title: Commutant
text: # Commutant
  
  En algèbre, le commutant d'un sous-ensemble $X$ d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble $X'$ des éléments de A qui commutent avec tout élément de $X$. Autrement dit,
  
      $X'=\{a\in A~|~\forall x\in X,xa=ax\}.$
  
  En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.
  
  ## Propriétés
  
  Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application ${\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(A),X\mapsto X'$ permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième en est une conséquence.
  
  * $X\subset Y'\Leftrightarrow Y\subset X'$
  * $(X\subset Y\Rightarrow Y'\subset X')$ et $X\subset X''$
  * $X'''=X'~$
  * Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.
  