title: Dodécaèdre adouci
text: # Dodécaèdre adouci
  
  Le dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.
  
  Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre.
  
  ## Relations géométriques
  
  Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.
  
  ## Coordonnées cartésiennes
  
  Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de
  
      $(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )\,$,
      $\left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}+\varphi \right),\pm \left(-\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right)\right)$,
      $\left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right),\pm \left(-\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta -{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)$,
      $\left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right),\pm \left(\alpha -{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)$ et
      $\left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi -\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right)\right)$,
  
  avec un nombre pair de signes plus, où
  
      $\alpha =\xi -{\frac {1}{\xi }}$
  
  et
  
      $\beta =\xi \varphi +\varphi ^{2}+{\frac {\varphi }{\xi }}$,
  
  où $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le nombre d'or et $\xi \,$ est la solution réelle de $\xi ^{3}-2\xi =\varphi \,$, qui est le nombre
  
      $\xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}$
  
  ou approximativement 1,7155615.
  
  On notera que, parmi les 6 permutations de 3 coordonnées, les permutations paires sont les 3 permutations circulaires.
  
  Prendre les permutations impaires des coordonnées ci-dessus, ou les mêmes permutations avec un nombre impair de signes plus, donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.
  
  