title: Fibré adjoint
text: # Fibré adjoint
  
  En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un $G$-fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.
  
  ## Définition
  
  Soient :
  
  * $G$, un groupe de Lie ;
  * ${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
  * $B$, une variété différentielle ;
  * $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
  * $\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)$, l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
  * $\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$, la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$.
  
  ### Définition
  
  Le fibré adjoint à $P$ est le fibré associé suivant :
  
      $\mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$
  
  ## Exemples de sections du fibré associé
  
  * Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
  * Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
  * La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.
  
  ## Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint
  
  La représentation adjointe $\mathrm {Ad}$ préserve le crochet de Lie :
  
      $[\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2})]=\mathrm {Ad} _{g}[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$
  
  Étant $\mathrm {Ad}$-équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :
  
      $[\cdot ,\cdot ]:\mathrm {Ad} P\times \mathrm {Ad} P\to \mathrm {Ad} P$
  
  Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :
  
      $[\cdot ,\cdot ]:\Gamma (\mathrm {Ad} P)\times \Gamma (\mathrm {Ad} P)\to \Gamma (\mathrm {Ad} P)$
  
  Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint :
  
      $[\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(B;\mathrm {Ad} P)\times \Omega ^{q}(B;\mathrm {Ad} P)\to \Omega ^{p+q}(B;\mathrm {Ad} P)$
  