title: Polynôme de Touchard
text: # Polynôme de Touchard
  
  Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard, aussi appelés polynômes $exponentiels^,^,$ ou polynômes de Bell, constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par
  
      $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}$,
  
  où $S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}$est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides disjoints.
  
  ## Propriétés
  
  * La valeur en 1 du $n$-ième polynôme de Touchard est le $n$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille $n$ :
  
      $T_{n}(1)=B_{n}$.
  * Les polynômes de Touchard vérifient
  
      $T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}$.
  * La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités
  
      $T_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)$.
  * Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.
  * Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :
  
      $T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.$
  * Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :
  
      $T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)$ et $T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)$.
      Pour $x=1$, elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.
  * Avec la notation $T^{n}(x)=T_{n}(x)$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :
  
      $T_{n}(x+y)=\left(T(x)+T(y)\right)^{n},$ et $T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.$
  * La série génératrice des polynômes de Touchard est :
  
      $\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}$,
      ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.
  * Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :
  
      $T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,\mathrm {d} t$.
  
  ## Zéros
  
  Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par :
  
      ${\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},$
  
  et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.
  
  On peut encadrer la mesure de Mahler $M(T_{n})$ des polynômes de Touchard comme suit :
  
      ${\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}$
  
  où $\Omega _{n}$ et $K_{n}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}$ et $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$.
  
  ## Généralisations
  
  * Les polynômes de Bell complets $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard $T_{n}(x)$, puisque
  
      $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x)$.
  * Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :
  
      $T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{x{\bigl\mathrm {e} ^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\biglxe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,$.
  