title: Fibré associé
text: # Fibré associé
  
  En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un $G$-fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.
  
  ## Définition
  
  Soient :
  
  * $G$, un groupe de Lie ;
  * $B$, une variété différentielle ;
  * $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
  * $\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)$ l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
  * $\rho :G\to \mathrm {Diff} (M)$ une action de groupe à gauche de $G$ sur une variété différentielle $M$.
  
  ### Définition
  
  Le fibré associé à $P$ pour $\rho$ est le fibré $\mathrm {pr} :E\to B$ où $E$ est défini par :
  
      $E:=P\times _{\rho }M:=(P\times M)/\sim$
  
  où la relation d'équivalence est :
  
      $(a,b)\sim (\Phi _{\lambda }(a),\rho (\lambda )^{-1}(b)),\qquad \forall a\in P,\;\forall b\in M,\;\forall \lambda \in G$
  
  ### Remarques
  
  * Les fibres de $E$ sont de fibre type $M$. Il est donc commun d'écrire le fibré $E$ comme $M\hookrightarrow E\to B$.
  * Lorsque l'action de groupe $\rho$ est une représentation de groupe $\rho :G\to \mathrm {Aut} (V)$ sur un espace vectoriel $V$, le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type $V$.
  * Lorsque $\rho$ agit trivialement sur $M$, i.e. $\rho (\lambda )=\mathrm {id} _{M}$ pour tout $\lambda \in G$, le fibré associé est trivial, i.e. $P\times _{\rho }M=B\times M$.
  
  ## Sections d'un fibré associé
  
  Donnons-nous un fibré vectoriel associé $E=P\times _{\rho }V$. Les sections $\psi \in \Gamma (E)$ du fibré $E$ sont en bijection avec les fonctions $\psi ^{\sharp }:P\to V$ qui sont $\rho$-équivariantes :
  
      $(\Phi _{\lambda })^{*}\psi ^{\sharp }=\rho (\lambda )^{-1}\circ \psi ^{\sharp },\qquad \forall \lambda \in G$
  
  Explicitement, la relation entre la section $\psi$ et la fonction $\psi ^{\sharp }$ est :
  
      $\psi (\pi (a))=[a,\psi ^{\sharp }(a)],\qquad \forall a\in P$
  
  Ici, $[\cdot ]$ dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.
  
  La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur $P$.
  
  ## Exemples
  
  * Exemple 1 :
  
  Soit $\mathrm {Fr} (B)$ le fibré des repères linéaires tangents à $B$. Point par point sur la variété $B$, les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ à l'espace tangent de $B$ :
  
      $\mathrm {Fr} _{x}(B):=\mathrm {Isom} (\mathbb {R} ^{n};T_{x}B)$
  
  Le fibré des repères $\mathrm {Fr} (B)$ est un $\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )$-fibré principal sur $B$. Considérons la représentation canonique $\rho$ du groupe structurel $\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )$ sur l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{n}$. Alors, le fibré tangent de $B$ est un fibré associé du fibré des repères :
  
      $TB=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{n}$
  
  De même, le fibré cotangent de $B$ est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :
  
      $T^{*}B=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{n})^{*}$
  * Exemple 2 :
  
  Soit $\mathbb {C} ^{\times }:=(\mathbb {C} \backslash \{0\},\cdot )$ le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un $\mathbb {C} ^{\times }$-fibré principal $P\to B$. Considérons la représentation canonique de $\mathbb {C} ^{\times }$ sur $\mathbb {C}$ :
  
      $\rho (\lambda )(z):=\lambda z,\qquad \forall \lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\forall z\in \mathbb {C}$
  
  Le fibré associé à $P$ via $\rho$ est un fibré en droites complexes $\mathbb {C} \hookrightarrow E\to B$. Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.
  
  