title: Diagrammes de Haigh et de Goodman
text: # Diagrammes de Haigh et de Goodman
  
  Le diagramme de Haigh et le diagramme de Goodman sont des outils utilisés pour le dimensionnement en fatigue de systèmes mécaniques.
  
  ## Utilisation
  
  Le domaine de la fatigue requiert de nombreux essais mécaniques. Même si l'on se restreint au cas d'une pièce soumise à un état de contrainte uniaxial variant de manière sinusoïdale, la durée de vie de la pièce, exprimée en nombre de cycles N, dépend des niveaux de contrainte. Ces niveaux de contrainte peuvent s'exprimer de manière équivalente par :
  
  * les valeurs extrêmes $σ_{min}$ et $σ_{max}$ ;
  * la valeur moyenne $σ_m$ et l'amplitude de contrainte $σ_a$ ;
  * la valeur moyenne $σ_m$ et l'étendue de contrainte Δσ, avec Δσ = $2σ_a$ ;
  * le rapport de contrainte R et l'amplitude de contrainte $σ_a,$ avec R = $σ_{min}/σ_{max}.$
  
  Un matériau donné est habituellement caractérisé par trois batteries d'essais :
  
  * l'essai de traction simple, qui permettent en particulier de déterminer la limite d'élasticité $R_e$ et la résistance à la traction $R_m$ ;
  * des essais de traction-compression purement alternées, à R = -1, qui permettent de tracer une courbe de Wöhler ;
  * des essais pour déterminer la limite d'endurance $σ_D$ (ou SaD) ; $σ_D$ est la valeur de $σ_a$ en dessous de laquelle la durée de vie vis-à-vis de la fatigue est réputée « infinie », ou tout du moins supérieure à la valeur de censure choisie (dix millions de cycles pour les aciers).
  
  Pour une étude appliquée, il convient de faire un essai dans les conditions se rapprochant le plus des conditions de mise en service de la pièce. On effectue pour cela des essais de traction-compression pour un rapport de contrainte R se rapprochant des conditions réelles. Mais ces essais demandent un grand nombre d'éprouvettes et durent longtemps, ce qui pose des problèmes de coût et de délais.
  
  L'accumulation de données et d'essais sur les matériaux métalliques, en particulier les aciers et les alliages d'aluminium, ont permis de déterminer une relation
  
      $σ_D$ = $ƒ(σ_m).$
  
  Pour des classes de matériaux bien connus, cette loi peut être déterminée à partir de deux essais de base à R = 1 (traction simple) et R = -1. Graphiquement, cela se représente soit par le diagramme de Haigh, soit par le diagramme de Goodman.
  
  ## Présentation des diagrammes
  
  Considérons un essai à un R et un $σ_a$ donné. On a :
  
      $\mathrm {R} ={\frac {\sigma _{\min }}{\sigma _{\max }}}={\frac {\sigma _{\mathrm {m} }-\sigma _{\mathrm {a} }}{\sigma _{\mathrm {m} }+\sigma _{\mathrm {a} }}}$
  
  d'où
  
      $\sigma _{\mathrm {m} }=\sigma _{\mathrm {a} }{\frac {1+\mathrm {R} }{1-\mathrm {R} }}$
  
  donc, lorsque l'on trouve la limite d'endurance $σ_D(R)$ — qui est une valeur particulière de $σ_a$ —, on peut en déduire la valeur $σ_m$ correspondante.
  
  On utilise alors :
  
  * le diagramme de Haigh, sur lequel la sollicitation est représentée par un point $(σ_m,$ $σ_a)$ ;
  * le diagramme de Goodman, sur lequel la sollicitation est représentée par un segment de droite joignant les points $(σ_m,$ $σ_{min})$ et $(σ_m,$ $σ_{max}),$ soit $[(σ_m,$ $σ_m$ - $σ_a)$ ; $(σ_m,$ $σ_m$ + $σ_a)].$
  
  Sur ces diagrammes, on peut tracer les cas limite $σ_a$ = $σ_D(R).$
  
  Ainsi, si l'on est dans un cas donné $(σ_m$ = a ; $σ_a$ = b),
  
  * on place le point (a ; b) dans le diagramme de Haigh ; si ce point est dans la zone de validation, alors on considère que la conception est validée, que la pièce va résister ;
  * on place le segment [(a ; a - b) ; (a ; a + b)] — segment centré sur le point (a ; a) — ; si le segment est l'intérieur de la zone de validation, alors on considère que la conception est validée, que la pièce va résister.
  
  ## Diagrammes simplifiés
  
  Pour le diagramme de Haigh, on a une courbe limite passant par les points
  
  * (0 ; $σ_D(R$ = -1)), cas de l'essai purement alterné, et
  * $(R_m$ ; 0), cas de l'essai de traction simple.
  
  On peut modéliser cette courbe limite par :
  
  * la droite de Goodman : $σ_a$ = $σ_D(R$ = -1)×(1 - $σ_m/R_m)$ ;
  * la droite de Soderberg, qui est un cas plus prudent, « sévérisé », où l'on se limite à la limite d'élasticité $R_e$ : $σ_a$ = $σ_D(R$ = -1)×(1 - $σ_m/R_e)$ ;
  * la parabole de Gerber : $σ_a$ = $σ_D(R$ = -1)×(1 - $(σ_m/R_m)^2)$ ;
  * la méthode VDI : c'est un domaine bilinéaire, avec un segment de droite [(0 ; $σ_D(R$ = -1)) ; $(R_m$ - $σ_D(R$ = -1)/2 ; $σ_D(R$ = -1)/2)], et un segment de droite $[(R_m$ - $σ_D(R$ = -1)/2 ; $σ_D(R$ = -1)/2) ; $(R_m$ ; 0)].
  
  Pour les aciers, on utilise en général
  
  * la droite de Goodman si $R_m$ > 1 300 MPa ;
  * la parabole de Gerber si $R_m$ < 1 200 MPa.
  
  Pour le diagramme de Goodman, on a deux courbes, passant toutes les deux par le point $(R_m$ ; $R_m).$ L'arc du haut passe par le point (0 ; $σ_D(R$ = -1)), l'arc du bas passe par le point (0 ; $-σ_D(R$ = -1)).
  
  On utilise fréquemment la simplification de Goodman_Smith, dans laquelle chaque arc est remplacé par une loi bilinéaire :
  
  * on place le point $(R_e$ ; $R_e),$ et les droites joignant le point $(R_m$ ; $R_m)$ aux points (0 ; $σ_D(R$ = -1)), et (0 ; $-σ_D(R$ = -1)) ;
  * on trace un segment horizontal partant du point $(R_e$ ; $R_e)$ et s'arrêtant sur la droite du haut, appelons ce point d'intersection A ;
  * on reporte le point d'intersection ainsi déterminé sur la droite du bas (point ayant la même abscisse), on appelle ce point B ;
  * on a donc une ligne brisée [(0 ; $σ_D(R$ = -1)) ; A ; $(R_e$ ; $R_e)],$ et une autre [(0 ; $-σ_D(R$ = -1)) ; B ; $(R_e$ ; $R_e)],$ qui forment la frontière de Goodman-Smith.
  