title: Espace de Cantor
text: # Espace de Cantor
  
  En mathématiques, plus précisément en topologie, on appelle espace de Cantor l'espace produit $K=\{0,1\}^{\mathbb {N} }$, où $\{0,1\}$ est muni de la topologie discrète.
  
  ## Propriétés
  
  * C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes) et totalement discontinu, qui a la propriété suivante :
  
      Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de K.
  
  Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable totalement discontinus. On en déduit que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
  
  * L'espace de Cantor est de dimension 0.
  * D'après un théorème de Brouwer, tout compact métrisable non vide totalement discontinu et parfait (c.-à-d. sans point isolé) lui est homéomorphe (par exemple : l'ensemble de Cantor). Un corollaire est que si X est un espace localement compact mais non compact, à base dénombrable, totalement discontinu et parfait (par exemple : l'espace de Cantor privé d'un ensemble fini non vide de points), alors le compactifié d'Alexandrov de X est homéomorphe à l'espace de Cantor.
  * C'est un sous-espace de l'espace de Baire $N^N$ (qui est naturellement muni d'une distance ultramétrique) et du cube de Hilbert [0, $1]^N.$
  * C'est aussi, en probabilités, l'espace canonique sur lequel on construit le jeu de pile ou face.
  * Il a la puissance du continu, et on démontre par exemple que tout borélien non dénombrable d'un compact métrisable a la puissance du continu, en prouvant qu'il contient un sous-espace homéomorphe à K (le théorème d'isomorphisme de Kuratowski est plus puissant).
  