title: Polynôme de Shapiro
text: # Polynôme de Shapiro
  
  En analyse de Fourier, les polynômes de Shapiro, étudiés par Harold S. Shapiro en 1951, sont des polynômes $P_{n}(z)$ et $Q_{n}(z)$ définis par la relation de récurrence :
  
      $P_{0}(z)=Q_{0}(z)=1$
      $P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z)$
      $Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z)$
  
  Ces polynômes vérifient la propriété :
  
      $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{n+1}$
  
  pour z sur le cercle unité.
  
  Ces polynômes ont des applications en traitement du signal.
  
  