title: Opérations sur les équivalents
text: # Opérations sur les équivalents
  
  Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.
  
  ## Règles simples
  
  ### Produit
  
      Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}g_{2}$.
  
  On en déduit, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ :
  
  * pour tout $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$, $\lambda f\,{\underset {a}{\sim }}\,\lambda g$ ;
  * pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}$.
  
  ### Quotient
  
  En supposant, pour que les quotients soient définis, que $f_{2}$ et $g_{2}$ ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :
  
      si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {f_{1}}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {g_{1}}{g_{2}}}$.
  
  En particulier :
  
      si $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {1}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g_{2}}}$.
  
  ### Puissances
  
  En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
  
      si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ alors, pour tout $\alpha \in \mathbb {C}$, $f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }$.
  
  ## Composition
  
  ### Composition à droite par une même fonction
  
  Si $\lim _{a}h=b$ et si $f\,{\underset {b}{\sim }}\,g$ alors $f\circ h\,{\underset {a}{\sim }}\,g\circ h$.
  
  ### Quelques cas de composition à gauche
  
  Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.
  
  **Somme, différence**
  
  Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}{\text{ et }}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ et si (au voisinage de a) $g_{1}$ et $g_{2}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}+g_{2}$.
  
  **Composition à gauche par le logarithme**
  
  En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
  
      si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si $\lim _{a}g=+\infty$ ou $\lim _{a}g=0$ (ou plus généralement : si $g$ « ne s'approche pas » de 1), alors $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.
  
  **Composition à gauche par l'exponentielle**
  
  ${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}\Leftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0$.
  
  ## Primitives
  
  Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a, alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a.
  
  Supposons $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ avec (par exemple) f et g positives, et soit $\varepsilon >0$. Il existe un intervalle voisinage de a sur lequel on a $|f-g|\leq \varepsilon g$. Alors, pour $x$ dans cet intervalle, on a
  
  $\left|\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t-\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t\right|\leq \varepsilon \int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t,$
  
  ce qui prouve que
  
  $\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t\,{\underset {a}{\sim }}\,\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t.$
  
  ## Contre-exemples
  
  ### Somme, différence
  
  Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.
  
  Par exemple, $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $(1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)$.
  
  ### Composition à gauche par l'exponentielle
  
  De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire ${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}$.
  
  En effet, $f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\not \Rightarrow \lim _{a}(f-g)=0$ (voir supra).
  
  Par exemple, $1\,{\underset {x\to \infty }{=}}\,o(x)$ mais $\lim _{+\infty }1\neq 0$.
  
  ### Composition à gauche par le logarithme
  
  De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.
  
  En effet, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,1$ alors (voir supra) $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,f-1$, or en général $f-1\,{\underset {a}{\nsim }}\,0$.
  
  Par exemple $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $x\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,0$.
  
  L'hypothèse que $g$ « ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.
  
  ### Dérivation
  
  Si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que $f'\,{\underset {a}{\sim }}\,g'$.
  
  Par exemple quand x tend vers 0, $f(x)=1+x$ et $g(x)=1$ sont équivalentes, mais $f'(x)=1$ et $g'(x)=0$, donc $f'\,{\underset {0}{\nsim }}\,g'$.
  
  