title: Groupe opposé
text: # Groupe opposé
  
  En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe opposé est une manière de construire un groupe à partir d'un autre en renversant l'ordre de son opération interne.
  
  Plus précisément, si (G,*) est un groupe, on peut définir une autre opération interne sur G en posant
  
      $g*_{\text{op}}g':=g'*g$
  
  pour tous éléments g et g' de G. Cela définit un groupe $(G,*_{op})$ appelé groupe opposé du groupe G.
  
  ## Propriétés
  
  * (G,*) et $(G,*_{op})$ ont le même élément neutre.
  * Le symétrique d'un élément g de G est le même pour la loi * ou la loi $*_{op}.$
  * Le groupe opposé du groupe opposé de G est G lui-même.
  * Un groupe est égal à son groupe opposé si et seulement s'il est commutatif.
  * G est toujours isomorphe à son groupe opposé via l'application g ↦ $g^{-1}$ qui est un antiautomorphisme.
  * La notion de groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.
  