title: J-invariant
text: # J-invariant
  
  Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.
  
  ## Motivation : birapport et j-invariant
  
  On travaille dans le plan complexe projectif (en) $\mathbb {C} P^{1}$. Soient quatre points distincts $a,b,c,d$, leur birapport est :
  
      $(a,b,c,d)={\frac {a-c}{a-d}}\cdot {\frac {b-d}{b-c}}$
  
  Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
  
  Par exemple, le birapport de $(m,1,0,\infty )$ peut valoir, selon l'ordre considéré :
  
      $m,1/m,1-m,1-1/m,1/(1-m),m/(m-1)$
  
  Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :
  
      $j(m)={\frac {4}{27}}{\frac {(1-m+m^{2})^{3}}{m^{2}(1-m)^{2}}}$
  
  que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.
  
  ## j-invariant de courbes elliptiques
  
  Soit X une courbe elliptique non singulière sur $\mathbb {C} P^{1}$, de forme de Weierstrass :
  
      $X:y^{2}=x^{3}+q_{2}x+q_{3}$
  
  ayant pour discriminant $\Delta =-4q_{2}^{3}-27q_{3}^{2}\neq 0$.
  
  Le j-invariant associé est
  
      $j=1728{\frac {-4q_{2}^{3}}{\Delta }}$
  
  Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.
  
  La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.
  
  