title: Fonction gamma d'Hadamard
text: # Fonction gamma d'Hadamard
  
  En mathématiques, la fonction gamma d'Hadamard, du nom de Jacques Hadamard, est une extension de la fonction factorielle, différente de la fonction gamma classique. Cette fonction, avec son argument décalé de 1, interpole la factorielle et l'étend aux nombres réels et complexes d'une manière différente de la fonction gamma d'Euler. Il est défini comme :
  
      $H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\},$
      $H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!$
  
  ## Propriétés
  
  Contrairement à la fonction gamma classique, la fonction gamma d'Hadamard H(x) est une fonction entière, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de pôles dans son domaine. Il satisfait l'équation fonctionnelle
  
      $H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}},$
  
  avec la convention que ${\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}$ est pris égal à 0 pour les valeurs entières positives de x.
  
  | $\Gamma (x)-H(x)$ | $\ln(\Gamma (x)-H(x))$ | $\left|\Gamma (x)-H(x)\right|$ | ${\frac {H(x)}{\Gamma (x)}}$ |
  | - | - | - | - | - | - |
  
  ## Représentations
  
  La fonction gamma d'Hadamard peut également être exprimée par
  
      $H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}$
  
  et par
  
      $H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],$
  
  où ψ(x) désigne la fonction digamma.
  
  