title: Représentation P
text: # Représentation P
  
  En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :
  
  ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle$
  
  Comme l'opérateur ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :
  
  ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle$
  
  Dans cette représentation, l'opérateur de position $\mathbf {\hat {x}}$ dans l'espace à une dimension est tel que :
  
  $\langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$
  
  Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
  
  $\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$
  
  Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement $x$.
  
  ## Commutateur [X,P]
  
  Le commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est défini par :
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}$
  
  On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle$
  
  En réalisation P, cela s'écrit :
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$
  
  La dérivée d'un produit $uv$ étant $(uv)'=u'v+uv'$, cela donne :
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )$
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle$
  
  La valeur du commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est donc :
  
  $[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar$
  
  Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.
  
  