title: Ensemble totalement ordonné
text: # Ensemble totalement ordonné
  
  En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.
  
  ## Définition
  
  Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre $\preceq$. Rappelons que toute relation d'ordre $\preceq \,$ vérifie les propriétés suivantes :
  
  * (réflexivité) $\forall x,\ x\preceq x$ ;
  * (transitivité) $\forall x,y,z,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq z{\bigr )}\Rightarrow x\preceq z$ ;
  * (antisymétrie) $\forall x,y,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq x{\bigr )}\Rightarrow x=y$.
  
  $(E,\preceq )$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de $(E,\preceq )$ sont comparables pour $\preceq$ :
  
  * $\forall x,y,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ ou\ } y\preceq x{\bigr )}$.
  
  ## Exemples
  
  * L'ensemble $E={\bigl \\ \emptyset ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}{\bigr \}}$ des parties de $\{1,2\}$ est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, $E$ n'est pas totalement ordonné : $\{1\}$ et $\{2\}$ ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
  * L'ensemble $\mathbb {R} \,$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle $\leq$ est totalement ordonné.
  