title: Indice de Dunn
text: # Indice de Dunn
  
  L'indice de Dunn est une mesure de qualité d'une partition d'un ensemble de données en classification automatique.
  
  C'est le rapport entre la distance maximum qui sépare deux éléments classés ensemble et la distance minimum qui sépare deux éléments classés séparément.
  
  C'est un indice qui ne repose pas sur une distance particulière et qui peut donc être utilisée dans une grande variété de situations.
  
  Une alternative à l'indice de Dunn est l'indice de Davies-Bouldin.
  
  ## Expression
  
  ### Position du problème
  
  Si l'on note X{\textstyle X} la matrice des données, dont chaque ligne correspond à un individu (ou observation) et chaque colonne correspond à un prédicteur (ou variable). On note N{\textstyle N} le nombre d'individus et p{\textstyle p} le nombre de prédicteurs :
  
  $X=\left({\begin{array}{ccc}x_{1}^{1}&...&x_{p}^{1}\\\vdots &&\vdots \\x_{1}^{N}&...&x_{p}^{N}\\\end{array}}\right)$
  
  Notons $d(x^i,$ $x^{i′}){\textstyle$ d(x^{i}, x^{i'})} la dissimilarité entre les individus $x^{i}=(x_{1}^{i},...,x_{p}^{i})$ et $x^{i'}=(x_{1}^{i'},...,x_{p}^{i'})$ (respectivement, ligne $i$ et $i'$de $X$). Notons $K\geqslant 2$ le nombre de groupes que l'on souhaite former.
  
  Un algorithme de partitionnement donnera une fonction d'attribution $C:[\![1,N]\!]\longrightarrow [\![1,K]\!]$ dont on cherche à évaluer la pertinence par un score. L'ensemble des points appartenant à un groupe k{\textstyle k} est alors donné par $I_k={i∈[[1,$ N]]/ C(i)=k}{\textstyle I_{k}=\{i\in [\![1, N]\!]/\ C(i)=k\}}.
  
  ### Expression de l'indice de Dunn
  
  L'indice (ou score) de Dunn, $S_D{\textstyle$ S_{D}}, se base sur les points moyens de chaque groupe $μ_k=1/|I_k|$ $∑_{i∈Ik}x^i{\textstyle$ \mu _{k}={\frac {1}{\vert I_{k}\vert }}\sum _{i\in I_{k}}x^{i}} et le diamètre du groupe $Δ_k=max_{i, i′∈Ik}d(x^i,$ $x^{i′}){\textstyle$ \Delta _{k}=\max _{i, i'\in I_{k}}d(x^{i}, x^{i'})}.
  
  Il aura pour expression :
  
  $S_{D}={\frac {\displaystyle \min _{1\leqslant k<k'\leqslant K}d(\mu _{k},\mu _{k'})}{\displaystyle \max _{1\leqslant k\leqslant K}\Delta _{k}}}$
  
  Elle peut varier un peu selon les implémentations (définition du diamètre d'un groupe, distance entre centres remplacée par une autre distance entre groupe).
  
  ## Propriétés
  
  ### Domaine de variation
  
  L'indice de Dunn varie entre 0 (pire classification) et +∞{\textstyle +\infty }(meilleure classification).
  
  