title: Graphe papillon
text: # Graphe papillon
  
  Le graphe papillon est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 6 arêtes.
  
  Le nom de graphe papillon est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions).
  
  ## Propriétés
  
  ### Propriétés générales
  
  Le diamètre du graphe papillon, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 1 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 1 sommet ou de 2 arêtes.
  
  Il est possible de tracer le graphe papillon sur un plan sans qu'aucune de ses arêtes se croisent. Le graphe papillon est donc planaire. C'est également un graphe distance-unité : il peut s'obtenir à partir d'une collection de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique du graphe papillon est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  L'indice chromatique du graphe papillon est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
  
  Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degré 5. Il est égal à : $(x-2)^{2}(x-1)^{2}x$.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le groupe d'automorphismes du graphe papillon est un groupe d'ordre 8 isomorphe au groupe diédral $D_4,$ le groupe des isométries du plan conservant un carré. Ce groupe est constitué de 4 éléments correspondant aux rotations et de 4 autres correspondant aux réflexions.
  
  Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe papillon est : $-(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}-x-4)$.
  
  