title: Multirésolution
text: # Multirésolution
  
  En mathématiques, une approximation multirésolution désigne une suite de sous-espaces vectoriels vérifiant un ensemble de caractéristiques.
  
  ## Définition
  
  Une suite $(V_{j})_{j\in \mathbb {Z} }$ de sous-espaces vectoriels fermés de $L^2(R)$ est une approximation multirésolution si elle vérifie les cinq propriétés suivantes :
  
  * $\forall j\in \mathbb {Z} \quad V_{j+1}\subset V_{j}$
  * ${\overline {\bigcup _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}}=L^{2}(\mathbb {R} ){\text{ et }}\bigcap _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}=\{0\}$
  * $\forall j\in \mathbb {Z} \quad f\in V_{j}\iff f(2\cdot )\in V_{j+1}$
  * $\forall (j,k)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad f\in V_{j}\iff f(\cdot -2^{-j}k)\in V_{j}$
  * Il existe $\theta \in V_{0}$ tel que $\left(\theta (\cdot -n)_{n\in \mathbb {Z} }\right)$ soit une base de Riesz de $V_{0}$.
  
  ## Référence
  
  * ↑ (en) Stéphane Mallat, « Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of $L^2(R)$ », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 315, $n^o$ 1,‎ 1989, p. 69-87 (DOI 10.2307/2001373, lire en ligne).
  