title: Paradoxe de Borel
text: # Paradoxe de Borel
  
  Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel-Kolmogorov) est un paradoxe de la théorie des probabilités en rapport avec les probabilités conditionnelles et les densités de probabilité.
  
  Supposons que nous ayons deux variables aléatoires, X et Y, de densité de probabilité conjointe $p_{X,Y}(x,y).$ Nous pouvons former la densité conditionnelle de Y sachant X,
  
      $p_{Y|X}(y|x)={\frac {p_{X,Y}(x,y)}{p_{X}(x)}}$
  
  où $p_X(x)$ est la loi marginale appropriée.
  
  En utilisant le théorème du changement de variable, nous pouvons paramétrer la loi conjointe avec les fonctions U= f(X,Y), V = g(X,Y), et pouvons alors former la densité conditionnelle de V sachant U.
  
      $p_{V|U}(v|u)={\frac {p_{V,U}(u,v)}{p_{U}(u)}}$
  
  Étant donné une condition particulière sur X et la condition équivalente sur U, l’intuition nous suggère que les densités conditionnelles $p_{Y|X}(y|x)$ et $p_{V|U}(v|u)$ devraient être identiques. Ce n’est pas le cas en général.
  
  ## Un exemple concret
  
  ### Une loi uniforme
  
  Soit la densité de probabilité conjointe
  
      $p_{X,Y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1,\quad -y<x<1-y\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  La densité marginale de X se calcule
  
      $p_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1+x,&-1<x\leq 0\\1-x,&0<x<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est
  
      $p_{Y|X}(y|x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{1+x}},&-1<x\leq 0,\quad -x<y<1\\\\{\frac {1}{1-x}},&0<x<1,\quad 0<y<1-x\\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  qui est uniforme suivant y.
  
  ### Nouveau paramétrage
  
  Maintenant, appliquons la transformation suivante :
  
      $U={\frac {X}{Y}}+1\qquad \qquad V=Y.$
  
  En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons
  
      $p_{U,V}(u,v)=\left\{{\begin{matrix}v,&0<v<1,\quad 0<u\cdot v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  La distribution marginale se calcule et est égale à
  
      $p_{U}(u)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},&0<u\leq 1\\\\{\frac {1}{2u^{2}}},&1<u<+\infty \\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est
  
      $p_{V|U}(v|u)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<u\leq 1,\quad 0<v<1\\2u^{2}v,&1<u<+\infty ,\quad 0<v<{\frac {1}{u}}\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  qui n’est pas uniforme suivant v.
  
  ### Le résultat non intuitif
  
  D'après ce qui précède, nous avons
  
      $p_{Y|X}(y|x=0)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  La condition équivalente dans le système de coordonnées u-v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est
  
      $p_{V|U}(v|u=1)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$
  
  Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais
  
      $p_{Y|X}(y|x=0)\neq p_{V|U}(v|u=1).$
  