title: Indice de Sobol
text: # Indice de Sobol
  
  En analyse de $sensibilité^,,$ les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol.
  
  Soit un modèle que l'on exprime par une fonction f associant à des variables aléatoires $X_i,$ i∈⟦1,n⟧ la variable aléatoire Y . Le ième indice de sensibilité de premier ordre est défini par : $S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants.
  
  ## Indices de Sobol
  
  ### Premier ordre
  
  $S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$
  
  ### Ordre total
  
  $ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$
  
  ### Les indices généralisés
  
  Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:
  
  $GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)$
  
  ## Algorithme de calcul
  
  Plusieurs algorithmes ont été présentés par Saltelli pour calculer les indices de premier ordre et d'ordre total.
  
  