title: Racine carrée fonctionnelle
text: # Racine carrée fonctionnelle
  
  En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction g est une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x.
  
  ## Notation
  
  Des notations possibles pour indiquer que f est une racine carrée fonctionnelle de g sont f = $g_{[1/2]}$ et f = $g_{1/2}.$
  
  ## Historique
  
  * La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle (en), a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950.
  * Les solutions de f(f(x)) = x sur $\mathbb {R}$ (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage. Une solution particulière est f(x) = (b − x)/(1 + cx) pour bc ≠ −1. Babbage remarqua que pour une solution f donnée, sa conjuguée topologique $Ψ^{−1}$ ∘ f ∘ Ψ par une fonction inversible quelconque Ψ est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.
  
  ## Solutions
  
  Un procédé pour produire des racines n-ièmes fonctionnelles pour des n quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de $Schröder^,^,.$
  
  ## Exemples
  
  * f(x) = $2x^2$ est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = $8x^4.$
  * Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, g(x) = $T_n(x),$ est f(x) = cos(√n arccos(x)), qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
  * f(x) = x/(√2 + x(1 − √2)) est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = x/(2 − x).
  