title: Décomposition de Doob-Meyer
text: # Décomposition de Doob-Meyer
  
  La décomposition de Doob-Meyer permet de décomposer un processus stochastique intégrable adapté en une martingale et un processus prévisible :
  
  Soit $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ un processus intégrable $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$-adapté. La décomposition de Doob-Meyer est définie de la manière suivante :
  
  $\forall n\in \mathbb {N} ,X_{n}=X_{0}+A_{n}+M_{n}$
  
  * $\forall n\geq 1,A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1})$
  * $\forall n\geq 1,M_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(\Delta X_{k}-\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1}))$
  
  Où $\{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ est une $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$-martingale et $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ est un processus $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$-prévisible. Cette décomposition est unique.
  
  