title: Formule d'Auslander-Buchsbaum
text: # Formule d'Auslander-Buchsbaum
  
  La formule d'Auslander-Buchsbaum est une formule d'algèbre commutative énoncée par Auslander et Buchsbaum en 1957.
  
  ## Énoncé
  
  La formule d'Auslander-Buchsbaum dit que si R est un anneau noethérien local commutatif et M est un R-module de finiment engendré non nul de dimension projective finie, alors :
  
      pd$_{R}(M)+$ depth$(M)=$ depth$(R)$.
  
  Ici, « pd » représente la dimension projective d'un module et « depth » la profondeur d'un module.
  
  ## Applications
  
  La formule d'Auslander-Buchsbaum implique qu'un anneau local noethérien est régulier si et seulement s'il a une dimension globale finie. Cela implique à son tour que la localisation d'un anneau local régulier est régulière.
  
  Si A est une R-algèbre locale de type fini (sur un anneau local régulier R), alors la formule d'Auslander-Buchsbaum implique que A est Cohen-Macaulay (en) si, et seulement si, pd$_{R}(A)=$ codim$_{R}(A)$.
  
  