title: Icosagone
text: # Icosagone
  
  Un icosagone est un polygone à 20 sommets, donc 20 côtés et 170 diagonales.
  
  La somme des angles internes d'un icosagone non croisé vaut 3 240 degrés.
  
  L'icosagone régulier est constructible.
  
  ## Icosagones réguliers
  
  Un icosagone régulier est un icosagone dont les 20 côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les icosagrammes notés {20/3}, {20/7} et {20/9}) et un convexe (noté {20}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'icosagone régulier ».
  
  * Les trois icosagones réguliers étoilés
  * {20/3} (angle interne : 126°)
  * {20/7} (angle interne : 54°)
  * {20/9} (angle interne : 18°)
  
  ## Caractéristiques de l'icosagone régulier
  
  Chacun des 20 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{20}}=18^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {3\,240^{\circ }}{20}}=162^{\circ }$.
  
  Si a est la longueur d'une arête :
  
  * le périmètre vaut $P=20\,a$ ;
  * l'aire vaut $A=5\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)$, soit :
  
      $A=5\,a^{2}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ;
  * l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)$ ;
  * le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{20}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{20}}\right)}}$.
  
  ### Constructibilité
  
  On peut construire l'icosagone à partir du décagone (obtenu lui-même d'une façon ou d'une autre), de la même façon qu'on construit ce dernier à partir du pentagone : par bissection.
  
  On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 20 est le produit de 4 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).
  
  ## Référence
  
  * ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Icosagon », sur MathWorld.
  