title: Généralités sur les machines électriques
text: # Généralités sur les machines électriques
  
  Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.
  
  ## Circuit statique
  
  Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension $u\,$. On note $\varphi \,$ le flux par spire et $\Phi =N\varphi \,$ le flux total embrassé par la bobine.
  
  On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem $e={d\Phi \over dt}\,$ voir Loi de Lenz.
  
  donc on peut écrire :
  
  $u=Ri+{d\Phi \over dt}\,$
  
  En multipliant cette équation par $idt\,$ on obtient :
  
  $u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$
  
  ## Bilan des énergies
  
  Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc $dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,$
  
  Reprenons la formule plus haut $u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$ On peut identifier $dW_{e}=u.i.dt\,$ la puissance consommée et $dW_{th}=R.i^{2}.dt\,$ les pertes thermiques.
  
  Par identification on en déduit que $dW_{m}=Nid\varphi \,$. Donc :
  
  $W_{m}=\int {Nid\varphi }\,$
  
  Si on considère que le circuit est indéformable alors $dS=0\,$ avec $S\,$ = surface délimitée par le circuit.
  
  $\varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,$
  
  $Ni=\int {H.dl}=Hl$
  
  donc on en déduit $dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,$ avec $V=l.S=\,$Volume
  
  donc $W_{m}=\int {H.dB.V}$
  
  Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.
  
  donc $\Phi =Li\,$ et $B=\mu .H\,$
  
  $W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,$ si $\Phi =L.i\,$ alors $W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}$
  
  ${\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}$
  
  on pose $W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,$ avec :
  
  * $W_{m}\,$= énergie magnétique
  * $W'_{m}\,$= co-énergie
  
  dans le cas linéaire = $W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,$
  
  ## Circuit déformable ou dynamique
  
  Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.
  
  Donc : $dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,$, avec :
  
  * $dW_{e}=u.i.dt=(Ri+N{\frac {d\varphi }{dt}}).i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$
  * $dWth=R.i^{2}.dt\,$
  * $dW_{meca}=F.dx\,$ (déplacement linéaire) ou $dW_{meca}=C.d\theta \,$ (rotation)
  
  De plus on néglige les pertes fer et les frottements.
  
  donc on obtient :
  
      $R.i.dt+N.i.d\varphi =Fdx+dW_{m}\,$
      $F=(-{\frac {dW_{m}}{dt}})\varphi =cste\,$
  
  comme $W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,$
  
  