title: Fougère de Barnsley
text: # Fougère de Barnsley
  
  La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere.
  
  ## Construction
  
  La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines. La formule pour une application affine est la suivante :
  
      $f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$
  
  Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.
  
  | w | a | b | c | d | e | f | p | Partie générée |
  | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
  | $ƒ_1$ | 0 | 0 | 0 | 0.16 | 0 | 0 | 0.01 | Tige |
  | $ƒ_2$ | 0.85 | 0.04 | −0.04 | 0.85 | 0 | 1.60 | 0.85 | Petites folioles |
  | $ƒ_3$ | 0.20 | −0.26 | 0.23 | 0.22 | 0 | 1.60 | 0.07 | Grandes folioles de gauche |
  | $ƒ_4$ | −0.15 | 0.28 | 0.26 | 0.24 | 0 | 0.44 | 0.07 | Grandes folioles de droite |
  
  Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :
  
      $f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}$
      $f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}$
      $f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}$
      $f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}$
  
  ### Programmation de la fonction
  
  Le premier point tracé est à l'origine $(x_0$ = 0, $y_0$ = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :
  
  $ƒ_1$
  
      $x_{n+1}$ = 0
      $y_{n+1}$ = 0.16 $y_n.$
  
  Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations
  
  $ƒ_2$
  
      $x_{n+1}$ = 0.85 $x_n$ + 0.04 $y_n$
      $y_{n+1}$ = −0.04 $x_n$ + 0.85 $y_n$ + 1.6.
  
  Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.
  
  $ƒ_3$
  
      $x_{n+1}$ = 0.2 $x_n$ − 0.26 $y_n$
      $y_{n+1}$ = 0.23 $x_n$ + 0.22 $y_n$ + 1.6.
  
  Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).
  
  $ƒ_4$
  
      $x_{n+1}$ = −0.15 $x_n$ + 0.28 $y_n$
      $y_{n+1}$ = 0.26 $x_n$ + 0.24 $y_n$ + 0.44.
  
  Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).
  
  ### Variétés mutantes
  
  En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales.
  
  Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que $Polypodiidae^,.$
  
  Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.
  
  Coefficients de la fougère Cyclosorus :
  
  | w | a | b | c | d | e | f | p |
  | - | - | - | - | - | - | - | - |
  | $ƒ_1$ | 0 | 0 | 0 | 0,25 | 0 | -0,4 | 0,02 |
  | $ƒ_2$ | 0,95 | 0,005 | -0,005 | 0,93 | −0.002 | 0,5 | 0,84 |
  | $ƒ_3$ | 0.035 | −0.2 | 0,16 | 0,04 | -0,09 | 0,02 | 0,07 |
  | $ƒ_4$ | −0.04 | 0.2 | 0,16 | 0,04 | 0,083 | 0,12 | 0,07 |
  