title: Cotangente
text: # Cotangente
  
  La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.
  
  ## Définition
  
  Géométriquement, dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AB :
  
      $\cot {\hat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}}$
  
  En trigonométrie :
  
      $\cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }$
  
  ## Propriétés
  
  La fonction cotangente vérifie l'égalité :
  
      $1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x$
  
  ### Dérivée
  
  La dérivée de la cotangente est :
  
      $\cot 'x=-\csc ^{2}x$
  
  ### Primitive
  
  La primitive de la cotangente est :
  
      $\int \cot x\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C$
  
  ### Développement en série
  
  On a le développement en série de Laurent, où $B_k$ désigne le ke nombre de Bernoulli
  
      $\cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{n}$
  
  mais aussi
  
      $\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}$
  
  dont on déduit
  
      $\cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}$
  