title: Polynôme de Lommel
text: # Polynôme de Lommel
  
  Les polynômes de Lommel, $R_{m,ν}(z),$ introduits par Eugen von Lommel en 1871, sont des polynômes en 1/z vérifiant la relation suivante:
  
      $\displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)$
  
  où $J_ν(z)$ est la fonction de Bessel du premier ordre.
  
  Ils sont donnés explicitement par
  
      $R_{m,\nu }=\sum _{n=0}^{[m/2]}{\frac {(-1)^{m}(m-n)!\Gamma (\nu +m-n)}{n!(m-2n)!\Gamma (\nu +n)}}(z/2)^{2n-m}.$
  
  où Γ désigne la fonction gamma. Ils sont utilisés en tant qu'outil de démonstration en théorie de la transcendance.
  
  