title: Homopolaire
text: # Homopolaire
  
  La composante homopolaire d'une grandeur triphasée est l'une des trois composantes de la décomposition par la méthode des composantes symétriques:
  
  * Homopolaire (L'index 0 est utilisé pour l'identifier comme $V_{0}$)
  * Direct (L'index 1 est utilisé pour l'identifier comme $V_{1}$)
  * Indirect (L'index 2 est utilisé pour l'identifier comme $V_{2}$)
  
  Remarque importante : ces grandeurs sont des nombres complexes qui représentent les grandeurs sinusoïdales correspondantes (Cf. transformation complexe). On peut aussi les représenter par des vecteurs de Fresnel, auquel cas les relations ci-dessous s'écrivent sous forme vectorielle.
  
  ## Relations de bases
  
  La composante homopolaire de la tension et du courant d'un système triphasé (a, b et c) se calcule grâce à la matrice de Fortescue:
  
  $V_{0}={\frac {1}{3}}(V_{a}+V_{b}+V_{c})$
  
  $I_{0}={\frac {1}{3}}(I_{a}+I_{b}+I_{c})$
  
  Ainsi d'un système équilibré:
  
  $V_{0}=0\,$
  
  $I_{0}=0\,$
  
  Le courant de neutre $I_{n}=(I_{a}+I_{b}+I_{c})\,$ dans un branchement étoile d'une charge est donc lié au courant homopolaire par la relation:
  
  $I_{n}=3I_{0}\,$
  
  ## Impédance homopolaire
  
  ### Composants symétriques de l'impédance
  
  Soit la matrice de Fortescue $A\,$ telle que $A={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&{\underline {a}}^{2}&{\underline {a}}\\1&{\underline {a}}&{\underline {a}}^{2}\\\end{bmatrix}}$
  
  on a les relations matricielle suivantes :
  
  $I_{abc}=AI_{012}\,$
  
  $V_{abc}=AV_{012}\,$
  
  Sachant que les impédances dans un système triphasé peuvent être représentées par une matrice à 3x3 éléments et s'exprime par la relation :
  
  $V_{abc}=Z_{abc}I_{abc}\,$
  
  Alors la matrice correspondante dans la théorie des composants symétriques est:
  
  $Z_{012}=A^{-1}Z_{abc}A\,$
  
  Ce qui donne un équivalent de notre système triphasé régit par l'équation:
  
  $V_{012}=Z_{012}I_{012}\,$
  
  $Z_{0}\,$ est l'impédance propre de la composante homopolaire avec:
  
  $Z_{0}={\frac {1}{3}}(Z_{aa}+Z_{bb}+Z_{cc}+2Z_{ab}+2Z_{ac}+2Z_{bc})\,$
  
  ### Cas de la charge symétrique
  
  Une charge symétrique est une charge ou l'impédance propre est la même pour les trois phases et l'impédance mutuelle est la même entre les trois phases.
  
  $Z_{aa}=Z_{bb}=Z_{cc}\,$
  
  $Z_{ab}=Z_{ac}=Z_{bc}\,$
  
  Ainsi, toute la puissance des composants symétriques se révèlent ici car l'impendance transformé par Fortescue est diagonale avec les composantes diagonales:
  
  * Impédance homopolaire $Z_{0}=Z_{aa}+2Z_{ab}\,$
  * Impédance direct et indirect $Z_{1}=Z_{2}=Z_{aa}-Z_{ab}\,$
  
  ### Cas de la charge équilibrée en étoile avec neutre relié à la terre
  
  Les tensions sont exprimées par rapport à la tension 0 de la terre. L'impédance entre le neutre et la terre est $Z_{n}$ et l'impédance d'une phase est $Z_{Y}\,$. Ainsi :
  
  $V_{a}=V_{an}+V_{ng}=Z_{Y}I_{a}+Z_{n}I_{n}=(Z_{Y}+Z_{n})I_{a}+Z_{n}I_{b}+Z_{n}I_{c}\,$
  
  Ce cas est en fait un cas de charge symétrique avec:
  
  $Z_{aa}=Z_{bb}=Z_{cc}=Z_{Y}+Z_{n}\,$
  
  $Z_{ab}=Z_{ac}=Z_{bc}=Z_{n}\,$
  
  Et donc:
  
  * Impédance homopolaire $Z_{0}=Z_{Y}+3Z_{n}\,$
  * Impédance direct et indirect $Z_{1}=Z_{2}=Z_{Y}\,$
  
  Si le neutre n'est pas relié à la terre, $Z_{0}=\infty \,$ qui est représenté par un interrupteur ouvert dans la représentation schématique des composants symétriques.
  
  ## Flux homopolaire
  
  Les courants homopolaires créent des composantes de flux magnétiques dites homopolaires au sein d'un circuit magnétique.
  
  