title: Limites de référence
text: # Limites de référence
  
  Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.
  
  En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition $D\,\!$ donc si $a\in D\,\!$, on a $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\,\!$.
  
  ## Fonctions polynomiales et rationnelles
  
  ### Fonctions constantes
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\lambda \\\end{array}}$ avec $\lambda \in \mathbb {R}$ | $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lambda \,\!$ |
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  ### Monômes...
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{n}\\\end{array}}$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ | En $+\infty \,\!$ : $\lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty \,\!$ En $-\infty \,\!$ : Pour $n$ pair : $\lim _{x\to -\infty }x^{n}=+\infty \,\!$ Pour $n$ impair : $\lim _{x\to -\infty }x^{n}=-\infty \,\!$ |
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  ### ...et leurs inverses
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} ^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &{\cfrac {1}{x^{n}}}\\\end{array}}$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ | En $\pm \infty \,\!$ : $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0\,\!$ En $0\,\!$ les fonctions ne sont pas définies : Pour $n$ pair : $\lim _{x\to 0 \atop x\neq 0}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty \,\!$ Pour $n$ impair : $\lim _{x\to 0 \atop x<0}{\frac {1}{x^{n}}}=-\infty \,\!$ $\lim _{x\to 0 \atop x>0}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty \,\!$ |
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  ### Polynômes
  
  Les limites en $\pm \infty \,\!$ d'une fonction polynomiale $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,\!$ avec $a_{n}\neq 0\,\!$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré $a_{n}x^{n}\,\!$, dit terme prédominant.
  
  On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de $n\,\!$ et le signe de $a_{n}\,\!$.
  
  ### Monômes de puissance quelconque
  
  Puissances positives :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{\alpha }\\\end{array}}$ avec $\alpha >0$ | $\lim _{x\to +\infty }x^{\alpha }=+\infty$ Cas particulier : ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$, donc $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x}}=+\infty$ |
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  Puissances négatives :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{\alpha }\\\end{array}}$ avec $\alpha <0$ | $\lim _{x\to 0 \atop x>0}x^{\alpha }=+\infty$ $\lim _{x\to +\infty }x^{\alpha }=0$ |
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  ## Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances
  
  ### Logarithmes
  
  Logarithme népérien (ou naturel) :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\ln(x)\end{array}}$ | $\lim _{x\to 0 \atop x>0}\ln(x)=-\infty$ $\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$ |
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  Logarithme de base $a$ :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\log _{a}(x)\end{array}}$ avec $a>0$ | Base $a>1$ : $\lim _{x\to 0 \atop x>0}\log _{a}(x)=-\infty \,\!$ $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}(x)=+\infty \,\!$ Base $a<1$ : $\lim _{x\to 0 \atop x>0}\log _{a}(x)=+\infty \,\!$ $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}(x)=-\infty \,\!$ |
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  ### Exponentielle et puissance d'un réel positif
  
  La fonction exponentielle :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &{\rm {e}}^{x}\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }{\rm {e}}^{x}=0$ $\lim _{x\to +\infty }{\rm {e}}^{x}=+\infty$ |
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  Fonction exponentielle de base a :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &a^{x}={\rm {e}}^{x\ln a}\end{array}}$ avec $a>0$ | Base $a>1$ : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\,\!$ $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty \,\!$ Base $a<1$ : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty \,\!$ $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=0\,\!$ |
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  ## Fonctions trigonométriques et hyperboliques
  
  ### Fonctions trigonométriques
  
  Tangente :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} \setminus \left\{{\cfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\tan(x)={\cfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\end{array}}$ Remarque : $\mathbb {R} \setminus \left\{{\cfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}={\underset {k\in \mathbb {Z} }{\bigcup }}\left]k\pi -{\cfrac {\pi }{2}};k\pi +{\cfrac {\pi }{2}}\right[$ | Pour tout entier relatif $k\in \mathbb {Z}$ : $\lim _{x\to -{\frac {\pi }{2}}+k\pi \atop x>-{\frac {\pi }{2}}+k\pi }\tan(x)=-\infty$ $\lim _{x\to +{\frac {\pi }{2}}+k\pi \atop x<+{\frac {\pi }{2}}+k\pi }\tan(x)=+\infty$ |
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  Cotangente :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} \setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\cot(x)={\cfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}\end{array}}$ Remarque : $\mathbb {R} \setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}={\underset {k\in \mathbb {Z} }{\bigcup }}\left]k\pi ;(k+1)\pi \right[$ | Pour tout entier relatif $k\in \mathbb {Z}$ : $\lim _{x\to k\pi \atop x>k\pi }\cot(x)=-\infty$ $\lim _{x\to (k+1)\pi \atop x<(k+1)\pi }\cot(x)=+\infty$ |
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  Autres fonctions trigonométriques :
  
  ### Fonctions hyperboliques
  
  Sinus hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {sinh} (x)={\cfrac {{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}{2}}\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {sinh} (x)=-\infty$ $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {sinh} (x)=+\infty$ |
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  Cosinus hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {cosh} (x)={\cfrac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{2}}\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {cosh} (x)=+\infty$ $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {cosh} (x)=+\infty$ |
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  Tangente hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {tanh} (x)={\cfrac {\operatorname {sinh} (x)}{\operatorname {cosh} (x)}}\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {tanh} (x)=-1$ $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {tanh} (x)=1$ |
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  ### Fonctions réciproques
  
  Arc tangente :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\arctan(x)\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}$ $\lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}$ |
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  Argument sinus hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {arsinh} (x)\end{array}}$ | $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {arsinh} (x)=-\infty$ $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {arsinh} (x)=+\infty$ |
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  Argument cosinus hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&[1;+\infty [&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {arcosh} (x)\end{array}}$ | $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {arcosh} (x)=+\infty$ |
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  Argument tangente hyperbolique :
  
  | ${\begin{array}{ccccc}f&:&]-1;1[&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {artanh} (x)\end{array}}$ | $\lim _{x\to -1}\operatorname {artanh} (x)=-\infty$ $\lim _{x\to 1}\operatorname {artanh} (x)=+\infty$ |
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  ## Suites usuelles
  
  Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=f(n)\,\!$
  
  ou alors définie par son premier terme $u_{0}\in \mathbb {R} \,\!$ et une relation de récurrence :
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=\varphi (u_{n})\,\!$
  
  Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction $f\,\!$ en $+\infty \,\!$ ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.
  
  ### Suites arithmétiques
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=u_{n}+r\,\!$
  
  Dans ce cas $\varphi (x)=x+r\,\!$ et $r\in \mathbb {R} \,\!$ est appelé la raison de la suite $u\,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_{n}\,\!$ : $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=u_{0}+nr\,\!$.
  
  * Si $r>0\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!$
  * Si $r<0\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=-\infty \,\!$
  
  ### Suites géométriques
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=qu_{n}\,\!$
  
  Dans ce cas $\varphi (x)=qx\,\!$ et $q\in \mathbb {R} \,\!$ est encore appelé la raison de la suite $u\,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_{n}\,\!$ : $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=q^{n}u_{0}\,\!$.
  
  * Si $|q|<1\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=0\,\!$
  * Si $q=1\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=u_{0}\,\!$
  * Si $q>1\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!$
  * Si $q<-1\,\!$ alors $u\,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
  
      $\lim _{n\to +\infty }(u_{2n})=+\infty \,\!$
      $\lim _{n\to +\infty }(u_{2n+1})=-\infty \,\!$
  
  ### Suites arithmético-géométriques
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=qu_{n}+r\,\!$
  
  Dans ce cas $\varphi (x)=qx+r\,\!$ (avec $q\neq 1\,\!$) et on peut donner une expression directe de $u_{n}\,\!$ : $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=q^{n}u_{0}+r{\frac {q^{n}-1}{q-1}}\,\!$.
  
  * Si $|q|<1\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})={\frac {r}{1-q}}\,\!$
  * Si $q>1\,\!$ on a : $\lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!$
  * Si $q<-1\,\!$ alors $u\,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
  
      $\lim _{n\to +\infty }(u_{2n})=+\infty \,\!$
      $\lim _{n\to +\infty }(u_{2n+1})=-\infty \,\!$
  
  ### Suites homographiques
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}\,\!$
  
  Dans ce cas $\varphi (x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!$ (avec $c\neq 0\,\!$ et $ad-bc\neq 0\,\!$) et on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant $\Delta =(a-d)^{2}+4bc\,\!$ de l'équation$\varphi (x)=x\,\!$.
  
  * Si $\Delta <0\,\!$ la suite ne peut pas avoir de limite.
  * Si $\Delta =0\,\!$ la seule limite $\ell \,\!$ possible est ${\frac {a-d}{2c}}\,\!$.
  * Si $\Delta >0\,\!$ les seules limites $\ell \,\!$ possibles sont ${\frac {a-d-{\sqrt {\Delta }}}{2c}}\,\!$ ou ${\frac {a-d+{\sqrt {\Delta }}}{2c}}\,\!$.
  
  Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial $u_{0}\,\!$ la distance $|u_{n}-\ell |\,\!$ pour chaque valeur éventuelle de $\ell \,\!$.
  
  