title: Régime semi-classique
text: # Régime semi-classique
  
  Le régime semi-classique d'un système physique en mécanique quantique est le régime pour lequel les actions du système physique étudié sont grandes devant le quantum d'action $\hbar$. Mathématiquement, cela revient à effectuer un développement asymptotique des grandeurs quantiques au voisinage de $\hbar =0$.
  
  L'étude du régime semi-classique est en général non-triviale, car la limite $\hbar \to 0$ de la mécanique quantique est singulière au sens de la théorie des perturbations. Pour illustrer ce point, considérons par exemple une particule non relativiste de masse m soumise à une force conservative dérivant de l'énergie potentielle $V({\vec {r}})$. La recherche des états propres de l'énergie passe par la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :
  
  $-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\ \Delta \psi _{n}({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\ \psi _{n}({\vec {r}})\ =\ E_{n}\ \psi _{n}({\vec {r}})$
  
  dont la limite $\hbar =0$ est singulière, car ce n'est plus une équation aux dérivées partielles, la limite portant notamment sur le terme de plus haut degré.
  
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