title: Graphe de Sylvester
text: # Graphe de Sylvester
  
  Le graphe de Sylvester est, en théorie des graphes, un graphe 5-régulier possédant 36 sommets et 90 arêtes.
  
  ## Propriétés
  
  ### Propriétés générales
  
  Le diamètre du graphe de Sylvester, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 5. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 5 arêtes.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique du graphe de Sylvester est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.
  
  L'indice chromatique de la matrice d'adjacence du graphe de Sylvester est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le groupe d'automorphismes du graphe de Sylvester est d'ordre 1 440.
  
  Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Sylvester est : $(x-5)(x-2)^{16}(x+1)^{10}(x+3)^{9}$. Il n'admet que des racines entières ; le graphe de Sylvester est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.
  
  