title: M-matrice
text: # M-matrice
  
  En mathématiques, une M-matrice est une matrice carrée réelle qui est à la fois une P-matrice et une Z-matrice, ce qui signifie que tous ses mineurs principaux sont strictement positifs et que ses éléments extra-diagonaux sont négatifs. D'autres caractérisations peuvent être utilisées, dont certaines sont données ci-dessous.
  
  Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire et dans certaines discrétisations d'opérateurs différentiels, en particulier ceux obéissant à un principe du maximum, comme le laplacien.
  
  Cette classe de matrices semble avoir été introduite par Alexander Ostrowski en référence à Hermann Minkowski.
  
  ## Définitions
  
  La notion de M-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes. On utilise ci-dessous les notions de Z-matrice, de P-matrice et de S-matrice.
  
  M-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une M-matrice si c'est une Z-matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que $M\in \mathbf {Z}$ :
  
  * $M\in \mathbf {P}$,
  * $M\in \mathbf {S}$,
  * $M$ est inversible et $M^{-1}\geqslant 0$ (tous les éléments de son inverse sont positifs),
  * toutes les valeurs propres de $M$ ont une partie réelle strictement positive.
  
  On note M l'ensemble des M-matrices d'ordre quelconque. On appelle M-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à M.
  
  ## Propriétés
  
  ### Algèbre linéaire
  
  Les facteurs LU d'une M-matrice existent et peuvent être calculés de manière stable, sans pivotage. Cette propriété a également lieu pour la factorisation LU incomplète.
  
  ### Complémentarité linéaire
  
  Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\geqslant 0,$ tel que $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top \!}(Mx+q)=0.$ Dans cette définition, $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $q\in \mathbb {R} ^{n},$ $x^{\!\top \!}$ est le transposé de $x$ et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit
  
  ${\mbox{CL}}(M,q)\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$
  
  L'ensemble admissible de ce problème est noté
  
  ${\mbox{Adm}}(M,q):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.$
  
  L'importance des M-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire provient du résultat suivant.
  
  M-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, les propriétés suivantes sont équivalentes :
  
  * $M\in \mathbf {M}$,
  * pour tout $q$, $\operatorname {Adm} (M,q)$ contient un minimum (pour l'ordre $\leqslant$ de $\mathbb {R} ^{n}$) qui est l'unique solution de $\operatorname {CL} (M,q)$,
  * pour tous vecteurs $q^{1}\leqslant q^{2}$, les solutions ${\bar {x}}^{i}$ de $\operatorname {CL} (M,q^{i})$ vérifient ${\bar {x}}^{1}\geqslant {\bar {x}}^{2}$.
  