title: Formule de Baker-Campbell-Hausdorff
text: # Formule de Baker-Campbell-Hausdorff
  
  En mathématiques, la formule de Baker-Campbell (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation :
  
      $e^{Z}=e^{X}e^{Y}$
  
  où $X$, $Y$ et $Z$ sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
  
  Expression
  
  Avec les crochets de Lie, elle s'écrit :
  
      $Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots$
  
  Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: $e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {1}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-1}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots$
  
  En particulier lorsque $X$et $Y$ commutent nous avons $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}$
  
  Lorsque $X$ et $Y$ commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire $[X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0$) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : $e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}$. Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion $X$, $P$.
  
  