title: Nombre de Newman-Shanks-Williams
text: # Nombre de Newman-Shanks-Williams
  
  En mathématiques, un nombre de Newman-Shanks-Williams (parfois abrégé « nombre NSW ») est un entier naturel de la forme :
  
  $S_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}{\text{, avec }}n\in \mathbb {N} .$
  
  Ces nombres furent initialement décrits par Morris Newman, Daniel Shanks et Hugh C. Williams (de) en 1981, pendant l'étude des groupes finis simples d'ordre carré.
  
  ## Propriétés
  
  La suite d'entiers $(S_n)$ peut être décrite par la relation de récurrence linéaire suivante :
  
      $S_{0}=1,\quad S_{1}=1{\text{ et }}\forall n\geq 2\quad S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}.$
  
  Les premiers termes de la suite sont 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ... (suite A001333 de l'OEIS).
  
  Ces nombres apparaissent aussi dans la fraction continue de √2.
  
  ## Nombres premiers NSW
  
  Les cinq premiers nombres premiers NSW sont : 7, 41, 239, 9 369 319 et 63 018 038 201 (suite A088165 de l'OEIS), correspondant aux indices (nécessairement premiers) 3, 5, 7, 19 et 29 (suite A005850 de l'OEIS).
  
  