title: Heptacontagone
text: # Heptacontagone
  
  Un heptacontagone est un polygone à 70 sommets, donc 70 côtés et 2 345 diagonales.
  
  La somme des angles internes d'un heptacontagone non croisé vaut 12 240 degrés.
  
  ## Heptacontagones réguliers
  
  Un heptacontagone régulier est un heptacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {70/k} pour k impair de 3 à 33 sauf les multiples de 5 ou 7) et un convexe (noté {70}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptacontagone régulier ».
  
  Les douze heptacontagones réguliers. :
  
  | Représentation | {70} | {70/3} | {70/9} | {70/11} | {70/13} | {70/17} |
  | - | - | - | - | - | - | - |
  | Angle interne | ≈ 174,857° | ≈ 164,571° | ≈ 133,714° | ≈ 123,429° | ≈ 113,143° | ≈ 92,5714° |
  | Représentation | {70/19} | {70/23} | {70/27} | {70/29} | {70/31} | {70/33} |
  | Angle interne | ≈ 82,2857° | ≈ 61,7143° | ≈ 41,1429° | ≈ 30,8571° | ≈ 20,5714° | ≈ 10,2857° |
  
  ## Caractéristiques de l'heptacontagone régulier
  
  Chacun des 70 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{70}}=5{,}143^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {12\,240^{\circ }}{70}}=174{,}857^{\circ }$.
  
  Si a est la longueur d'une arête :
  
  * le périmètre vaut $P=70\,a$ ;
  * l'aire vaut $A={\frac {70}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)$ ;
  * l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)$ ;
  * le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}$.
  