title: Nombre de Salem
text: # Nombre de Salem
  
  En mathématiques, un entier algébrique réel strictement supérieur à 1 est un nombre de Salem si tous ses conjugués ont un module inférieur ou égal à 1, et au moins un conjugué a un module égal à 1. Les nombres de Salem apparaissent en approximation diophantienne et en analyse harmonique. Ils sont nommés en l'honneur de Raphaël Salem.
  
  ## Propriétés
  
  * Comme il a une racine de module 1, le polynôme minimal d'un nombre de Salem α doit être égal à son polynôme réciproque. Il en résulte que :
     * $^1⁄_α$ fait partie des conjugués de α (donc est, lui aussi, un entier algébrique)
     * tous les conjugués de α ont un module égal à 1, sauf α et $^1⁄_α.$
  * Le plus petit nombre de Salem connu est la plus grande racine réelle du polynôme de Lehmer :
  
      $X^{10}+X^{9}-X^{7}-X^{6}-X^{5}-X^{4}-X^{3}+X+1~.$
      Ce nombre vaut approximativement 1,17628.
      On ignore s'il existe un plus petit nombre de Salem.
  