title: Racine cubique
text: # Racine cubique
  
  En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel $y$ est l'unique nombre réel $x$ dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3e) vaut $y$ ; en d'autres termes, $y=x^{3}=x\times x\times x$. La racine cubique de $y$ est notée ${\sqrt[{3}]{y}}$.
  
  On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.
  
  ## Définition
  
  De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) $y$ tout nombre $x$ solution de l'équation :
  
  $x^{3}=y.$
  
  Si $y$ est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel $y$ : $x={\sqrt[{3}]{y}}$.
  
  Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe $y$. Lorsque ce complexe $y$ est un réel, ces trois solutions sont : ${\sqrt[{3}]{y}}$, ${\rm {j}}{\sqrt[{3}]{y}}$ et ${\overline {\rm {j}}}{\sqrt[{3}]{y}}$, où ${\sqrt[{3}]{y}}$ est la racine cubique réelle de $y$ et 1, j et j sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.
  
  ## Racine cubique d'un nombre réel
  
  ### Exemples
  
  La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :
  
      ${\sqrt[{3}]{8}}=2$.
  
  La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27
  
      ${\sqrt[{3}]{-27}}=-3$.
  
  ### Fonction racine cubique
  
  Sur R, la fonction racine cubique, notée ${\sqrt[{3}]{~}}$, est celle qui associe à un nombre réel son unique racine cubique réelle.
  
  Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers :
  
      $\forall y\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\sqrt[{3}]{y}}=y^{1 \over 3}$.
  
  ### Propriétés
  
  * La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition et/ou la soustraction.
  * D'après le théorème de Wantzel, la racine cubique d'un nombre rationnel n'est pas constructible à la règle et au compas, sauf bien sûr si elle est rationnelle. C'est pourquoi le problème de la duplication du cube n'a pas de solution.
  
  ## Racines cubiques d'un nombre complexe
  
  Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont jZ et $j^2Z,$ où
  
  $1,\quad {\rm {j}}={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}\quad {\rm {et}}\quad {\rm {j}}^{2}={\overline {\rm {j}}}={\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}$
  
  sont les trois racines cubiques de l'unité.
  
  ## Symbole Unicode
  
  U+221B ∛ racine cubique (HTML : &#8731;)
  
  ## Note
  
  * ↑ Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R+* : pour tout réel y > 0, $y^{1/3}$ est l'exponentielle de base y du réel 1/3.
  