title: Podaire
text: # Podaire
  
  La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.
  
  Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).
  
  L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.
  
  ## Étymologie et histoire
  
  La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).
  
  ## Définition mathématique
  
  L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :
  
      $t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$
  
  En partant de l'équation cartésienne de la courbe sous la forme F(x, y)=0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en $R=(x_0,$ $y_0)$ s'écrit
  
      $\cos(\alpha )x+\sin(\alpha )y=p$
  
  alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.
  
  ## Exemples
  
  | courbe donnée C | point de référence P | courbe podaire |
  | - | - | - |
  | droite | quelconque | point |
  | cercle | sur le cercle | cardioïde |
  | cercle | quelconque | limaçon de Pascal |
  | parabole | foyer | droite |
  | parabole | sommet | cissoïde de Dioclès |
  | ellipse | foyer | cercle |
  | hyperbole équilatère | centre | lemniscate de Bernoulli |
  | hyperbole | foyer | cercle |
  | spirale logarithmique | pôle | spirale logarithmique |
  
  ## Applications
  
  La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.
  
  