title: Polynôme d'Abel
text: # Polynôme d'Abel
  
  En mathématiques, les polynômes d'Abel forment une suite de polynômes dont le n-ième est de la forme
  
  $A_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.~$
  
  Cette suite de polynômes est de type binomial.
  
  ## Propriétés
  
  ### Fonction génératrice
  
  La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :
  
      $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)$
  
  où W désigne la fonction W de Lambert.
  
  ### Identité binomiale
  
  Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :
  
      $(x+y)A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)$
  
  ## Applications
  
  Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel.
  
  