title: Famille intersectante
text: # Famille intersectante
  
  En mathématiques, une famille intersectante sur un ensemble E est une famille de parties de E deux à deux non disjointes, c'est-à-dire telle que l'intersection de deux quelconques de ces parties soit non vide.
  
  ## Exemples
  
  * Si n < 2r, les parties de l'ensemble {1, 2, … , n} qui ont un cardinal supérieur ou égal à r forment une famille intersectante sur cet ensemble (et sur tout sur-ensemble).
  * Toute sous-famille d'une famille intersectante est intersectante.
  * Tout filtre est une famille intersectante.
  
  ## Propriétés
  
  * Le cardinal d'une famille intersectante sur un ensemble à n éléments est trivialement inférieur ou égal à $2^{n–1}.$
  * Une famille intersectante à n éléments maximale (dont la cardinalité est $2^{n–1})$ est une section commençante et l'ensemble des compléments des éléments de la famille forme une section finissante.
  * On appelle k-famille intersectante une famille intersectante dont toutes les parties ont k éléments. Le théorème d'Erdős-Ko-Rado précise le cardinal maximum d'une k-famille intersectante, sur un ensemble à n éléments.
  * D'après un théorème de Daniel Kleitman, la réunion de m familles intersectantes, sur un ensemble à n éléments, contient au plus $2^n$ – $2^{n–m}$ parties.
  