title: Q-matrice
text: # Q-matrice
  
  En mathématiques, une Q-matrice est une matrice carrée réelle apportant des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Ce sont celles qui assurent l'existence d'une solution de ces problèmes (une définition plus précise est donnée ci-dessous).
  
  On ne connaissait pas en 2013 de caractérisation algébrique de ces matrices, permettant de les reconnaître.
  
  ## Définition
  
  ### Quelques notations
  
  Pour un vecteur $v\in \mathbb {R} ^{n}$, la notation $v\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes $v_{i}$ du vecteur sont positives.
  
  On note $\mathbb {R} _{+}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0\}$ l'orthant positif de $\mathbb {R} ^{n}$.
  
  ### Problème de complémentarité
  
  Étant donnés une matrice réelle carrée $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ et un vecteur $q\in \mathbb {R} ^{n}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in \mathbb {R} ^{n}$ tel que $x\geqslant 0$, $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top }(Mx+q)=0$, ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
  
  ${\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$
  
  ### Q-matrice
  
  Q-matrice — On dit qu'une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une Q-matrice si, quel que soit $q\in \mathbb {R} ^{n}$, le problème $\operatorname {CL} (M,q)$ a une solution.
  
  On ne connait pas de caractérisation algébrique de la Q-matricité.
  
  