title: Couplage de deux oscillateurs électriques
text: # Couplage de deux oscillateurs électriques
  
  Soit un oscillateur simple de Thomson : entre la masse (point O) et le point A une branche contenant un condensateur de capacité C ; entre A et O une inductance L : l'équation électrique du circuit est celle d'un oscillateur harmonique de pulsation (dite de Thomson) telle que :
  
  $LC\omega _{0}^{2}=1$
  
  Si on place dans la branche du condensateur un générateur de pulsation variable (on dit modulé en pulsation), la réponse en intensité marquera une résonance intense à la pulsation de Thomson, dont la largeur sera régulée par la petite résistance parasite de l'inductance.
  
  ## Couplage par mutuelle-inductance
  
  Soit symétriquement un oscillateur identique : entre la masse (point O) et A' un condensateur de capacité C ; entre A' et O une inductance L.
  
  On place les deux bobines en regard de sorte que le flux de champ magnétique B1 de la première passe dans l'autre et réciproquement. Il y a induction mutuelle de valeur M.
  
  M/L s'appelle la constante de couplage des deux oscillateurs.
  
  * Si on écarte les deux bobines, M tend vers zéro : le couplage est faible.
  * Si on les rapproche, le couplage augmente (mais M/L reste toujours inférieur à 1, comme le montre la théorie de l'induction).
  
  Il y a donc un circuit avec deux intensités, I1 (de O vers A) dans la branche contenant le générateur, et I2 (de O vers A') dans la branche contenant le deuxième condensateur. On dit que les deux oscillateurs sont couplés par inductance. Les équations électriques des 2 circuits couplés font apparaître pour I1(t) un courant sinusoïdal de module I1 dépendant de la pulsation du générateur, avec deux pulsations de résonance et une pulsation d'anti-résonance intermédiaire :
  
  $(L+M)C\omega _{g}^{2}=1$
  
  $LC\omega _{a}^{2}=1$
  
  $(L-M)C\omega _{u}^{2}=1$
  
  Les indices g et u signifient gerade et ungerade, selon la notation internationale pour symétrique et antisymétrique. L'indice a est pour dire anti-résonance : le deuxième circuit joue le rôle de « bouchon » pour le passage du courant I1 dans le premier circuit (« notch » en anglais).
  
  L'expérience est très jolie à voir (pour ceux qui le peuvent) si on a pris soin de bloquer la pulsation d'antirésonance au milieu de l'écran de l'oscilloscope : quand M = 0, on a la simple résonance, très classique. Quand on rapproche les bobines, la raie se dédouble quasi-symétriquement, conformément à la formule donnée par les calculs d'impédances en série et/ou en parallèle :
  
  $I_{1}(p)=E.Y_{e}(p)$, pris en module
  
  où l'admittance d'entrée complexe vaut :
  
  $Y_{e}(p)={\frac {Lp(p^{2}+\omega _{a}^{2})}{(L^{2}-M^{2})(p^{2}+\omega _{g}^{2})(p^{2}+\omega _{u}^{2})}}$ ,
  
  c’est-à-dire imaginaire pure et conforme au théorème de Foster (certes, il a été fait abstraction des résistances parasites).
  
  