title: Méthode de Halley
text: # Méthode de Halley
  
  En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. $C^2).$ La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley, est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.
  
  ## Énoncé
  
  Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer
  
      $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}$
  
  à partir d'une valeur $x_0$ proche de a.
  
  Au voisinage de a, la suite vérifie :
  
      $|x_{n+1}-a|<K|x_{n}-a|^{3}$,
  
  avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.
  
  ## Déduction
  
  La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction $g=f/{\sqrt {f'}}$ :
  
      $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}$,
  
  avec
  
      $g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},$
  
  d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.
  
  