title: Processus gaussien
text: # Processus gaussien
  
  En théorie des probabilités et en statistiques, un processus gaussien est un processus stochastique (une collection de variables aléatoires avec un index temporel ou spatial) de telle sorte que chaque collection finie de ces variables aléatoires suit une loi normale multidimensionnelle ; c'est-à-dire que chaque combinaison linéaire est normalement distribuée. La distribution d'un processus gaussien est la loi jointe de toutes ces variables aléatoires. Ses réalisations sont donc des fonctions avec un domaine continu.
  
  Un processus stochastique X sur un ensemble fini de sites S est dit gaussien si, pour toute partie finie A⊂S et toute suite réelle (a) sur A, $∑_{s∈A}$ $a_s$ X(s) est une variable gaussienne.
  
  Posant $m_A$ et $Σ_A$ la moyenne et la covariance de X sur A, si $Σ_A$ est inversible, alors $X_A$ = $(X_s,s∈A)$ admet pour densité (ou vraisemblance) par rapport à la mesure de Lebesgue sur $ℝ^{card(A)}$ : $f_{A}\left(x_{A}\right)=\left(2\operatorname {\pi } \right)^{-{\frac {\operatorname {card} \left(A\right)}{2}}}\left(\operatorname {det} \Sigma _{A}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}\left(x_{A}-m_{A}\right)^{\operatorname {T} }{\Sigma _{A}}^{-1}\left(x_{A}-m_{A}\right)\right)$
  
  