title: Espace d'ordres
text: # Espace d'ordres
  
  Un espace d’ordres est un concept mathématique qui généralise la notion d’ordre sur un ensemble. Il s’agit d’un couple formé d’un groupe multiplicatif d’exposant fini et d’un sous-ensemble fermé de son dual topologique qui vérifie certains axiomes.
  
  ## Définitions
  
  On se donne un groupe multiplicatif d'exposant $2$, c’est-à-dire $\forall g\in G$, on a $g^{2}=1$ (on note $1$ le neutre).
  
  On distingue un élément remarquable $-1$ de $G$, dit élément distingué. On munit $G$ de la topologie discrète.
  
  On note ${\widehat {G}}=Hom(G,\mathbb {C} )$ le groupe topologique dual de $G$, qui est compact.
  
  Par la nilpotence des éléments de $G$ que $Hom(G,\mathbb {C} )=Hom(G,\mathbb {Z} _{2})$ avec $\mathbb {Z} _{2}=\{1,-1\}$ vu comme groupe multiplicatif.
  
  On se donne maintenant un sous-ensemble non vide $X\subset {\widehat {G}}$.
  
  Le couple $(X,G)$ est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés :
  
  ${\mathcal {O}}_{1}$ $X$ est un fermé de ${\widehat {G}}$
  
  ${\mathcal {O}}_{2}$ $\sigma (-1)=-1,~\forall ~\sigma \in X$
  
  ${\mathcal {O}}_{3}$ $\sigma (g)=1,~\forall ~\sigma \in X\Rightarrow g=1$.
  
  L'axiome ${\mathcal {O}}_{3}$ est dit axiome de séparation, i.e. $X$ sépare les éléments de $G$.
  
  ## Exemples
  
  Dans le cas où $G$ est le groupe multiplicatif $\mathbb {Z} _{2}=(\pm 1,\times )$.
  
  L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial $E$ constitué d'un seul élément.
  
  