title: Groupe ax + b
text: # Groupe ax + b
  
  En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe $G$ ainsi défini :
  
  * ses éléments sont les couples de réels $(a,b)$ avec $a$ non nul
  * la loi de composition interne est :
  
      $(a,b)(a',b')=(aa',ab'+b)$
  
  Il est alors facile de voir que $(1,0)$ est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de $(a,b)$ est $(1/a,-b/a)$.
  
  Ce groupe peut également se représenter comme :
  
  * le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
  * le sous-groupe du groupe linéaire $GL_2(ℝ)$ constitué des éléments de la forme :
  
      $\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)$
  
  ## Fonction modulaire
  
  Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.
  
  Une mesure de Haar à gauche est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|^{2}}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$. Une mesure de Haar à droite est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$.
  
  Nous obtenons donc une fonction modulaire :
  
  $\Delta (a,b)={\frac {1}{|a|}}.$
  
  ## Représentations unitaires irréductibles
  
  Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition $a>0$, les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :
  
  * les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
  * l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ par
  
  $(a\cdot f)(x)=a^{1/2}f(ax)$
  
  et
  
  $(b\cdot f)(x)=f(x+b)$
  
  