title: Fonction affine
text: # Fonction affine
  
  En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
  
  $f(x)=ax+b$
  
  où les paramètres a et b ne dépendent pas de x.
  
  Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
  
  Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.
  
  Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.
  
  La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.
  
  Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique, une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.
  
  ## Propriété caractéristique
  
  Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de x et les accroissement de f(x). En effet, si $x_1$ et $x_2$ sont deux réels, l'accroissement $f(x_2)$ – $f(x_1)$ est proportionnel à $x_2$ – $x_1,$ comme le donne l’égalité :
  
      $f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1}).$
  
  Le coefficient de proportionnalité est a.
  
  $f(x_{2})-f(x_{1})=ax_{2}+b-ax_{1}-b=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1}).$
  
  Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :
  
      $a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_1$ ≠ $x_2.$
  
  On en déduit : $f'(x)=a$ (la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur – ou coefficient de proportionnalité – de la fonction affine).
  
  L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :
  
      $b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_1$ ≠ $x_2.$
  
  $x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})=x_{2}(ax_{1}+b)-x_{1}(ax_{2}+b)=ax_{2}x_{1}+bx_{2}-ax_{2}x_{1}-bx_{1}=b(x_{2}-x_{1}).$
  
  ## Résolution d'équations et d'inéquations
  
  Supposons a, b réels et a non nul.
  
  * L'unique solution de l'équation ax + b = 0 est le réel –b/a.
  * L'ensemble des solutions de l'inéquation ax + b ≥ 0 est l'intervalle réel [–b/a, +∞[ si a > 0, ]–∞, –b/a] si a < 0.
  
  ## Exemples
  
  ### Exemple de l'abonnement téléphonique.
  
      Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :$f\colon x\mapsto A+0{,}1~x.$
  
  ### Longueur d'un ressort.
  
      Si au repos le ressort a une longueur $L_0$ et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).$L\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}.$Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine $L_0.$
  
  ## Représentation graphique
  
  La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est
  
  $y=ax+b.$
  
  La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.
  
  La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.
  
  ## Détermination de a et b
  
  Si $M(x_1,$ $y_1)$ et $N(x_2,$ $y_2)$ sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :
  
      $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},$
      $b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.$
  
  Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.
  
  