title: Constante de Lebesgue (séries de Fourier)
text: # Constante de Lebesgue (séries de Fourier)
  
  Dans l'étude des séries de Fourier, les constantes de Lebesgue permettent de quantifier la qualité de l'approximation.
  
  ## Définition
  
  On se place, sans perte de généralité, sur l'intervalle [–π, π]. On considère une fonction f intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre n de sa série de Fourier :
  
      $S_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)~{\rm {d}}t,\quad {\text{avec}}\quad D_{n}(t)={\frac {\sin(2n+1){\frac {t}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}$ (noyau de Dirichlet).
  
  Si, pour tout t réel, |f(t)| ≤ 1, alors :
  
      $|S_{n}(f,x)|\leqslant {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }|D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t=:\mathrm {L} _{n}$.
  
  C'est cette valeur $L_n$ qui est appelée la n-ième constante de Lebesgue. Elle est optimale, même en se restreignant aux fonctions f continues.
  
  Léopold Fejér en a trouvé une autre expression :
  
      $\mathrm {L} _{n}={\frac {1}{2n+1}}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m}}\tan {\frac {m\pi }{2n+1}}$.
  
  ## Estimations
  
  Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont :
  
  * $\mathrm {L} _{0}=1$ ;
  * $\mathrm {L} _{1}={\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\approx 1{,}435991$ (suite A226654 de l'OEIS) ;
  * $\mathrm {L} _{2}={\frac {1}{5}}+{\frac {\sqrt {25-2{\sqrt {5}}}}{\pi }}\approx 1{,}642188$ ( A226655).
  
  On sait que :
  
      $\mathrm {L} _{n}={\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln(2n+1)+c+o(1)$ avec
      $c={\frac {4}{\pi ^{2}}}\!\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\ln k}{4k^{2}-1}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}\right)\approx 0{,}989433$ ( A243277), où Γ est la fonction gamma.
  