title: Espace T1
text: # Espace T1
  
  En mathématiques, un espace accessible (ou espace $T_1,$ ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.
  
  ## Définition
  
  Un espace topologique E est $T_1$ si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y.
  
  ## Propriétés
  
  Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
  
  * E est $T_1$ ;
  * E est $T_0$ et $R_0$ ;
  * pour tout x de E, le singleton {x} est fermé ;
  * tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
  * toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent) ;
  * tout sous-ensemble fini de E est fermé ;
  * tout sous-ensemble cofini de E est ouvert ;
  * pour tout point x, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
  * tout point limite d'une partie de E est point d'accumulation de cette partie.
  
  ## Exemples
  
  * Tout espace $T_2$ est $T_1.$
  * La topologie cofinie sur un ensemble infini est $T_1$ mais pas séparée.
  