title: Empilement de cercles dans un triangle équilatéral
text: # Empilement de cercles dans un triangle équilatéral
  
  L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le triangle équilatéral le plus petit possible.
  
  Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < $28^,^,.$
  
  Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si n est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de n − 1 et de n cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour n − 1 cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de n cercles. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour n ≤ 15.
  
  Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle :
  
  | Nombre de cercles n | Longueur du côté du triangle |
  | - | - |
  | 1 | $2{\sqrt {3}}\approx 3,464...$ |
  | 2 | $2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$ |
  | 3 | $2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$ |
  | 4 | $4{\sqrt {3}}\approx 6,928...$ |
  | 5 | $4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$ |
  | 6 | $4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$ |
  | 7 | $2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...$ |
  | 8 | $2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...$ |
  | 9 | $6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$ |
  | 10 | $6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$ |
  | 11 | $4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...$ |
  | 12 | $4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...$ |
  | 13 | $4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...$ |
  | 14 | $8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$ |
  | 15 | $8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$ |
  
  Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible.
  
  