title: Constante de Gelfond
text: # Constante de Gelfond
  
  En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant $e^π,$ c'est-à-dire e à la puissance π.
  
  Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or
  
      ${\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}$
  
  (En considérant, la détermination principale de l'argument).
  
  Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, $2^{√2}.$
  
  ## Valeur numérique
  
  Sous forme décimale, la constante est égale à
  
      ${\rm {e}}^{\pi }\approx 23,140692632.$
  
  Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération
  
      $k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}$
  
  où $k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$
  
  Après N itérations, l'approximation est donnée par
  
      $\left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.$
  
  ## Développement décimal remarquable
  
  Le nombre
  
      ${\rm {e}}^{\pi }-\pi =19,99909998\ldots$
  
  est un nombre presque entier.
  
  