title: J (nombre complexe)
text: # J (nombre complexe)
  
  En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.
  
  ${\rm {j}}=\exp \left({\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}},$ où exp désigne l'exponentielle complexe.
  
  Le nombre j ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire i qui est souvent notée j en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est i).
  
  ## Propriétés
  
  Le nombre j possède certaines propriétés remarquables :
  
  * comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à $j^2)$ ;
  * les racines cubiques de l'unité sont 1, j et $j^2$ ; leur somme est nulle car j est racine du polynôme $X^3$ – 1 = (X – $1)(X^2$ + X + 1) ;
  * dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, j et $j^2$ forment un triangle équilatéral ;
  * le calcul de $j^3$ ramène par définition à $j^3$ = 1.
  
  ## Application au calcul des racines cubiques
  
  Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si z est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont j z et $j^2z.$
  
  