title: Groupe hopfien
text: # Groupe hopfien
  
  En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe $G$ pour lequel tout épimorphisme $G\to G$ est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.
  
  ## Formulations équivalentes
  
  Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe $G$ est dit co-hopfien (en) si tout monomorphisme $G\to G$ est un isomorphisme.
  
  ## Exemples de groupes hopfiens
  
  * Tout groupe fini , par un argument de comptage simple.
  * Plus généralement, un « polycyclic-by-finite group (en) », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini.
  * Tout groupe libre finiment engendré.
  * Le groupe $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels.
  * Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini.
  * Tout groupe hyperbolique.
  * Le groupe de Cremona.
  
  ## Exemples de groupes non hopfiens
  
  * Les groupes de Prüfer.
  * Le groupe $\mathbb {R}$ des nombres réels
  * Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).
  
  ## Indécidabilité
  
  En 1969, Donald J. Collins a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du théorème de Adian-Rabin (en); en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp
  
  