title: Réseau réciproque
text: # Réseau réciproque
  
  En cristallographie, le réseau réciproque d'un réseau de Bravais est l'ensemble des vecteurs ${\vec {K}}$ tels que :
  
      $e^{i{\vec {K}}\cdot {\vec {R}}}=1$
  
  pour tous les vecteurs position ${\vec {R}}$ du réseau de Bravais. Ce réseau réciproque est lui-même un réseau de Bravais, et son réseau réciproque est le réseau de Bravais de départ.
  
  ## Maille du réseau réciproque
  
  Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.
  
  Si l'on appelle $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$ les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par $({\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})$ vérifiant
  
      ${\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}^{*}}}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{si }}i=j\\0&{\text{si }}i\neq j\end{cases}}$
  
  ce qui donne :
  
      ${\vec {e_{1}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{2}}}\wedge {\vec {e_{3}}},$
      ${\vec {e_{2}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{3}}}\wedge {\vec {e_{1}}},$
      ${\vec {e_{3}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{1}}}\wedge {\vec {e_{2}}},$
  
  où $V$ est le volume de la maille du réseau direct (calculé à l'aide du produit mixte des vecteurs de la maille) :
  
      $V={\vec {e_{1}}}\cdot ({\vec {e_{2}}}\wedge {\vec {e_{3}}})={\vec {e_{2}}}\cdot ({\vec {e_{3}}}\wedge {\vec {e_{1}}})={\vec {e_{3}}}\cdot ({\vec {e_{1}}}\wedge {\vec {e_{2}}}).$
  
  Les points ayant des coordonnées entières dans le repère $(O,{\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})$ forment un réseau appelé réseau réciproque.
  
  ## Application
  
  L'étude des cristaux se fait en général par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.
  
  Si l'on appelle :
  
  * ${\vec {k}}$ le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
  * ${\vec {k'}}$ le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
  * ${\vec {K}}$ le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par ${\vec {K}}={\vec {k'}}-{\vec {k}}$
  
  alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :
  
      il y a diffraction si ${\vec {K}}$ est un vecteur du réseau réciproque.
  
  ## Exemples de réseaux réciproques
  
  Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique à faces centrées (4 nœuds par maille).
  
  | Réseau (paramètre) | Réseau réciproque (paramètre) | Première zone de Brillouin |
  | - | - | - |
  | cubique $(a)$ | cubique $(2\pi /a)$ | cube |
  | cubique centré $(a)$ | cubique faces centrées $(4\pi /a)$ | octaèdre obtus |
  | cubique faces centrées $(a)$ | cubique centré $(4\pi /a)$ | dodécaèdre rhombique |
  
  Ici on a posé ${\vec {a^{*}}}\cdot {\vec {a}}=2\pi .$
  
  