title: Boson de Schwinger
text: # Boson de Schwinger
  
  Les bosons de Schwinger sont des particules fictives introduites par Julian $Schwinger^,pour$ représenter les opérateurs de spin en mécanique quantique au moyen du formalisme de seconde quantification.
  
  Soient $b_{\sigma }$avec $\sigma =\uparrow ,\downarrow$les opérateurs d'annihilation des bosons de spin $\sigma$, et $b_{\sigma }^{\dagger }$les opérateurs de création. Les opérateurs de spin $S$ sont donnés par les relations
  
  $S^{+}=S_{x}+iS_{y}=b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\downarrow }$
  
  $S^{-}=S_{x}-iS_{y}=b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\uparrow }$
  
  $S^{z}={\frac {1}{2}}(b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }-b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow })$
  
  avec la contrainte $b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }+b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow }=2S$. Si on élimine la contrainte pour avoir une seule espèce de boson, on retrouve le formalisme d'Holstein et Primakoff.
  
  ## Généralisations
  
  Le formalisme des bosons de Schwinger, initialement appliqué à l'étude des représentations du groupe $SU(2)$, peut se généraliser au cas des groupes $SU(N),N\geq 3$ et permet de construire leurs représentations irréductibles.
  
  ## Applications en physique de la matière condensée
  
  Le formalisme des bosons de Schwinger est utilisé dans la théorie de l'antiferromagnétisme pour traiter les systèmes où les fluctuations sont $importantes^,.$ Il permet en particulier de reproduire le gap de Haldane et les états de bord dans la chaîne de spin-1 antiferromagnétique. Sur un réseau bipartite, on peut remplacer les spins $SU(2)$ par des spins $SU(N)$ dans la représentation fondamentale sur un des sous réseaux, et par des spins dans la représentation conjuguée sur l'autre sous-réseau, puis prendre la limite $N\to +\infty$ dans laquelle l'approximation de champ moyen devient exacte. Sur un réseau non-bipartite, qui peut se rencontrer dans le magnétisme frustré, la généralisation adaptée consiste à replacer les spins $SU(2)$ par des spins $Sp(N)$correspondant à un groupe symplectique.
  
  