title: Module de relaxation
text: # Module de relaxation
  
  En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.
  
  ## Introduction
  
  La contrainte $\sigma$ à un temps $t$ ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :
  
      $\sigma (t)=\eta \ {\dot {\gamma }}(t)$.
  
  Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation $G(t)$ (ou $E(t)$) :
  
      $\sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}G(t-t'){\dot {\gamma }}(t')dt'$.
  
  Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.
  
  Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation $G(t)$ vaut :
  
      $G(t)=G_{0}\ e^{-t/\tau }$
  
  où $\tau ={\frac {\eta }{E}}$ est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.
  
  ## Annexe : grandeurs complexes
  
  ### Module complexe
  
  Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :
  
      $\gamma (t)=\gamma _{0}\ e^{i\omega t}$
  
  ce qui amène à une contrainte complexe :
  
      $\sigma (t)=i\omega \gamma (t)\int _{0}^{\infty }G(x)exp(-i\omega x)dx=G^{*}(t)\gamma (t)$
  
  avec :
  
      $x=t-t'$ ;
      $G^{*}$, le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :
      $G^{*}(\omega )=G'(\omega )+iG''(\omega )$
  
  où :
  
      $G'$ est le module de conservation ;
      $G''$ est le module de perte.
  
  Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :
  
      $\tan \delta ={\frac {G''}{G'}}$
  
  où $\delta$ est l'angle de phase ou de perte.
  
  Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.
  
  ### Viscosité complexe
  
  Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :
  
      $\sigma =\eta ^{*}(\omega )\ {\dot {\gamma }}=(\eta '(\omega )-i\eta ''(\omega ))\ {\dot {\gamma }}$
  
  avec :
  
      $\eta '={\frac {G''}{\omega }}$, associée au module de perte,
      $\eta ''={\frac {G'}{\omega }}$, associée au module de conservation.
  