title: Bialgèbre
text: # Bialgèbre
  
  En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.
  
  ## Définition
  
  Si $k$ est un corps, une bialgèbre est un $k$-espace vectoriel $B$ muni de quatre applications linéaires :
  
  * un produit $\mu :B\otimes B\longrightarrow B$,
  * une unité $\eta :k\longrightarrow B$,
  * un coproduit $\Delta :B\longrightarrow B\otimes B$,
  * une counité $\epsilon :B\longrightarrow k$.
  
  telles que $(B,\mu ,\eta )$ soit une algèbre et $(B,\Delta ,\epsilon )$ une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
  
  * $\Delta$ et $\epsilon$ sont des morphismes d'algèbres.
  * $\mu$ et $\eta$ sont des morphismes de coalgèbres.
  
  ## Motivations
  
  La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.
  
  