title: Exponentielle complexe
text: # Exponentielle complexe
  
  L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.
  
  Pour tout nombre complexe z, la série entière
  
  $\sum _{n\geqslant 0}{z^{n} \over n!}$
  
  est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée $e^z$ ou exp(z).
  
  ## Propriétés
  
  On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe.
  
  Le module et l'argument de $e^{x+iy}$ (pour x et y réels) sont respectivement $e^x$ et y mod 2π.
  
  Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :
  
      $\forall y\in \mathbb {R} ,\ \exp(\mathrm {i} y)=\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)$
  
  dont on peut déduire :
  
      $\forall z=x+\mathrm {i} y\in \mathbb {C} ,\ \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\exp(\mathrm {i} y)=\exp(x)[\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)]$
  