title: Propagateur de l'oscillateur harmonique
text: # Propagateur de l'oscillateur harmonique
  
  Le propagateur de l'oscillateur harmonique est une expression dérivée à partir du formalisme des intégrales de chemin de Feynman en mécanique quantique non-relativiste qui permet de calculer l'amplitude de probabilité qu'une particule en un point $x_{0}$ soumise à un potentiel de l'oscillateur harmonique quantique se retrouve à un certain point $x_{T}$ dans l'espace après un certain temps $T$. En ce sens, il s'agit donc d'une fonction de Green de l'équation de Schrödinger.
  
  Pour un oscillateur harmonique décrit par le Lagrangien suivant :
  
  ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$
  
  le propagateur de Feynman a l'expression suivante :
  
  $U(T,x_{T},0,x_{0})=Z_{OH}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar sin(\omega T)}}}e^{{\frac {im\omega }{2\hbar sin(\omega T)}}\left((x_{T}^{2}+x_{0}^{2})cos(\omega T)-2x_{0}x_{T}\right)}$.
  
  Note : en raison de l'équivalence de la description de la mécanique quantique non-relativiste par le formalisme des intégrales de chemin de Feynman et l'équation de Schrödinger, cette expression permet également de retrouver le spectre d'énergie habituel de l'oscillateur harmonique.
  
  $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$.
  
  