title: Espace d'Arens-Fort
text: # Espace d'Arens-Fort
  
  L'espace d'Arens-Fort, nommé d'après les mathématiciens Richard Friederich Arens et Marion Kirk Fort (en), est un espace topologique particulier qui sert souvent de contre-exemple.
  
  ## Définition
  
  On considère l'ensemble $ℕ^2$ des couples d'entiers naturels. Pour tout entier n, appelons « n-ième colonne » le sous-ensemble de tous les couples dont la première composante est égale à n. L'espace d'Arens-Fort est l'ensemble $ℕ^2$ muni de la topologie dont les ouverts sont
  
  * les parties qui ne contiennent pas le point (0, 0),
  * les parties dont « presque toute » colonne contient « presque tous » les entiers, où « presque tous » signifie ici : tous sauf un nombre fini.
  
  ## Propriétés
  
  * L'espace d'Arens-Fort est complètement normal.
  * Seules ses parties finies sont compactes. Il en résulte qu'il n'est pas compactement engendré, si bien qu'il n'est ni localement compact, ni séquentiel (en particulier, il n'est pas métrisable).
  * Il est trivialement séparable, σ-compact et de Lindelöf.
  * Tout point autre que (0, 0) est isolé, donc toute partie contenant (0, 0) est fermée et l'espace est de dimension zéro.
  * Aucun voisinage de (0, 0) n'est connexe.
  * Le point (0, 0) n'a pas de base de voisinages dénombrable.
  * Les seules suites convergentes sont les suites stationnaires, car une suite $(v_n)$ à valeurs distinctes de (0, 0) ne peut pas converger vers ce point : c'est immédiat si $(v_n)$ ne prend ses valeurs que dans un nombre fini de colonnes et sinon, soit $(w_n)$ une sous-suite de $(v_n)$ comportant au plus un point par colonne, alors $ℕ^2$ privé de l'ensemble des $w_n$ est un voisinage de (0, 0) donc $(w_n)$ ne converge pas vers (0, 0) et a fortioti $(v_n)$ non plus.
  * Le point (0, 0) est pourtant valeur d'adhérence de toute suite exhaustive d'éléments de $ℕ^2\{(0,$ 0)}.
  * L'espace n'est pas extrêmement discontinu (en), car l'adhérence de l'ouvert U constitué par exemple des colonnes impaires n'est pas un ouvert : c'est l'ensemble U∪{(0, 0)}.
  