title: Boson esclave
text: # Boson esclave
  
  Un boson esclave est, en physique quantique, un boson fictif qui a été introduit dans le contexte de la théorie des fermions fortement $corrélés^,$ pour prendre en compte les contraintes de non-double occupation.
  
  ## Formalisation
  
  Si on considère un modèle (par exemple le modèle t-J) dans lequel il existe une contrainte :
  
  $\sum _{\sigma }n_{i,\sigma }\leq 1$,
  
  où $n_{i,σ}$ = 0,1 est un nombre d'occupation fermionique, σ = $\uparrow ,\downarrow$, la contrainte interdit d'avoir dans l'état i un fermion de spin $\uparrow$ et un fermion de spin $\downarrow$ simultanément, d'où son nom de contrainte de non-double occupation. Pour prendre en compte cette contrainte de façon approchée dans le formalisme de seconde quantification, il est commode d'élargir l'espace de Hilbert en introduisant des opérateurs de création et d'annihilation pour des bosons et fermions fictifs.
  
  Si les opérateurs de création des fermions initiaux sont $c^†_{i,σ},$ on introduit les opérateurs de création des bosons et des fermions fictifs par :
  
  $c_{i,\sigma }^{\dagger }=b_{i}f_{i,\sigma }^{\dagger }$
  
  et :
  
  $c_{i,\sigma }=b_{i}^{\dagger }f_{i,\sigma }$
  
  où $b_{i}$annihile un boson sur le site $i$ et $f_{i,\sigma }$annihile un fermion de spin $\sigma$ sur le site $i$.
  
  L'espace des états physiques est défini par la nouvelle contrainte :
  
  $b_{i}^{\dagger }b_{i}+\sum _{\sigma }f_{i,\sigma }^{\dagger }f_{i,\sigma }=1$
  
  Les opérateurs de bosons $b_{i}$sont invariants par rotation de spin $SU(2)$ tandis que les fermions $f_{i\sigma }$portent le spin-1/2. Il est possible d'associer entièrement la charge aux bosons qui représentent alors des holons tandis que les fermions représentent des spinons.
  
  Le hamiltonien exprimé en fonction des nouveaux opérateurs est traité par une approximation du champ moyen, en remplaçant $b_{i}\to \langle b\rangle$, et $b_{i}^{\dagger }\to \langle b\rangle ^{*}$. La contrainte permet de fixer $|\langle b\rangle |^{2}$ en fonction de la densité moyenne des fermions.
  
  ## Critique et généralisation
  
  Cette approximation de champ moyen est critiquable dans la mesure où elle brise une symétrie de jauge continue, en contradiction avec le théorème d'Elitzur. Cependant, appliquée à la transition métal-isolant, elle donne le même résultat que l'approximation de Gutzwiller.
  
  Cette méthode a été généralisée au modèle de Hubbard en introduisant quatre types différents de bosons esclaves par Kotliar et Ruckenstein. D'autre part, il existe aussi une méthode de fermions esclaves.
  
  