title: Préfaisceau (théorie des catégories)
text: # Préfaisceau (théorie des catégories)
  
  En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site.
  
  ## Définition
  
  Soient ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ des catégories, un préfaisceau de $C$ à valeurs dans ${\mathcal {D}}$ est un foncteur :
  
      $F:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {D}}$
  
  de la catégorie opposée à ${\mathcal {C}}$ dans ${\mathcal {D}}$. De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de ${\mathcal {C}}$ dans ${\mathcal {D}}$.
  
  Un cas très courant est celui où ${\mathcal {D}}$ est la catégorie Set des ensembles, qui englobe en particulier toutes les catégories concrètes : catégorie des anneaux, catégorie des groupes abéliens, catégorie des modules sur un anneau… qui est le cadre dans lequel les préfaisceaux de la géométrie algébrique sont considérés.
  
  Lorsque ${\mathcal {D}}$ est une catégorie abélienne, on parle de préfaisceau abélien.
  
  Si V est une catégorie monoïdale, on peut définir une notion de préfaisceau V-enrichi, comme foncteur V-enrichi contravariant d'une catégorie enrichie dans une autre.
  
  Un petit préfaisceau est un préfaisceau qui est l'extension de Kan d'un foncteur dont le domaine est une petite catégorie. Si C est une petite catégorie, alors tous les préfaisceaux sur C sont petits.
  
  ## Catégorie des préfaisceaux
  
  La catégorie des préfaisceaux est la catégorie de foncteurs $[C^{\mathrm {op} },D]$, parfois notée ${\widehat {C}}_{D}$ ou $\mathrm {PSh} _{D}(C)$, c'est-à-dire la catégorie dont :
  
  * les objets sont les foncteurs $F:C^{\mathrm {op} }\to D$ ;
  * les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs.
  
  Lorsque D = Set, on note généralement ${\widehat {C}}$ ou $\mathrm {PSh} (C)$ la catégorie des préfaisceaux sur C, sans mention explicite de D.
  
  La catégorie des préfaisceaux d'une petite catégorie dans Set est complète et cocomplète, et admet des limites et colimites point-à-point.
  
  ## Exemples
  
  * Toute catégorie C est plongée de manière pleine et fidèle dans la catégorie Ĉ des préfaisceaux à valeurs dans Set, par le plongement de Yoneda $Y_{C}:A\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,A)$. Les préfaisceaux de cette forme, et les préfaisceaux qui sont isomorphes à de tels préfaisceaux, sont dits « représentables ».
  * Tout préfaisceau à valeurs dans Set est la colimite d'un préfaisceau représentable. On peut écrire cela en termes de cofin :$F(-)=\int ^{c:C}F(c)\times \operatorname {Hom} _{C}(-,c).$
  * Un ensemble simplicial est un préfaisceau sur la catégorie simpliciale.
  