title: Covariance de Matérn
text: # Covariance de Matérn
  
  En statistique, la fonction de covariance de Matérn, nommée d'après Bertil Matérn, est une fonction de covariance utilisée dans l'analyse statistique des espaces métriques.
  
  ## Définition
  
  Entre deux points séparés d'une distance d, la covariance de Matérn s'écrit: $C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)$ avec Γ la fonction gamma, $K_ν$ la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, ρ et ν des paramètres strictement positifs.
  
  En prenant $\nu ={\frac {1}{2}}$, on retrouve la fonction de covariance exponentielle $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d/\rho }$.
  
  En prenant $\nu \rightarrow \infty$, on retrouve la fonction de covariance gaussienne $C_{\infty }(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d^{2}/2\rho ^{2}}$.
  
  ## Densité spectrale
  
  Le spectre de puissance d'un process à covariance de Matérn sur $\mathbb {R} ^{n}$ est la transformée de Fourier (en dimension n) de la fonction de covariance de Matérn (par le théorème de Wiener-Khintchine), soit:
  
      $S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.$
  