title: Graphe de Tietze
text: # Graphe de Tietze
  
  Le graphe de Tietze est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 12 sommets et 18 arêtes. Il est remarquable notamment pour ses propriétés de coloration.
  
  ## Propriétés générales
  
  ### Propriétés générales
  
  Le diamètre du graphe de Tietze, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique du graphe de Tietze est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
  
  L'indice chromatique du graphe de Tietze est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le groupe d'automorphismes du graphe de Tietze est un groupe d'ordre 12 isomorphe au groupe diédral $D_6,$ le groupe des isométries du plan conservant un hexagone régulier. Ce groupe est constitué de 6 éléments correspondant aux rotations et de 6 autres correspondant aux réflexions.
  
  Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Tietze est : $(x-3)(x-2)(x-1)^{2}(x+1)^{3}(x+2)(x^{2}+x-3)^{2}$.
  
  ## Plongement sur le tore et coloration
  
  Le graphe de Tietze peut être plongé sur un tore. Les faces du graphe ont alors la propriété qu'elles se touchent toutes deux à deux. Ceci a pour conséquence qu'une coloration d'un graphe plongeable sur un tore peut nécessiter six couleurs, ce qui contraste avec le théorème des quatre couleurs dans le cas des graphes planaires.
  
  