title: Fonction de von Mangoldt
text: # Fonction de von Mangoldt
  
  En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.
  
  ## Définition
  
  La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée $\Lambda$, est définie sur $\mathbb {N} ^{*}$ par
  
      $\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ pour un nombre premier }}p{\mbox{ et un entier }}k\geq 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$
  
  Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.
  
  Elle satisfait l'identité
  
      $\ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)$ ou, ce qui est équivalent, $\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln(d)$,
  
  où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où $\mu$ désigne la fonction de Möbius.
  
  ## Fonction de Tchebychev
  
  La « fonction sommatoire de von Mangoldt » $\psi$, aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par
  
      $\psi (x):=\sum _{p^{k}\leq x}\ln p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \ln p$.
  
  Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour $\psi (x)\,$, impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à $\psi (x)\sim x\quad (x\to +\infty )$.
  
  ## Séries de Dirichlet
  
  La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est
  
      $\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}\,{\frac {1}{n^{s}}}$
  
  pour $\Re (s)>1$. Sa dérivée logarithmique est donc :
  
      ${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$.
  
  Plus généralement, sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$, on a
  
      $F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\ln n=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{d\mid n}\Lambda (d)$ et si $f$ est complètement multiplicative, on en déduit
      $F'(s)=-F(s)\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {f(d)\Lambda (d)}{d^{s}}}$.
  
  ## Transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev
  
  La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :
  
      ${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,{\rm {d}}x$
  
  qui reste vraie pour $\Re (s)>1$.
  
  ## Série exponentielle
  
  L'équivalent $\psi (x)\sim x$ (voir supra) se réécrit :
  
      $\sum _{n\leq x}\left(\Lambda (n)-1\right)=o(x)$.
  
  Hardy et Littlewood ont examiné la série
  
      $F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)\mathrm {e} ^{-ny}$.
  
  Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que
  
      $F(y)=O\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)$
  
  et que
  
      $F(y)=\Omega _{\pm }\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)$.
  
  Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur $K>0$ telle que chacune des inégalités
  
      $F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}}$ et $F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}$
  
  est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour $y<10^{-5}$.
  
  ## La moyenne de Riesz
  
  La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par
  
      $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)$
      $=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds$
      $={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$.
  
  Ici, $\lambda$ et $\delta$ sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre $c>1$. La somme sur $\rho$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série $\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$.
  
  