title: Ensemble de sous-niveau
text: # Ensemble de sous-niveau
  
  En mathématiques, en particulier en analyse, en analyse convexe, en optimisation et en topologie différentielle (théorie de Morse), un ensemble de sous-niveau d'une fonction définie sur un ensemble $\mathbb {E}$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\overline {\mathbb {R} }}$ est l'ensemble des points où elle prend une valeur inférieure à un niveau $\nu \in \mathbb {R}$ donné :
  
  $S_{\nu }(f):=\{x\in \mathbb {E} :f(x)\leqslant \nu \}.$
  
  Un ensemble de sous-niveau particulier est l'ensemble arg min$_{x\in \mathbb {E} }f(x)$ des minimiseurs de $f$.
  
  ## Propriétés
  
  * Une fonction définie sur un espace topologique à valeurs dans ${\overline {\mathbb {R} }}$ est fermée (on dit aussi semi-continue inférieurement) si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveaux sont fermés.
  * Une fonction est quasi-convexe si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveau sont convexes.
  