title: Paradoxe de Landé
text: # Paradoxe de Landé
  
  Le "paradoxe" de Landé fut proposé par Landé pour affirmer que la relation de De Broglie n'est pas une équation covariante de Galilée. La solution à ce paradoxe de la dualité onde-particule se trouve en le caractère projectif des représentations en mécanique quantique non-relativiste.
  
  ## Le paradoxe
  
  La relation de De Broglie est :
  
      $p={\frac {h}{\lambda }}$.
  
  Classiquement, pour une particule de masse $m$, la quantité de mouvement $p$ et la longueur d'onde $\lambda$ se transforment de la façon suivante sous une transformation de Galilée :
  
      ${\begin{cases}p\to p+mv=p'\\\lambda \to \lambda =\lambda '\end{cases}}$
  
  En effet, une onde classique, de fréquence $\nu$, est représentée par
  
      $f(x,t)=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]$.
  
  Et alors, sous une transformation de Galilée pure :
  
      ${\begin{cases}x\to x+vt=x'\\t\to t=t'\end{cases}}$
  
  l'onde classique respecte
  
      ${\begin{aligned}f'(x',t')&=f(x,t)\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'-vt'}{\lambda }}-\nu t'\right)\right]\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'}{\lambda }}-\left(\nu +{\frac {v}{\lambda }}\right)t'\right)\right]\end{aligned}}$
  
  c'est-à-dire que la longueur d'onde se transforme de la façon mentionnée ci-haut ($\lambda '=\lambda$) , et la fréquence $\nu '=\nu +{\frac {v}{\lambda }}$(c'est l'effet Doppler non-relativiste).
  
  Le problème est le suivant : L'imposition de la covariance de la théorie implique qu'on doit avoir, en particulier :
  
      $p'={\frac {h}{\lambda '}}\quad \Rightarrow \quad p+mv={\frac {h}{\lambda }}$
  
  ce qui n'est bien sûr pas respecté pour toute transformation de Galilée non triviale (avec $v\neq 0$).
  
  ## Solution au "paradoxe"
  
  L'erreur était de supposer que $f'(x',t')=f(x,t)$. Ceci est vrai pour une onde classique, mais ne tient plus dans un cadre quantique. En effet, les représentations en mécanique quantique non-relativiste (covariante de Galilée) sont des représentations projectives. Elles obéissent donc à l'équation suivante :
  
      $\psi '(x',t')=\exp \left[{\frac {2\pi i}{h}}m\left({\frac {1}{2}}v^{2}t+vx\right)\right]\psi (x,t)$
  
  Pour une onde générale normalisée, $\psi (x,t)=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]$ :
  
      ${\begin{aligned}\psi '(x',t')&=\exp \left[2\pi ix\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i(x'-vt)\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it'\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x'}{\lambda '}}-\nu 't'\right)\right]~,\\&\quad {\text{o}}{\grave {\text{u}}}~~\lambda '=\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)^{-1}~,\quad \nu '=\nu +{\frac {v}{\lambda }}+{\frac {mv^{2}}{2h}}\end{aligned}}$
  
  Et ainsi, on comprend qu'une onde en mécanique quantique, contrairement à une onde classique, voit sa fréquence et sa longueur d'onde modifiées sous une transformation de Galilée pure.
  
  Il n'y a donc pas de vrai paradoxe.
  
  