title: Bicommutant
text: # Bicommutant
  
  En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée $X'$, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : $X''$.
  
  ## Propriétés
  
  Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :
  
  * le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
     * $X\subset X''$
     * $X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''$
     * $(X'')''=X''~$
  * $X'''=X'~$, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de
  
      $X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X'$ et de $X'\subset (X')''$.
  
  On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :
  
      $X\subset X''=X''''=X''''''=\ldots =X^{2n}=\ldots$
      $X'=X'''=X'''''=\ldots =X^{2n-1}=\ldots$
  
  pour tout entier n ≥ 1.
  
  ## Note et référence
  
  * ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8.
  