title: Fonction exponentielle de base réelle variable
text: # Fonction exponentielle de base réelle variable
  
  La fonction de base réelle variable $x^{x}$ est une fonction spéciale exponentielle de base variable x qui possède des propriétés spéciales.
  
  ## Définition
  
  Soit $f\in \mathbb {R_{+}^{*}} ^{\mathbb {R_{+}^{*}} }$ une fonction définie par : $x\mapsto x^{x}$. On appelle cette fonction exponentielle de base réelle variable.
  
  $f(x)=x^{x}=e^{x\ln x}$
  
  On peut prolonger $f$ sur $\mathbb {Z_{-}^{*}}$.
  
  ## Valeur de $0^0$
  
  La forme indéterminée $0^{0}$ est conventionnellement fixée à 1. Une illustration de cette convention peut être le prolongement par la limite en $0^+$ de $f$.
  
  $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x\ln x}}$. Par croissance comparée :$\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x}}=1$.
  
  ## Minimum
  
  La fonction exponentielle de base réelle variable admet un minimum.
  
  Calculons sa dérivée :
  
  $(x^{x})^{\prime }=\exp({x\ln x})^{\prime }=(x\ln x)^{\prime }\exp(x\ln x)=(\ln x+1)\exp(x\ln x)$.
  
  Or, $\exp(x\ln x)$ est strictement positif sur $\mathbb {R_{+}^{*}}$ et $(\ln x+1)>0\Longrightarrow x>{\frac {1}{e}}$.
  
  Ainsi, la dérivée change de signe en ${\frac {1}{e}}$, ce faisant que $f$ est strictement décroissante sur $]1;{\frac {1}{e}}]$ et strictement supérieure sur $]{\frac {1}{e}};+\infty [$. Le minimum est donc atteint en ${\frac {1}{e}}$ et vaut ${\frac {1}{e}}^{\frac {1}{e}}\approx 0,6922\pm 0,6901$
  
  ## Croissances comparées
  
  Il s'agit de la classe de fonction avec la plus forte croissance, plus forte que exp.
  
  $x\uparrow ^{x}x$ croît encore bien plus vite, avec les puissances itérées de Knuth.
  
  