title: Fonction de Fabius
text: # Fonction de Fabius
  
  En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe $C^{\infty }$ qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1996). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de
  
      ${\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}$
  
  par Børge Jessen et Aurel Winner (1935).
  
  La fonction Fabius est définie sur l'intervalle $[0,1]$ et est donnée par la fonction de répartition de
  
      $\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},$
  
  où les $ξ_n$ sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'intervalle unité.
  
  ## Description
  
  Cette fonction satisfait la condition initiale $f(0)=0$, la condition de symétrie $f(1-x)=1-f(x)$ pour $0\leq x\leq 1,$ et l' équation différentielle fonctionnelle $f'(x)=2f(2x)$ pour $0\leq x\leq 1/2.$ Il s'ensuit que $f$ est monotone croissante pour $0\leq x\leq 1,$ avec $f(1/2)=1/2$ et $f(1)=1.$ Il existe une extension unique de f aux nombres réels qui satisfait la même équation différentielle pour tout x . Cette extension peut être définie par f (x) = 0 pour x ≤ 0, f (x + 1) = 1 − f (x) pour 0 ≤ x ≤ 1, et f (x + $2^r)$ = −f (x) pour 0 ≤ x ≤ $2^r$ avec r un entier positif. La séquence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou négative suit le même schéma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.
  
  ## Valeurs
  
  La fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possède des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.
  
  