title: Espace régulier
text: # Espace régulier
  
  En mathématiques, un espace régulier est un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes :
  
  * $T_2$ : l'espace est séparé ;
  * $T_3$ : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints.
  
  ## Propriété $T_3$
  
  Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes :
  
  * E est $T_3$ ;
  * on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ;
  * tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x) ;
  * tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés.
  
  La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est $T_3.$
  
  La propriété $T_3$ est (de même que $T_2)$ préservée par sous-espaces et par produits.
  
  ## Espace complètement régulier
  
  Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.
  
  Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.
  
  