l'écart circulaire probable (ECP) à 50 % qui est donnée. Ce terme est essentiellement utilisé pour exprimer la caractéristique de la précision d’un missile ou d’un projectile, généralement un missile sol-sol, air-sol ou mer-sol longue portée utilisée comme facteur pour la détermination de l’efficacité probable d’une arme sur son objectif. La définition du AAP-21, le glossaire OTAN de termes et définitions d'arme nucléaire, radiologique, bactériologique et chimique, est celle-ci : L’écart circulaire probable se définit comme le rayon du cercle à l’intérieur duquel tomberaient 50 pour cent des projectiles ou des missiles.
  
  Par exemple, le positionnement par GPS joint au système EGNOS permet d'avoir une précision de 3 m CEP. Cela signifie que l'erreur entre la position mesurée et la position réelle est inférieure à 3 m dans 50 % des cas.
  
  Si un vecteur aléatoire bidimensionnel $\left(X,Y\right)$, dont les composantes sont indépendantes, est régi par une loi normale centrée $N\left(0,\Phi \right)$, où $\Phi$ est la matrice de variance-covariance, on peut définir la CEP de manière générale par la formule suivante :
  
  $P_{\rho }={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\det \left(\Phi \right)}}}}\iint _{x^{2}+y^{2}<\rho ^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\left(x,y\right)\Phi ^{-1}\left(x,y\right)^{T}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$
  
  où $P_{\rho }$ est la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur $\left(x,y\right)$ située à l'intérieur du cercle de rayon $\rho$.
  
  La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur à l'intérieur du cercle de rayon 2CEP est de 93,8 %, et 99,8 % pour un rayon de 3CEP.
  
  Dans le cas d'une distribution normale centrée bidimensionnelle avec les deux variances égales à $\sigma ^{2}$, on a la relation suivante :
  
  $P_{\rho }=1-e^{-\rho ^{2}/{2\sigma ^{2}}}$
  
  La CEP se calcule alors en fonction de la variance :
  
  $CEP=\sigma {\sqrt {2\ln {2}}}\approx 1,1774\sigma$
  
  