title: Pondération inverse à la distance
text: # Pondération inverse à la distance
  
  La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.
  
  Une forme courante pour trouver une valeur interpolée u à partir d'un point donné x en utilisant la PID comme fonction d'interpolation : $u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}}},$
  
  où : $w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}},$
  
  est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard, x étant le point à interpoler, $x_k$ est un point d'interpolation (connu), $u_k$ la valeur de la fonction u au point $x_k,$ d est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation $x_k$ au point à interpoler x, N est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et p est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de p donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour 0 < p < 1, en u(x), on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation $x_k,$ alors que pour p > 1, le pic devient plus pointu. Le choix de p est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.
  
  ## Pondération de Shepard
  
  La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés {x, u(x)} et k tuples de points d'interpolation ${x_k,$ $u_k},$ définis comme : $\phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},$
  
  dérivé de la condition de minimisation : ${\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0$.
  
  La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.
  
  Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").
  
  ## Autres pondérations
  
  ### Pondération de Łukaszyk-Karmowski
  
  Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par Łukaszyk aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :
  
  $w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))^{\frac {1}{2}}}},$ où $D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})$ est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.
  
  ### Pondération de Franke-Little
  
  Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke, qui suggère d'utiliser : $w_{k}(\mathbf {x} )=\max \left(1-{\frac {d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}{R}},0\right),$ comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.
  
  