title: Image directe
text: # Image directe
  
  L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : X
  
  → Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :
  
  $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.$
  
  ## Exemples
  
  * On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :$\mathrm {Im} (f)=f(X).$
  * On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f.
  * Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.
  
  ## Propriétés élémentaires
  
  * Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$,$f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).$Plus généralement, pour toute famille $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,$f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).$
  * Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$,$f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective. On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$, on a $f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})$.
  
  Plus généralement, pour toute famille non vide $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,
  
  $f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$
  
  * Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque $f^{−1}(B)$ ; plus précisément :$f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm {Im} (f).$En particulier, si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.
  
      On peut même prouver que $f$ est surjective si et seulement si pour toute partie $B$ de $Y$ on a $f(f^{-1}(B))=B$.
      (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
  * Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :$A\subset f^{-1}(f(A))$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective. On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A$ de $X$, on a $A=f^{-1}(f(A))$.
  * Si l'on considère de plus une application $g:Y\rightarrow Z$, alors l'image directe d'une partie A de X par la composée $g\circ f:X\to Z$ est :
  
      $(g\circ f)\left(A\right)=g(f(A))$.
  