title: Graphe fléchette
text: # Graphe fléchette
  
  Le graphe fléchette est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 6 arêtes.
  
  Le nom de graphe fléchette est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions).
  
  ## Propriétés
  
  ### Propriétés générales
  
  Le diamètre du graphe fléchette, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 1 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il suffit de le priver d'un sommet ou d'une arête.
  
  Il est possible de tracer le graphe fléchette sur un plan sans qu'aucune de ses arêtes se croisent. Le graphe fléchette est donc planaire. C'est également un graphe distance-unité : il peut s'obtenir à partir d'une collection de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique du graphe fléchette est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  L'indice chromatique du graphe fléchette est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degrés 5. Il est égal à : $(x-2)^{2}(x-1)^{2}x$.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le groupe d'automorphismes du graphe fléchette est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.
  
  Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe fléchette est : $-x(x^{4}-6x^{2}-4x+2)$.
  
  