title: Parapluie de Whitney
text: # Parapluie de Whitney
  
  Le parapluie de Whitney est une surface présentant des auto-intersections dans l'espace ambiant de dimension 3. Elle doit son nom au mathématicien américain Hassler Whitney, qui a étudié cet objet au travers de ses travaux sur les singularités d'applications différentiables.
  
  ## Formules
  
  Les équations paramétriques de cette surface sont données en coordonnées cartésiennes par
  
      ${\begin{aligned}x(u,v)&=uv\\y(u,v)&=u\\z(u,v)&=v^{2}\end{aligned}}$
  
  où les paramètres u et v décrivent l'ensemble des réels. Cette surface est contenue dans celle donnée par l'équation implicite :
  
      $x^{2}=y^{2}z$
  
  mais cette dernière inclut l'axe des z (aussi appelé poignée du parapluie), alors que la représentation paramétrique impose que z soit positif.
  
  ## Propriétés
  
  Il s'agit d'un objet d'étude important en théorie des singularités. Les applications génériques opérant sur des 2-variétés et à valeurs dans $R^3$ ne présentent que deux types de singularités stables : les lignes où se recoupent la surface et le parapluie de Whitney (plus précisément le point inférieur). On doit à Whitney lui-même cette classification.
  
  Le parapluie de Whitney est une surface réglée et même un conoïde droit, de directrice une parabole d'axe parallèle à son axe.
  
  