title: Inégalité 4/3 de Littlewood
text: # Inégalité 4/3 de Littlewood
  
  En analyse mathématique, l'inégalité 4/3 de Littlewood, nommée d'après John Edensor Littlewood, est une inégalité valable pour toute forme bilinéaire à valeurs complexes définie sur $c_{0}$, l'espace de Banach des suites réelles ou complexes qui convergent vers zéro.
  
  Plus précisément, soit $B:c_{0}\times c_{0}\to \mathbb {C}$ ou $\mathbb {R}$ une forme bilinéaire. On a alors :
  
      $\left(\sum _{i,j=1}^{\infty }|B(e_{i},e_{j})|^{4/3}\right)^{3/4}\leq {\sqrt {2}}\|B\|,$
  
  où
  
      $\|B\|=\sup\{|B(x_{1},x_{2})|:\|x_{i}\|_{\infty }\leq 1\}.$
  
  L'exposant 4/3 est optimal, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être remplacé par un exposant plus petit. Il est également connu que pour des suites réelles, la constance ${\sqrt {2}}$ est optimale aussi.
  
  ## Généralisation
  
  ### Inégalité de Bohnenblust-Hille
  
  L'inégalité de Bohnenblust-Hille est une généralisation multilinéaire de l'inégalité de Littlewood. Elle exprime que pour toute application $m$-linéaire $M:c_{0}\times \cdots \times c_{0}\to \mathbb {C}$, on a :
  
      $\left(\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{\infty }|M(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{m}})|^{2m/(m+1)}\right)^{(m+1)/(2m)}\leq 2^{(m-1)/2}\|M\|,$
  